Napier ve logaritma: Çarpmayı toplamaya çevirmek

Yedi basamaklı iki sayıyı kâğıt kalemle çarpmayı denediniz mi? Onlarca ara satır, dikkatli kaydırmalar ve bir tek hatada bütün işlemin boşa gitmesi. 16. yüzyılın astronomları, gemicileri ve haritacıları bu tür hesaplarla her gün uğraşıyordu. İskoç John Napier yıllarını bu yükü hafifletecek bir yönteme verdi.

1614’te yayımladığı logaritma tabloları, çarpma ve bölme işlemlerini toplama ve çıkarmaya dönüştürdü. Fikir şuydu: Sayıları, çarpımları toplamaya karşılık gelecek biçimde başka sayılarla eşleştirmek. Bu yazıda bu eşleştirmenin nasıl çalıştığını, Napier’in logaritmasının bugünkünden neden farklı olduğunu ve Henry Briggs’in 10 tabanlı logaritmayı nasıl ortaya çıkardığını anlatacağız.

Napier ve hesap yükü

John Napier 1550’de Edinburgh yakınlarındaki Merchiston’da doğdu ve 1617’de öldü. Hesapları kolaylaştıracak yollar üzerine uzun yıllar çalıştı. Logaritmayı tanıttığı eser, Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Logaritmaların Harika Kuralının Tanımı) 1614’te yayımlandı. Tabloların nasıl hesaplandığını anlatan eseri ise ölümünden sonra, 1619’da basıldı.

O dönemin en ağır hesapları astronomi ve küresel trigonometriden geliyordu. Sinüs tablolarındaki değerler büyük tam sayılar olarak yazılır, bunlarla çarpma ve bölme yapmak gerekirdi. Napier’in hedefi tam da bu işlemlerdi.

Temel fikir: İki dizi yan yana

Logaritmanın arkasındaki fikri görmek için iki diziyi yan yana yazalım. Üstte her adımda ikiyle çarparak büyüyen bir dizi, altta her adımda bir ekleyerek büyüyen bir dizi:

Adım (üs)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2’nin kuvveti	1	2	4	8	16	32	64	128	256

Şimdi 8 × 32 işlemini yapmak istediğimizi düşünelim.

1. Tabloda 8’in altındaki adım sayısını bul: 3
2. 32’nin altındaki adım sayısını bul: 5
3. Bu iki sayıyı topla: 3 + 5 = 8
4. Tabloda 8. adımdaki sayıya bak: 256

Gerçekten de 8 × 32 = 256. Çarpma işlemini hiç yapmadık; yalnızca iki sayı topladık ve tabloya baktık. Bunun nedeni üslü sayıların bir kuralıdır:

2³ × 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸

Bir çarpımsal (geometrik) dizi ile bir toplamsal (aritmetik) dizi yan yana konduğunda, üstteki çarpma alttaki toplamaya karşılık gelir. Bölme de çıkarmaya karşılık gelir: 256 ÷ 16 için 8 − 4 = 4, yani 16.

Tabii bu tabloda yalnızca 2’nin kuvvetleri var. 7 × 13 gibi bir işlemi yapmak için aradaki sayıların da “adım” karşılıklarını, yani kesirli adımları bilmek gerekir. Napier’in asıl başarısı, bu boşlukları dolduran ve pratikte kullanılabilen ayrıntılı tablolar hesaplamaktı.

Napier’in logaritması: Hareket eden iki nokta

Napier logaritmayı üslerle değil, hareketle tanımladı. Tanımını basitleştirerek anlatalım:

• İki nokta aynı anda, aynı hızla harekete başlar.
• Birincisi sonsuz uzunluktaki bir doğru üzerinde sabit hızla ilerler.
• İkincisi belirli uzunluktaki bir doğru parçası üzerinde ilerler; ama hızı her an parçanın sonuna kalan uzaklıkla orantılıdır. Sona yaklaştıkça yavaşlar.

İkinci noktanın sona kalan uzaklığı bir sayıyı temsil eder; o anda birinci noktanın kat ettiği yol da o sayının logaritmasıdır. İkinci nokta eşit zaman aralıklarında kalan uzaklığını hep aynı oranda küçültürken, birinci nokta eşit zaman aralıklarında hep aynı miktarda yol alır. Yani bu tanım da, yukarıdaki tablodaki gibi, bir çarpımsal değişimi bir toplamsal değişimle eşleştirir.

Napier, trigonometri tablolarındaki büyük sayılara uyması için doğru parçasının uzunluğunu 10⁷ olarak aldı. Bu seçimin bir sonucu olarak onun logaritması bugünkü logaritmalarla aynı değildir. Örneğin Napier’in sisteminde 1’in logaritması 0 değildir ve sayı büyüdükçe logaritma küçülür. Tarihçiler, Napier’in logaritmasının bugünkü anlamda belirli bir tabana dayanmadığını vurgular.

“Logaritma” kelimesini de Napier türetti. Kelimenin Yunanca “logos” (oran) ve “arithmos” (sayı) sözcüklerinden geldiği kabul edilir; yani “oran sayısı” gibi bir anlam taşır.

Briggs ve 10 tabanı

Londra’daki Gresham College’da geometri profesörü olan Henry Briggs, Napier’in kitabını okuyunca çok etkilendi ve onu Edinburgh’da ziyaret etti. Kaynaklar, Briggs’in 1615 ve 1616 yazlarında Napier’in yanına gittiğini aktarır. İkisi, logaritmanın daha kullanışlı olması için 1’in logaritmasının 0, 10’un logaritmasının ise 1 olmasında uzlaştı.

Böylece bugün “onluk logaritma” dediğimiz sistem ortaya çıktı:

• log 1 = 0
• log 10 = 1
• log 100 = 2
• log 1000 = 3

Bu sistemde bir sayının logaritmasının tam kısmı, sayının kaç basamaklı olduğunu hemen söyler. Örneğin log 2 ≈ 0,30103 olduğundan log 2000 = log 2 + log 1000 ≈ 3,30103 olur. Briggs geniş 10 tabanlı logaritma tablolarını 1624’te Arithmetica Logarithmica adıyla yayımladı.

Aynı dönemde İsviçreli Jost Bürgi de benzer bir fikre bağımsız olarak ulaşmıştı. Ancak Bürgi’nin tabloları 1620’de yayımlandı; yayında öncelik Napier’deydi.

Logaritma tablolarını ilk benimseyenlerden biri Johannes Kepler oldu ve gezegen hareketleri üzerine yaptığı uzun hesaplarda onları kullandı.

Tabloyla bir hesap

Hesap makinesi olmadan logaritma tablosu kullanan birinin nasıl çalıştığını görelim. Tablodan şu iki değeri okuyalım: log 2 ≈ 0,30103 ve log 3 ≈ 0,47712.

1. Çarpma: 2000 × 3000 işlemi için logaritmaları toplarız: log 2000 ≈ 3,30103 ve log 3000 ≈ 3,47712. Toplam 6,77815’tir. Tam kısım 6, sonucun 7 basamaklı olduğunu söyler; ondalık kısım 0,77815 ise tabloda 6’nın logaritmasına karşılık gelir. Sonuç 6 000 000.
2. Karekök: √2’yi bulmak için logaritmayı ikiye böleriz: 0,30103 ÷ 2 ≈ 0,15051. Tabloda bu logaritmaya karşılık gelen sayı yaklaşık 1,4142’dir.
3. Kuvvet: 2¹⁰’u bulmak için logaritmayı 10 ile çarparız: 3,0103. Tam kısım 3, sonucun 4 basamaklı olduğunu söyler; gerçekten 2¹⁰ = 1024.

Çarpma toplamaya, karekök ikiye bölmeye, kuvvet alma çarpmaya dönüştü. Uzun hesaplarda zaman kazandıran şey tam olarak bu dönüşümdü.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Hesap makineleri tabloların yerini aldı, ama logaritma fikri her yerde:

• AYT logaritma konusu: log(a × b) = log a + log b, log(a ÷ b) = log a − log b ve log(aⁿ) = n × log a kuralları, Napier’in tablosundaki fikrin sembolle yazılmış hâlidir. Üstel ve logaritmik fonksiyonların birbirinin tersi olması da aynı iki dizi eşleşmesinden gelir.
• Üstel denklemler: 2ˣ = 20 gibi bir denklemi çözmek için logaritma alırız: x = log 20 ÷ log 2 ≈ 4,32.
• Ölçekler: Kimyada pH, çözeltideki hidrojen iyonu derişiminin 10 tabanlı logaritmasının negatifidir. Ses şiddetini anlatan desibel ölçeği de logaritmiktir. Bu ölçeklerde bir birimlik artış, ölçülen büyüklükte çarpımsal bir değişime karşılık gelir.
• Veri ve grafikler: Çok geniş aralıkta değişen verileri tek grafikte görmek için logaritmik eksenler kullanılır.

YKS’de logaritmanın yerini ne öğretiyoruz sayfamızda görebilirsiniz. Aynı yüzyılda cebir ile geometrinin nasıl buluştuğunu merak ediyorsanız Descartes ve koordinat sistemi yazımız iyi bir devam olur.

Kapanış

Logaritma, bir hesap yükünü hafifletmek için doğdu; ama çok daha derin bir ilişkiyi görünür kıldı: Çarpımsal büyüme ile toplamsal adımlar arasındaki bağ. Bugün logaritma kurallarını öğrenirken, aslında Napier’in yan yana koyduğu iki dizinin sembollerle yazılmış hâlini öğreniyoruz.