Ramanujan: Sonsuz seriler, Hardy'ye mektup ve 1729 sayısı

Bir hastane odası, bir ziyaretçi ve sıradan görünen bir sayı: 1729. Matematik tarihinin en çok anlatılan anekdotlarından biri, bu sayının aslında hiç de sıradan olmadığını söyleyen bir hastayla ilgilidir. Hasta, Hindistan’dan İngiltere’ye gelmiş olan Srinivasa Ramanujan’dı. Ziyaretçi ise onu Cambridge’e davet eden matematikçi G. H. Hardy.

Ramanujan kısa hayatına binlerce formül sığdırdı. Sonsuz seriler, sayıların bölüntüleri ve π için yazdığı şaşırtıcı derecede hızlı formüller, ölümünden bir yüzyıl sonra bile incelenmeye devam ediyor. Bu yazıda onun hayatını, Hardy ile yazışmasını, birkaç formülünü ve 1729 hikâyesini adım adım hesaplarla anlatacağız.

Kumbakonam’dan Madras’a

Ramanujan 22 Aralık 1887’de Güney Hindistan’daki Erode kasabasında doğdu ve çocukluğunu Kumbakonam’da geçirdi. Lise yıllarında eline, binlerce sonucu kanıtsız ya da çok kısa gerekçelerle sıralayan bir matematik özet kitabı geçti. Bu kitap onun hem okulu hem de yazım üslubu oldu: Ramanujan da sonuçlarını çoğunlukla ayrıntılı kanıt vermeden, formül formül yazdı.

Matematiğe olan tutkusu diğer derslerini ihmal etmesine yol açtı. Burslu okuduğu kolejden bursunu kaybetti ve üniversiteye giriş sınavlarında başarısız oldu. Yıllarca yoksulluk içinde kendi başına çalıştı. 1912’de Madras Liman İdaresi’nde katip olarak işe başladı. Bu sırada çevresindeki bazı matematik meraklıları, onun defterlerindeki sonuçları İngiltere’deki matematikçilere göstermesini önerdi.

Ocak 1913: Cambridge’e giden mektup

Ocak 1913’te Ramanujan, Cambridge Üniversitesi’nden G. H. Hardy’ye bir mektup gönderdi. Mektubun ekinde onlarca sonuç vardı: sonsuz seriler, integraller, sürekli kesirler ve asal sayılarla ilgili iddialar.

Hardy ve meslektaşı J. E. Littlewood sonuçları birlikte incelediler. Formüllerin bir kısmının daha önce başka matematikçilerce bulunmuş sonuçlar olduğunu gördüler. Mektupta kanıt yok denecek kadar azdı. Ama bir kısmı, o güne kadar görmedikleri ve ilk bakışta inanılması güç görünen formüllerdi. Hardy bu mektubun sıradan bir amatörden gelmediği sonucuna vardı ve Ramanujan’ı Cambridge’e davet etti.

Ramanujan 14 Nisan 1914’te İngiltere’ye ulaştı ve Trinity Koleji’ne yerleşti. Birkaç ay sonra Birinci Dünya Savaşı başladı. Savaş koşulları, alışık olmadığı iklim ve beslenme güçlükleri sağlığını zorladı.

Sonsuz seri nedir?

Ramanujan’ın formüllerini anlamak için önce sonsuz seri kavramını hatırlayalım. Bir sonsuz seri, sonsuz sayıda terimin toplamıdır. Bunun anlamlı olup olmadığına kısmi toplamlara bakarak karar veririz.

Kendi örneğimizle başlayalım: 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + …

• İlk terim: 0,3333
• İlk iki terim: 0,4444
• İlk üç terim: 0,4815
• İlk dört terim: 0,4938

Kısmi toplamlar 0,5’e yaklaşıyor. Her terim bir öncekinin üçte biri olduğu için bu bir geometrik seridir ve toplamı (1/3) ÷ (1 − 1/3) = 1/2 olur. Kısmi toplamların belirli bir sayıya yaklaştığı serilere yakınsak denir.

Her seri böyle davranmaz. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … serisinin terimleri küçülür ama toplam sınırsız büyür. Bu şaşırtıcı sonucun ortaçağdaki geometrik açıklamasını Oresme ve harmonik seri yazımızda okuyabilirsiniz. Sonsuz toplamların yüzyıllar önce Hindistan’daki başka bir okulda nasıl ele alındığını ise Madhava ve Kerala okulu yazımızda anlatıyoruz.

π için şaşırtıcı bir seri

Ramanujan 1914’te yayımladığı bir makalede 1/π için on yedi seri verdi. Bunların en ünlüsü, Unicode ile şöyle yazılabilir:

1/π = (2√2 / 9801) × Σ [ (4k)! × (1103 + 26390k) ] ÷ [ (k!)⁴ × 396⁴ᵏ ]

Toplam, k = 0’dan sonsuza kadar alınır. Bu formülün gücünü görmek için ilk terimleri kendimiz hesaplayalım.

Yalnızca k = 0 terimi: (4·0)! = 1, (0!)⁴ = 1, 396⁰ = 1 olduğundan terim 1103’tür. O hâlde

1/π ≈ (2√2 / 9801) × 1103, yani π ≈ 9801 ÷ (2√2 × 1103).

2√2 ≈ 2,828427 ve 2,828427 × 1103 ≈ 3119,755’tir. 9801 ÷ 3119,755 ≈ 3,1415927 bulunur. Gerçek değer 3,14159265… olduğu için tek bir terimle virgülden sonra altı basamak doğru çıkar.

k = 0 ve k = 1 terimleri birlikte: İkinci terim 4! × (1103 + 26390) ÷ 396⁴ = 24 × 27493 ÷ 24 591 257 856 ≈ 0,0000268’dir. Bu küçük düzeltme eklendiğinde sonuç, virgülden sonra on beş basamak doğru hâle gelir.

Seri, her yeni terimle kabaca sekiz basamak daha fazla doğruluk kazandırır. Bu yüzden onlarca yıl sonra, 1980’lerde, π’nin milyonlarca basamağının bilgisayarla hesaplanmasında bu tür formüller kullanıldı. Formülün neden doğru olduğu ise Ramanujan’ın verdiği kısa açıklamalardan çok sonra, ayrıntılı ispatlarla ortaya kondu. π’yi çokgenlerle sıkıştırmaya çalışan eski yöntemle karşılaştırmak isterseniz Arşimet yazımıza bakabilirsiniz.

Bölüntüler: Bir sayıyı kaç türlü toplama ayırabiliriz?

Hardy ile birlikte çalıştığı en önemli konulardan biri bölüntü sayılarıdır. p(n), n sayısının pozitif tam sayıların toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabileceğini gösterir. Toplananların sırası önemli değildir.

n = 4 için bütün yazılışları sayalım:

• 4
• 3 + 1
• 2 + 2
• 2 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1

Demek ki p(4) = 5. Benzer şekilde p(5) = 7’dir. Sayılar büyüdükçe p(n) çok hızlı artar: p(9) = 30, p(14) = 135, p(24) = 1575.

Ramanujan bu sayılarda gizli bir düzen fark etti. 4, 9, 14, 19, 24 gibi 5’e bölündüğünde 4 kalanını veren sayılar için bölüntü sayısı hep 5’e bölünür:

• p(4) = 5
• p(9) = 30 = 5 × 6
• p(14) = 135 = 5 × 27
• p(19) = 490 = 5 × 98
• p(24) = 1575 = 5 × 315

Bu yalnızca birkaç örnekte gördüğümüz bir tesadüf değildir. Ramanujan 1919’da yayımladığı makalede bu düzenin bütün uygun sayılar için geçerli olduğunu kanıtladı ve 7 için benzer bir kural verdi. 11 için de benzer bir kural olduğunu duyurdu. Bu son kuralın ispatı, ölümünden sonra Hardy tarafından notlarından derlendi. Hardy ile birlikte p(n)’nin büyüklüğünü şaşırtıcı bir doğrulukla tahmin eden bir formül de geliştirdiler.

1729 hikâyesi: Bir anekdot

Ramanujan 1917’de ağır bir hastalığa yakalandı ve bir süre bakımevlerinde kaldı. 1918’de Royal Society üyeliğine ve Trinity Koleji’nin öğretim üyeliğine (fellow) seçildi.

Hardy sonradan, Londra’da hasta yatan Ramanujan’ı ziyaretini anlatmıştır. Hardy’nin aktardığına göre, geldiği taksinin numarası 1729’du. Bu sayıyı sıkıcı bulduğunu söyleyince Ramanujan hemen itiraz etti: 1729, iki küpün toplamı olarak iki farklı biçimde yazılabilen en küçük pozitif tam sayıydı.

Bu bir anekdottur ve yalnızca Hardy’nin anlatımına dayanır. Ayrıntıları üzerinde, örneğin 1729’un taksi numarası mı yoksa plakanın bir parçası mı olduğu konusunda, farklı yorumlar vardır. Kesin olan şudur: Ramanujan’ın İngiltere’ye gelmeden önce tuttuğu defterlerde bu tür küp toplamlarıyla ilgili çalışmalar bulunur. Yani 1729’un özelliğini o an keşfetmemiş, zaten biliyor olması muhtemeldir.

Hesabı kendimiz doğrulayalım:

• 1³ + 12³ = 1 + 1728 = 1729
• 9³ + 10³ = 729 + 1000 = 1729

Daha küçük bir sayının bu özelliği taşımadığını görmek için, küpleri 12³ = 1728’e kadar olan bütün ikili toplamları tek tek karşılaştırmak yeterlidir. Bir sonraki böyle sayı 4104’tür: 2³ + 16³ = 8 + 4096 ve 9³ + 15³ = 729 + 3375. Bugün bu tür sayılara, anekdotun anısına “taksi sayıları” denir.

Kısa bir hayat, uzun bir miras

Ramanujan 1919’da Hindistan’a döndü ve 26 Nisan 1920’de, 32 yaşında Kumbakonam’da hayatını kaybetti. Geride bıraktığı defterler, sonraki on yıllarda pek çok matematikçinin çalışma konusu oldu. 1976’da, bir kütüphane arşivinde, yaşamının son döneminden kalma notlar içeren ve “kayıp defter” diye anılan sayfalar bulundu.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Seriler ve yaklaşık hesap: Hesap makinelerinin ve bilgisayarların π, e ya da trigonometrik değerleri hesaplarken kullandığı yöntemler, hızlı yakınsayan serilere dayanır. Lisede gördüğümüz diziler ve geometrik seri, bu fikrin ilk basamağıdır.
• Sayılar kuramı: Bölüntüler, modüler fonksiyonlar ve Ramanujan’ın adıyla anılan başka kavramlar bugün de aktif araştırma alanlarıdır.
• Sayma problemleri: p(n)’yi elle hesaplarken yaptığımız sistematik liste, permütasyon ve kombinasyon konusundaki sayma stratejilerinin akrabasıdır.

Kapanış

Ramanujan’ın hikâyesi yalnızca bir dahi öyküsü değildir. Bir mektubu dikkatle okuyan bir matematikçinin, sonuçları yanlışlarıyla doğrularıyla ciddiye almasının hikâyesidir. Siz de 1729’u denedikten sonra şu soruyu düşünebilirsiniz: Küpler yerine kareler kullansaydık, birbirinden farklı iki pozitif tam sayının kareleri toplamı olarak iki ayrı biçimde yazılabilen en küçük sayı hangisi olurdu?