Rhind Papirüsü: Mısırlılar kesirleri neden birim kesirlerle yazdı?

Bugün dörtte üçü yazarken hiç duraksamayız: üstte 3, altta 4. Yaklaşık 3500 yıl önce Nil kıyısında çalışan bir yazıcı ise aynı miktarı “yarım ve çeyrek”, yani 1/2 + 1/4 olarak yazardı. Payı 1 olan bu kesirlere birim kesir denir. Mısırlıların kesir hesabını neredeyse tamamen bu parçalarla yaptığını en açık biçimde gösteren belge, bugün Rhind Matematik Papirüsü adıyla bilinen uzun bir rulodur.

Bu yazıda papirüsün ne olduğunu, birim kesirlerin arkasındaki mantığı ve yazıcıların 2/5, 2/7 gibi kesirleri nasıl parçalara ayırdığını göreceğiz. Ardından aynı işi kendi örneklerimizle adım adım yapacağız. Yöntem ilk bakışta dolambaçlı görünebilir; ama arkasında paylaştırmaya dayanan, oldukça pratik bir düşünce var.

Rhind Papirüsü nedir?

Papirüsün yazıcısı, metinde adı geçen Ahmes’tir (adı Ahmose diye de okunur). Ahmes, kopyayı Hiksos kralı Apepi’nin saltanatının 33. yılında yazdığını not eder; bu tarih yaklaşık MÖ 1550’ye karşılık gelir. Aynı notta metnin daha eski bir yazmadan kopyalandığı da belirtilir. O eski yazma, Orta Krallık döneminde, 12. hanedandan III. Amenemhat zamanında hazırlanmıştı. Yani içerik, elimizdeki kopyadan birkaç yüzyıl daha eskidir.

Rulo, İskoç antikacı Alexander Henry Rhind tarafından 1858’de Luksor’da satın alındı ve adını ondan aldı. 1860’ların ortasında British Museum koleksiyonuna girdi. İki parça hâlinde korunan papirüs toplamda yaklaşık 5 metre uzunluğunda ve 32 santimetre genişliğindedir.

İçinde, numaralandırma biçimine göre 80’in üzerinde problem bulunur. Bölme ve kesir hesapları, bilinmeyen bir miktarı bulma soruları, tarla alanları, ambar hacimleri ve piramit eğimleriyle ilgili hesaplar bunlardan bazılarıdır. Pek çok araştırmacı papirüsü, yazıcı adaylarının yöntemleri örnekler üzerinden öğrendiği bir ders kitabı olarak görür.

Birim kesir ne demek?

Payı 1 olan kesirlere birim kesir denir: 1/2, 1/3, 1/10, 1/28 gibi. Mısırlı yazıcılar bir kesri, farklı birim kesirlerin toplamı olarak yazardı. 2/3 gibi birkaç istisna dışında “üç bölü beş” türünden bir gösterim kullanılmazdı.

Bir kural daha vardı: Aynı birim kesir bir toplamda iki kez yer almazdı. Örneğin 2/5 için 1/5 + 1/5 yazılmaz, 1/3 + 1/15 kullanılırdı. Kontrol edelim:

1/3 + 1/15 = 5/15 + 1/15 = 6/15 = 2/5

Neden böyle? Paylaştırmanın mantığı

Birim kesirler, bir şeyi insanlar arasında gerçekten bölüştürmeyi düşündüğümüzde anlam kazanır. 3 ekmeği 5 kişiye eşit paylaştırmak istediğimizi düşünelim. Kişi başına düşen pay 3/5 ekmektir. Ama “herkese beşte üç ekmek” demek, bıçağı elinde tutan kişiye pek yol göstermez.

Aynı payı 1/2 + 1/10 olarak yazalım:

1/2 + 1/10 = 5/10 + 1/10 = 6/10 = 3/5

Bu yazım bize bir kesme planı da verir:

1. Önce herkese yarım ekmek verelim. 5 kişi için 5 yarım, yani 2,5 ekmek gerekir.
2. Elimizde yarım ekmek kalır. Bu yarımı 5 eşit parçaya bölersek her parça 1/10 ekmek olur.
3. Herkes bir yarım ve bir onda birlik parça alır. Paylar hem eşittir hem de kolayca kontrol edilir.

Birim kesirlerin bir başka yararı karşılaştırmadır. 3/5 mi büyüktür, 5/8 mi? Birim kesirlerle yazarsak 3/5 = 1/2 + 1/10 ve 5/8 = 1/2 + 1/8 olur. İkisinde de yarım var; farkı küçük parçalar belirler. 1/8, 1/10’dan büyük olduğu için 5/8 daha büyüktür. Payda eşitlemeden, yalnızca parçalara bakarak karar verdik.

Çarpma ikiye katlamaktı: 2/n tablosu neden gerekli?

Mısır hesabında çarpma büyük ölçüde ikiye katlama ve toplamayla yapılırdı. Örneğin 13 × 6 işlemini şöyle düşünebiliriz:

• 1 kat: 6
• 2 kat: 12
• 4 kat: 24
• 8 kat: 48

13 = 8 + 4 + 1 olduğundan 13 × 6 = 48 + 24 + 6 = 78 olur.

Kesirlerle çalışırken de sürekli ikiye katlamak gerekir. Ama 1/7’nin iki katı olan 2/7 birim kesir değildir; yazıcının onu yeniden birim kesirlerle ifade etmesi gerekir. Papirüsün başındaki ünlü 2/n tablosu bu ihtiyaca cevap verir. Tabloda 5’ten 101’e kadar tek sayılar için 2/n kesirlerinin birim kesirlere ayrılmış hâlleri bulunur. Örneğin tabloda 2/5 = 1/3 + 1/15 ve 2/7 = 1/4 + 1/28 yer alır.

Tablodaki ayrımların önemli bir kısmı basit bir kalıba uyar. Payda 3’ün katıysa, yani n = 3k ise:

2/(3k) = 1/(2k) + 1/(6k)

Bu eşitliği kendimiz doğrulayabiliriz. Sağ tarafı ortak paydada toplayalım: 1/(2k) = 3/(6k) olduğundan toplam 4/(6k) = 2/(3k) olur. Birkaç örnek:

• k = 3 için: 2/9 = 1/6 + 1/18
• k = 7 için: 2/21 = 1/14 + 1/42
• k = 11 için: 2/33 = 1/22 + 1/66

Bir kesri birim kesirlere ayırmanın tek bir yolu yoktur. Örneğin 2/5 = 1/4 + 1/10 + 1/20 de doğrudur: 5/20 + 2/20 + 1/20 = 8/20. Yazıcıların genellikle az sayıda terim ve küçük paydalar tercih ettiği görülür; ancak tablodaki seçimlerin tam olarak hangi kurallara göre yapıldığı bugün de tartışılan bir sorudur.

Adım adım: Bir kesri birim kesirlere ayırmak

Şimdi kendi kesrimizi ayıralım: 7/15. Kullanacağımız yöntem, her adımda sığabilecek en büyük birim kesri almaktır. Bu yöntemi Mısırlıların kullandığına dair bir kanıt yok; Avrupa’da ilk kez 1202’de Fibonacci’nin kitabında anlatılır. Fibonacci’nin başka bir ünlü problemini merak ediyorsanız tavşan problemi üzerine yazımıza göz atabilirsiniz.

1. 15 ÷ 7 ≈ 2,14 olduğundan 7/15’ten küçük ya da ona eşit en büyük birim kesir 1/3’tür.
2. Farkı bulalım: 7/15 − 1/3 = 7/15 − 5/15 = 2/15.
3. Şimdi 2/15 için aynı işi yapalım: 15 ÷ 2 = 7,5 olduğundan en büyük birim kesir 1/8’dir.
4. Fark: 2/15 − 1/8 = 16/120 − 15/120 = 1/120. Bu zaten bir birim kesir.
5. Sonuç: 7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120.

Kontrol: 40/120 + 15/120 + 1/120 = 56/120 = 7/15.

Bu doğru ama 1/120 oldukça küçük bir parça. Yukarıdaki kalıbı kullanarak 2/15 = 1/10 + 1/30 yazarsak daha derli toplu bir sonuç elde ederiz:

7/15 = 1/3 + 1/10 + 1/30

Kontrol: 10/30 + 3/30 + 1/30 = 14/30 = 7/15. Aynı kesrin farklı ayrımları arasında seçim yapmak, yazıcıların da karşılaştığı bir sorundu.

Bilinmeyeni tahminle bulmak

Papirüste kesirlerin yanında bilinmeyen bir miktarı bulma soruları da vardır. Bu tür sorularda bugün “yanlış varsayım” diye anılan bir yol kullanılır. Kendi örneğimizle görelim: Bir sayı ile onun üçte birinin toplamı 20 ediyor. Sayı kaçtır?

1. Hesabı kolaylaştıracak bir tahmin seçelim: 3. Üçte biri 1’dir, toplam 3 + 1 = 4 olur.
2. Oysa 4 değil 20 istiyoruz. 20, 4’ün 5 katıdır.
3. Öyleyse tahmini de 5 katına çıkaralım: 3 × 5 = 15.
4. Kontrol: 15 + 5 = 20.

Bu yol, toplamın sayıyla orantılı değiştiği durumlarda işe yarar. Bugün aynı soruyu x + x/3 = 20 denklemiyle çözeriz; ama fikir, oran ve orantının ta kendisidir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Birim kesirler günlük hesapta artık kullanılmıyor; ama arkasındaki düşünceler lise matematiğinin tam ortasında duruyor:

• Payda eşitleme ve EKOK: Her kontrol adımında yaptığımız iş, kesirleri ortak paydada toplamaktı.
• Kesirleri karşılaştırma: Bir kesri tanıdık parçalara ayırmak, büyüklüğünü sezmenin güçlü bir yoludur.
• Oran ve orantı: Yanlış varsayım yöntemi, orantılı büyümenin doğrudan bir uygulamasıdır.
• Sayılar kuramı: Birim kesirler hâlâ araştırma konusudur. 1948’de ortaya atılan Erdős–Straus sanısı, 2’den büyük ya da ona eşit her n için 4/n’nin üç birim kesrin toplamı olarak yazılabileceğini söyler. Örneğin 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20 ve 4/7 = 1/2 + 1/15 + 1/210. Sanı bilgisayarla çok büyük sayılara kadar denenmiş, ama genel olarak kanıtlanamamıştır.

Aynı dönemde Mezopotamya’daki yazıcılar kesirlere bambaşka bir yoldan, altmışlık bir düzenle yaklaşıyordu. İki uygarlığı karşılaştırmak isterseniz Babillilerin 60 tabanı üzerine yazımızı okuyabilirsiniz. Kesirleri ekmek dilimleri ve şeritlerle görerek öğrenmenin neden işe yaradığını ise nasıl öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.

Kapanış

Rhind Papirüsü, bir kesrin yalnızca “üstte bir sayı, altta bir sayı” olmadığını hatırlatır. Mısırlı yazıcı için kesir, bölüşülecek bir ekmek, dağıtılacak bir tahıl payı ya da ölçülecek bir tarlaydı. Birim kesirler bu işi kendi yollarıyla çözüyordu. Bugün farklı bir gösterim kullanıyoruz; ama bir bütünü parçalara ayırıp yeniden birleştirmek hâlâ kesirleri anlamanın en sağlam yoludur.