Thales piramidin yüksekliğini gölgesiyle ölçtü mü? Benzer üçgenlerin gücü

Tepesine çıkamadığınız bir yapının yüksekliğini nasıl ölçersiniz? Bir halat yetmez, merdiven hiç yetmez. Anlatılan bir hikâyeye göre Miletli Thales, Mısır’daki piramitlerden birinin yüksekliğini tek bir basamak bile çıkmadan, yalnızca gölgesine bakarak bulmuştu. Bu hikâyenin gerçekten yaşanıp yaşanmadığını bilmiyoruz. Ama arkasındaki matematik bugün de işe yarıyor ve lise geometrisinin en güçlü araçlarından birine dayanıyor: benzer üçgenler.

Bu yazıda önce hikâyeyi ve neden bir rivayet olarak görülmesi gerektiğini ele alacağız. Sonra yöntemin neden çalıştığını adım adım gösterecek, piramit gibi geniş tabanlı bir yapıda karşılaşılan gizli zorluğu konuşacak ve kendi ölçümünüzü nasıl yapabileceğinizi anlatacağız.

Thales kimdi?

Thales, kalıntıları bugün Aydın’ın Didim ilçesine bağlı Balat’ta bulunan antik Milet kentinde yaşadı. Yaklaşık MÖ 624 ile MÖ 546 arasında yaşadığı kabul edilir. Yunan geleneğinde ilk filozof ve ilk matematikçi olarak anılır.

Ne var ki Thales’ten günümüze yazılı bir eser kalmadı. Onun hakkında bildiklerimizin tamamı, ölümünden yüzyıllar sonra yazılmış anlatılardan gelir. Bu anlatılar ona pek çok buluş atfeder: bir çapın daireyi iki eşit parçaya böldüğü, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğu, yarım daireyi gören çevre açının dik olduğu gibi. MÖ 585’teki bir güneş tutulmasını önceden bildirdiği de anlatılır; ancak birçok tarihçi, dönemin bilgisiyle böyle bir tahminin mümkün olmadığını düşünür. Kısacası Thales, bir tarihî kişi olduğu kadar bir efsane figürüdür.

Hikâye: Gölgeler eşitlendiğinde

Thales’in Mısır’a gittiği anlatılır. Piramit hikâyesinin günümüze iki farklı biçimde ulaştığı görülür.

• Birinci anlatı: Thales, kendi gölgesinin boyunun kendi boyuna eşit olduğu anı bekledi. O anda piramidin gölgesinin uzunluğu da piramidin yüksekliğine eşit olmalıydı.
• İkinci anlatı: Thales piramidin gölgesinin ucuna bir değnek dikti. Değneğin gölgesi ile piramidin gölgesi arasındaki oranın, değneğin boyu ile piramidin yüksekliği arasındaki orana eşit olduğunu gösterdi.

İlk anlatı, eşit gölge anını beklemeyi gerektiren pratik bir gözleme dayanır. İkincisi ise her saatte kullanılabilecek genel bir orantıdır. Bu anlatılar Thales’ten çok sonra yazıldığı için, hangisinin, hatta herhangi birinin gerçekten yaşandığını kesin olarak söyleyemeyiz. Bunları bir rivayet olarak okumak en doğrusudur.

Geometri: Neden işe yarar?

Yöntemin kalbinde üç adım var.

1. Güneş ışınları paraleldir. Güneş Dünya’dan çok uzakta olduğu için, birbirine yakın iki nesneye ulaşan ışınları paralel kabul edebiliriz.
2. Aynı açı, aynı biçim. Düz zemindeki dik bir çubuk ile dik bir yapı düşünelim. Işınlar paralel olduğundan, ışının zeminle yaptığı açı ikisinde de aynıdır. Her iki durumda da bir dik üçgen oluşur: yükseklik, gölge ve tepeden gölgenin ucuna uzanan ışın.
3. Benzer üçgenler. İki dik üçgenin birer dar açısı eşitse, üçüncü açıları da eşittir. Açıları eşit olan üçgenler benzerdir; yani biri diğerinin büyütülmüş ya da küçültülmüş kopyasıdır. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı sabittir.

Bu yüzden:

yükseklik ÷ gölge (yapı) = yükseklik ÷ gölge (çubuk)

Kendi örneğimizle hesaplayalım. Boyu 1,5 m olan bir çubuğun gölgesi 2 m ölçülüyor. Aynı anda bir binanın gölgesi 24 m.

1. Çubuk için oran: 1,5 ÷ 2 = 0,75.
2. Bina için de oran aynı olmalı: yükseklik ÷ 24 = 0,75.
3. Yükseklik = 24 × 0,75 = 18 m.

Birinci anlatıdaki “eşit gölge anı”, oranın tam 1 olduğu özel durumdur. O anda güneş ışınları zeminle 45° açı yapar ve her dik nesnenin gölgesi kendi boyuna eşittir.

Işık ve gölge arasındaki bu ilişkiyi ana sayfamızdaki gölge deneyinde nesnenin yüksekliğini ve ışığın açısını değiştirerek kendiniz görebilirsiniz.

Piramitteki gizli zorluk

Bir bina ya da ağaç için gölgeyi ölçmek kolaydır: Gölge, nesnenin dibinden başlar. Piramitte ise durum farklıdır. Piramidin tepesi, geniş tabanın tam ortasının üzerindedir. Gölgenin ucuna olan uzaklığı tabanın merkezinden ölçmemiz gerekir; ama merkeze ulaşıp şerit metre çekemeyiz.

Çözüm, görünen gölgeye tabanın yarısını eklemektir. Güneşin bir yüzeye dik doğrultuda geldiği bir anı düşünelim ve kendi uydurduğumuz sayılarla hesaplayalım. Kare tabanlı bir piramidin taban kenarı 200 m olsun. Gölgenin, taban kenarının ortasından dışarı doğru 40 m uzandığını ölçüyoruz. Aynı anda 2 m’lik bir değneğin gölgesi 3 m.

1. Tepenin altındaki merkezden gölgenin ucuna uzaklık: 200 ÷ 2 + 40 = 140 m.
2. Değnek için oran: 2 ÷ 3.
3. Piramidin yüksekliği: 140 × 2 ÷ 3 ≈ 93,3 m.

Bir zorluk daha var: Güneş yüksekteyken gölge tabanın dışına hiç taşmayabilir. Giza’daki Büyük Piramit’i düşünelim. İlk yapıldığında yüksekliği yaklaşık 146,6 m, taban kenarı yaklaşık 230,3 m idi. Merkezden kenara uzaklık 115,15 m olduğundan, yan yüzeyin zeminle yaptığı açı yaklaşık 51,8°’dir. Güneşin yüksekliği bu açıdan büyükse, o doğrultuda gölge tabanın dışına çıkmaz. Eşit gölge anında, yani güneş 45° yükseklikteyken, gölgenin tabandan taşan kısmı yaklaşık 146,6 − 115,15 ≈ 31,5 m olur. Demek ki yöntem mümkündür, ama doğru zamanı ve doğru yönü seçmek gerekir.

Benzerliğin daha geniş anlamı

Gölge yöntemi, benzerliğin yalnızca bir uygulamasıdır. Türkiye’de lise geometrisinde “Thales teoremi” adıyla da anılan temel orantı teoremi şunu söyler: Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı aynı oranda böler. Örneğin bir üçgenin 12 cm’lik kenarında tepe noktasından 3 cm uzaklıktan tabana paralel bir doğru çizersek, 20 cm’lik diğer kenar da tepe noktasından 5 cm uzaklıkta kesilir, çünkü 3 ÷ 12 = 5 ÷ 20. Bu teoremin Thales’e ait olduğu da kesin değildir; ad, geleneğin bir sonucudur.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Ölçme ve haritacılık: Ulaşılamayan uzaklıkları ve yükseklikleri ölçmek için benzer üçgenler yüzyıllarca temel araç oldu.
• Harita ve maketler: Bir harita ya da maket, gerçeğin benzer bir kopyasıdır. Bu fikri ölçek ve oran yazımızda ayrıntılı anlatıyoruz.
• Astronomi: Eratosthenes, paralel güneş ışınları ve gölge açısından yola çıkarak Dünya’nın çevresini hesapladı. Hikâyesi Eratosthenes yazımızda.
• Zamanı ölçmek: Gölgenin uzunluğu ve yönü günün saatine göre değişir. Güneş saatleri bu değişimi kullanır; ayrıntılar güneş saati yazımızda.
• Sınav matematiği: Benzerlik ve orantı, geometri sorularının en sık kullanılan araçlarından biridir.

Kendi ölçümünüzü yapın

Güneşli bir günde düz bir zemin bulun. Boyunu bildiğiniz dik bir çubuğun gölgesini ve aynı anda bir direğin ya da ağacın gölgesini ölçün. İki ölçümü birkaç dakika içinde yapın, çünkü gölgeler sürekli değişir. Oranı kurup yüksekliği hesaplayın. Farklı saatlerde ölçümü tekrarlayıp sonuçları karşılaştırın. Ölçümleri bir tabloya yazıp bulduğunuz yüksekliklerin birbirine ne kadar yakın çıktığına bakmak, ölçüm hatası hakkında da fikir verir. Ölçüm sırasında asla doğrudan Güneş’e bakmayın.

Kapanış

Thales piramidi gerçekten gölgesiyle ölçtü mü, bilmiyoruz. Ama hikâyenin bu kadar uzun yaşamasının bir nedeni var: Ulaşamadığımız bir büyüklüğü, elimizin altındaki küçük bir modelle ölçebileceğimizi gösteriyor. Paralel ışınlar, eşit açılar ve sabit bir oran; bir piramidi bir değneğe bağlamak için bu kadarı yeterli.