Platon cisimleri: Neden yalnızca beş düzgün çokyüzlü var?

Düzgün çokgenlerin sonu yoktur: eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen, altıgen, yedigen… Kenar sayısını istediğiniz kadar artırabilirsiniz. Üç boyuta geçip aynı soruyu sorduğumuzda ise şaşırtıcı bir cevapla karşılaşırız. Bütün yüzleri birbirinin aynısı düzgün çokgenlerden oluşan ve her köşesi birbirine benzeyen dışbükey cisimlerden yalnızca beş tane vardır.

Bu beş cisme, onları evrenin yapısıyla ilişkilendiren filozofun adıyla Platon cisimleri denir. Bu yazıda cisimleri tanıyacak, tarihlerine kısaca bakacak ve neden altıncı bir düzgün çokyüzlü olamayacağını basit bir açı hesabıyla adım adım göstereceğiz. Sonra aynı sonucu Euler’in ünlü formülüyle bir kez daha kontrol edeceğiz.

Düzgün çokyüzlü ne demek?

Bir çokyüzlünün düzgün sayılması için üç şart gerekir:

1. Bütün yüzleri birbirine eş düzgün çokgenlerdir.
2. Her köşede aynı sayıda yüz buluşur.
3. Cisim dışbükeydir; yani içe doğru çöküntüsü yoktur.

Bu şartları sağlayan beş cisim şunlardır:

• Düzgün dörtyüzlü: 4 eşkenar üçgen yüz, her köşede 3 yüz.
• Küp: 6 kare yüz, her köşede 3 yüz.
• Düzgün sekizyüzlü: 8 eşkenar üçgen yüz, her köşede 4 yüz.
• Düzgün onikiyüzlü: 12 düzgün beşgen yüz, her köşede 3 yüz.
• Düzgün yirmiyüzlü: 20 eşkenar üçgen yüz, her köşede 5 yüz.

Tarihten kısa bir bakış

Platon, MÖ 360 dolaylarında yazdığı Timaios adlı diyaloğunda dört elementi dört cisimle eşleştirdi: ateşi dörtyüzlüyle, toprağı küple, havayı sekizyüzlüyle, suyu yirmiyüzlüyle. Beşinci cisim olan onikiyüzlüyü ise evrenin bütününün düzeniyle ilişkilendirdi. Bu eşleştirme bugün bilimsel bir açıklama değil, dönemin evreni geometriyle anlama çabasının bir örneği olarak okunur.

Cisimlerin matematiksel incelemesinde Platon’un çağdaşı Theaitetos’un önemli bir rolü olduğu kabul edilir. Sekizyüzlü ve yirmiyüzlünün ilk kez onun tarafından ayrıntılı biçimde incelendiği ve yalnızca beş düzgün çokyüzlü bulunduğunun ilk ispatının ona ait olabileceği düşünülür. Daha önceki Pitagorasçıların bu cisimlerden bazılarını bilip bilmediği ise tartışmalıdır.

Öklid’in Elemanlar’ı bu cisimlerle sona erer: Son kitapta beş cismin nasıl kurulacağı gösterilir ve başka düzgün çokyüzlü olmadığı gerekçelendirilir. Bu eserin genel yapısını Öklid’in Elemanlar’ı yazımızda anlatıyoruz.

Yaklaşık iki bin yıl sonra, 1596’da Johannes Kepler, beş cismi iç içe yerleştirerek o dönem bilinen altı gezegenin uzaklıklarını açıklamaya çalıştı. Bu model yanlış çıktı; ama Kepler’i gezegen yörüngeleri üzerine uzun bir çalışmaya yöneltti. Vardığı sonuçları Kepler yasaları yazımızda bulabilirsiniz.

Neden yalnızca beş? Köşe açılarıyla ispat

İspatın fikri tek bir köşeye bakmaktır.

Birinci gözlem: Bir köşede en az 3 yüz buluşmalıdır. İki yüz yalnızca bir kenar oluşturur, köşe oluşturamaz.

İkinci gözlem: Bir köşede buluşan yüzlerin açıları toplamı 360°’den küçük olmalıdır. Toplam tam 360° olursa yüzler düz bir zemin gibi yayılır; köşe “kalkıp” bir tepe oluşturamaz. 360°’yi aşarsa yüzler aynı yere sığmaz.

Düzgün n-genin bir iç açısı (n − 2) × 180° ÷ n formülüyle bulunur. Şimdi olasılıkları tek tek deneyelim:

Yüz	Bir iç açı	Köşedeki yüz sayısı	Açılar toplamı	Sonuç
Üçgen	60°	3	180°	Dörtyüzlü
Üçgen	60°	4	240°	Sekizyüzlü
Üçgen	60°	5	300°	Yirmiyüzlü
Üçgen	60°	6	360°	Düz; cisim yok
Kare	90°	3	270°	Küp
Kare	90°	4	360°	Düz; cisim yok
Beşgen	108°	3	324°	Onikiyüzlü
Beşgen	108°	4	432°	Sığmaz
Altıgen	120°	3	360°	Düz; cisim yok

Altıgenden sonra iç açı 120°’yi aşar; yedigenin iç açısı yaklaşık 128,6°’dir. Böyle yüzlerden üçü bile bir köşede 360°’yi geçer. Demek ki olası bütün durumlar tablodaki beş satırla sınırlıdır.

Bu akıl yürütme en fazla beş olasılık bulunduğunu gösterir. Bu beş olasılığın her birinin gerçekten bir cisim oluşturduğu ise ayrıca, cisimleri kurarak gösterilir. Öklid’in yaptığı da budur.

“Düz; cisim yok” satırları da boşa gitmez. Kareler, eşkenar üçgenler ve düzgün altıgenler bir düzlemi boşluksuz kaplar. Arıların peteğindeki altıgenler bu yüzden ilginçtir; hikâyesini bal peteği yazımızda anlatıyoruz.

Euler formülüyle ikinci kontrol

Dışbükey her çokyüzlüde köşe sayısı K, kenar sayısı E ve yüz sayısı Y ise K − E + Y = 2 olur. Beş cisim için kontrol edelim:

Cisim	K	E	Y	K − E + Y
Dörtyüzlü	4	6	4	2
Küp	8	12	6	2
Sekizyüzlü	6	12	8	2
Onikiyüzlü	20	30	12	2
Yirmiyüzlü	12	30	20	2

Bu formül bize beş cismi yeniden bulmanın bir yolunu da verir. Her yüz n kenarlı olsun ve her köşede k yüz buluşsun.

1. Her yüzün n kenarı var, ama her kenar iki yüz tarafından paylaşılır: E = nY ÷ 2.
2. Her yüzün n köşesi var, ama her köşe k yüz tarafından paylaşılır: K = nY ÷ k.
3. Formüle koyalım: nY ÷ k − nY ÷ 2 + Y = 2.
4. Düzenlersek: Y = 4k ÷ (2n + 2k − nk).

Y pozitif olmalı, yani payda pozitif olmalıdır: 2n + 2k − nk > 0. Bu eşitsizlik (n − 2)(k − 2) < 4 biçiminde de yazılabilir. n ve k en az 3 olduğundan, sağlayan çiftler yalnızca şunlardır: (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5) ve (5, 3). Örneğin küp için n = 4, k = 3: Y = 12 ÷ (8 + 6 − 12) = 6. Onikiyüzlü için n = 5, k = 3: Y = 12 ÷ (10 + 6 − 15) = 12. Farklı bir yoldan yine beş cisme ulaştık.

Euler’in çizgeler ve köprülerle ilgili başka bir ünlü buluşu için Königsberg köprüleri yazımıza bakabilirsiniz.

Eş cisimler

Tablodaki sayılara dikkatle bakın: Küpün 8 köşesi ve 6 yüzü, sekizyüzlünün 6 köşesi ve 8 yüzü var. Bir küpün her yüzünün merkezine bir nokta koyup komşu noktaları birleştirirseniz bir sekizyüzlü elde edersiniz. Aynı ilişki onikiyüzlü ile yirmiyüzlü arasında da vardır. Dörtyüzlü ise kendi kendisinin eşidir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Virüsler: Pek çok virüsün protein kabuğu yirmiyüzlü simetrisine sahiptir. Aynı protein birimlerinin bu simetriyle dizilmesi, az sayıda farklı parçayla kapalı bir kabuk oluşturmanın verimli bir yoludur.
• Kristaller: Sofra tuzu kristalleri çoğu zaman küp biçiminde büyür. Doğadaki bazı kristaller onikiyüzlüye benzeyen biçimler alır; ancak bunların yüzleri çoğu zaman düzgün beşgen değildir, dolayısıyla tam anlamıyla Platon cismi sayılmaz.
• Oyunlar: 4, 6, 8, 12 ve 20 yüzlü zarlar beş Platon cisminden yapılır. Yüzlerin birbirinin aynısı olması, her yüzün gelme şansını eşit tutmaya yardımcı olur.
• Lise matematiği: Katı cisimler, yüzey alanı, hacim ve simetri konuları bu cisimlerle doğal olarak ilişkilidir. Küpün köşegeni ya da dörtyüzlünün yüksekliği gibi hesaplar sınavlarda da karşımıza çıkar.

Kapanış

Sonsuz sayıda düzgün çokgen varken yalnızca beş düzgün çokyüzlünün bulunması, bir köşeye sığabilecek açıların sınırlı olmasından kaynaklanır. Platon bu cisimlerde evrenin yapı taşlarını gördü. Bugün onları başka nedenlerle önemsiyoruz: Basit bir açı hesabının, uzayın izin verdiği biçimler hakkında ne kadar kesin bir şey söyleyebildiğini gösteriyorlar.