George Boole: Mantığın cebiri ve bilgisayarların 0–1 dünyası

Bir bilgisayarın içinde yazılar, fotoğraflar ve videolar vardır; ama en temel düzeyde hepsi yalnızca iki durumdan oluşur: 0 ve 1. Açık ya da kapalı, var ya da yok. Peki bu iki durumla nasıl hesap yapılır, hatta nasıl “akıl yürütülür”?

Bu sorunun matematiksel temelini, bilgisayarlar icat edilmeden yaklaşık bir yüzyıl önce İngiliz matematikçi George Boole attı. Boole, “ve”, “veya”, “değil” gibi sözcüklerle kurulan akıl yürütmeleri cebir işlemlerine dönüştürdü. Bu yazıda Boole’un fikrini kendi örneklerimizle kuracak, bir mantık problemini cebirle çözecek ve bu cebirin Claude Shannon’ın 1937’deki çalışmasıyla elektrik devrelerine nasıl taşındığını göreceğiz.

Kendi kendini yetiştiren bir matematikçi

George Boole 1815’te İngiltere’nin Lincoln kentinde doğdu. Babası bir ayakkabıcıydı ve bilime meraklıydı. Ailenin maddi durumu bozulunca George, 16 yaşında öğretmen yardımcısı olarak çalışmaya başladı ve ailesine destek oldu. Hiçbir zaman üniversite eğitimi almadı; ileri matematiği ve birkaç yabancı dili kendi kendine öğrendi.

Kendi okulunu açıp öğretmenlik yaparken matematik makaleleri yazdı. 1844’te bir makalesiyle İngiltere’nin önde gelen bilim kurumu Royal Society’nin madalyasını kazandı. 1847’de mantık üzerine ilk kitabını yayımladı. 1849’da, üniversite diploması olmamasına rağmen İrlanda’daki Queen’s College Cork’a ilk matematik profesörü olarak atandı. En etkili eseri olan Düşünce Yasaları Üzerine Bir İnceleme 1854’te basıldı. Boole 1864’te, 49 yaşında zatürreden öldü.

Mantığı cebirle yazmak

Boole’un temel fikri şuydu: Nesnelerin sınıflarını harflerle gösterelim ve bu harflerle cebir yapar gibi işlem yapalım.

• x “kırmızı olan şeyler”, y “yuvarlak olan şeyler” olsun.
• xy ya da x × y, “hem kırmızı hem yuvarlak olan şeyler” demektir.
• 1, konuşulan her şeyi, yani evreni gösterir.
• 0, hiçbir şeyi, yani boş sınıfı gösterir.
• 1 − x, “kırmızı olmayan şeyler” demektir.

Şimdi ilginç bir soru soralım: x × x nedir? “Hem kırmızı hem kırmızı olan şeyler”, yine kırmızı olan şeylerdir. Yani:

x² = x

Olağan sayılarda bu eşitlik yalnızca iki sayı için doğrudur. x² − x = 0 denklemini çözersek x(x − 1) = 0, yani x = 0 ya da x = 1 buluruz. Boole’un mantık cebirinin 0 ve 1 ile bu kadar yakından ilişkili olmasının bir nedeni budur.

Aynı eşitliği biraz düzenleyelim: x − x² = 0, yani x(1 − x) = 0. Bunu sözcüklere çevirirsek: “Hem x hem de x olmayan şeylerin sınıfı boştur.” Hiçbir şey aynı anda hem kırmızı hem kırmızı olmayan olamaz. Mantığın en eski ilkelerinden biri, basit bir cebir satırına dönüştü.

Bir kıyası cebirle çözelim

Kendi örneğimiz şu iki önermeyle başlasın:

1. Bütün kediler memelidir.
2. Hiçbir balık memeli değildir.

Harfleri seçelim: k “kediler”, m “memeliler”, b “balıklar”.

• “Bütün kediler memelidir” demek, kedilerin memeli olanlarla kesişiminin kedilerin kendisi olmasıdır: k × m = k
• “Hiçbir balık memeli değildir” demek, balıklarla memelilerin kesişiminin boş olmasıdır: b × m = 0

Şimdi “kedi olan balıklar” sınıfını, yani k × b’yi hesaplayalım:

1. k yerine k × m yazabiliriz: k × b = (k × m) × b
2. Çarpmanın sırasını değiştirebiliriz: = k × (b × m)
3. b × m = 0 olduğundan: = k × 0 = 0

Sonuç: k × b = 0, yani hiçbir kedi balık değildir. Sözcüklerle yaptığımız bir akıl yürütmeyi, harflerle ve çarpma kurallarıyla mekanik biçimde yaptık. Boole’un devrimci adımı buydu: Doğru çıkarımı, kurallara göre yapılan bir hesaba dönüştürmek.

Bugünkü Boole cebri: VE, VEYA, DEĞİL

Bugün “Boole cebri” dediğimiz sistem, Boole’un kendi sisteminden biraz farklıdır. Boole toplamayı yalnızca ortak elemanı olmayan sınıflar için kullanmıştı. Kendisinden sonra gelen matematikçiler, özellikle William Jevons, “veya” işlemini her iki sınıf için tanımlayan ve x + x = x kuralını benimseyen yaklaşımı geliştirdi. Günümüzdeki biçim bu gelişmelerle oluştu.

Değişkenler yalnızca 0 (yanlış) ya da 1 (doğru) değerini alsın. Üç temel işlemi sayılarla şöyle yazabiliriz:

• DEĞİL x = 1 − x
• x VE y = x × y
• x VEYA y = x + y − x × y

VEYA formülünü dört durumda sınayalım:

x	y	x × y	x + y − x × y
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

VE yalnızca ikisi de 1 iken 1 verir. VEYA en az biri 1 iken 1 verir. Son satırdaki “− x × y” terimi, 1 + 1’in 2 olmasını engeller.

Shannon: Anahtarlar ve cebir

Boole’un fikirleri uzun süre yalnızca mantıkçıların ve matematikçilerin ilgisini çekti. Beklenmedik bağlantı 1937’de kuruldu. ABD’deki MIT’te yüksek lisans öğrencisi olan Claude Shannon, tezinde elektrik devrelerindeki anahtar ve rölelerin davranışının Boole cebriyle yazılabileceğini gösterdi. Tez 1938’de makale olarak yayımlandı. Bu çalışma, karmaşık anahtar düzenlerini cebirle çözümleyip sadeleştirmenin yolunu açtı.

Fikri basit bir örnekle görelim. Bir anahtar kapalıysa 1, açıksa 0 olsun. Lamba yanıyorsa 1, sönükse 0.

• Seri bağlı iki anahtar: Akım ancak iki anahtar da kapalıyken geçer. Lamba = x VE y = x × y.
• Paralel bağlı iki anahtar: Akım anahtarlardan en az biri kapalıyken geçer. Lamba = x VEYA y.

Böylece bir devreyi çizmek yerine bir cebir ifadesi yazabilir, ifadeyi sadeleştirip daha az anahtarla aynı işi yapan devreyi bulabiliriz. Örneğin x × y + x × (1 − y) ifadesi, x × (y + 1 − y) = x × 1 = x olarak sadeleşir. İki anahtar grubu yerine tek bir anahtar yeterlidir.

İki bitlik toplama

Bu cebirle aritmetik de yapılabilir. İki basamaklı ikili sayılarda 1 + 1 = 10’dur (ikilik tabanda “bir sıfır”, yani iki). İki biti toplayan bir devre iki çıktı verir:

• Elde = x VE y
• Toplam = (x VEYA y) VE DEĞİL(x VE y)

x = 1, y = 1 için: Elde = 1; toplam = 1 VE DEĞİL(1) = 1 × 0 = 0. Sonuç “10”. x = 1, y = 0 için: Elde = 0, toplam = 1. Sonuç “01”. Bu küçük devreleri art arda bağlayarak istenen büyüklükteki sayılar toplanabilir. Bilgisayar işlemcileri, temelde bu türden çok sayıda anahtar devresinden oluşur; bugün bu anahtarların yerini son derece küçük transistörler alır.

Shannon’ın bilgi kavramına sonraki büyük katkısını Shannon ve bit yazımızda anlatıyoruz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Bilgisayar donanımı: İşlemciler ve bellekler, VE, VEYA, DEĞİL gibi mantık kapılarından oluşur.
• Programlama: “Eğer kullanıcı giriş yaptıysa VE sepeti boş değilse” gibi her koşul, bir Boole ifadesidir.
• Arama: Bir veri tabanında “matematik VE tarih, ama DEĞİL roman” gibi aramalar Boole işlemleriyle yapılır.
• Hesaplama kuramı: Hangi problemlerin mekanik adımlarla çözülebileceği sorusu Turing makinesi yazımızda ele alınıyor. Makinelerin sembollerle çalışabileceği fikrinin daha erken bir izi ise Ada Lovelace yazımızda.
• Lise matematiği: Önermeler, doğruluk tabloları, “ve / veya / değil” bağlaçları ve kümelerde kesişim-birleşim işlemleri, Boole cebrinin doğrudan karşılığıdır.

Kapanış

George Boole, düşünmenin kurallarını birkaç harf ve basit işlemlerle yazmayı denedi. Kendi zamanında bu, felsefe ile matematik arasında soyut bir çalışma gibi görünüyordu. Yaklaşık bir yüzyıl sonra aynı cebir, anahtarlar, röleler ve sonunda transistörler aracılığıyla bilgisayarların dili oldu. x² = x gibi tuhaf görünen bir eşitlik, bugün cebimizdeki cihazların içinde saniyede milyonlarca kez işliyor.