Ana içeriğe atla

AYT · İntegral

Belirli İntegral ve Alan Hesabı

Eğri bir kenarı olan bölgeyi ince dikdörtgenlerle doldur, dikdörtgenleri incelt: alan bir sayıya yaklaşır. Temel teorem bu sayıyı ilkel fonksiyonla tek adımda verir.

  • Δx = (b − a) ÷ ndikdörtgen genişliği
  • F(b) − F(a)temel teorem
  • A′(x) = f(x)alan fonksiyonu
  • ∫ba (üst − alt) dxiki eğri arası alan

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde dikdörtgen ve şerit sayısını değiştir, Ay’da top at ve alanın nasıl değiştiğini gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Belirli İntegral nedir?

Belirli integral, bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan işaretli alanı verir. Aralık ince şeritlere bölünüp dikdörtgenlerin alanları toplanır (Riemann toplamı); şeritler inceldikçe toplam belirli integrale yaklaşır. İntegral hesabının temel teoremine göre F′ = f ise f’nin a’dan b’ye integrali F(b) − F(a)’dır.

Sınıf ve ünite
12. sınıf · İntegral
MEB konusu
Belirli İntegral ve Uygulamaları
Bu derste
5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Riemann toplamı

Eğrinin altını dikdörtgenlerle doldur

Dikdörtgenin, üçgenin, yamuğun alanını biliyoruz. Kenarlarından biri eğri olan bir bölgenin alanını bulmak için bölgeyi çok sayıda ince dikdörtgene bölüp alanlarını toplayacağız.

123369xy y = x² alan = ? ∫₀³ x² dx = 9
nΔxsol uçsağ uç
31 5 14
60,5 6,875 11,375
300,1 8,555 9,455
büyüdükçe→ 0→ 9→ 9
  1. y = x² eğrisi, x ekseni ve x = 3 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç? Bir kenarı eğri olduğu için bildiğimiz alan formüllerinin hiçbiri işe yaramıyor. Bölgeyi dikdörtgenlerle dolduralım.
  2. [0, 3] aralığını 3 eşit parçaya bölelim: her parçanın genişliği Δx = 1. Her parçaya, yüksekliği parçanın sağ ucundaki f değeri olan bir dikdörtgen koyalım: (1 + 4 + 9) · 1 = 14. Dikdörtgenler eğrinin üstüne taşıyor: alan 14’ten küçük.
  3. Yüksekliği parçanın sol ucundan alırsak dikdörtgenler eğrinin altında kalır: (0 + 1 + 4) · 1 = 5. Demek ki 5 < alan < 14. Mavinin üstünde görünen turuncu basamaklar iki toplamın farkı: 9.
  4. Parça sayısını n = 6 yapalım: Δx = 0,5. Sol uç toplamı 6,875; sağ uç toplamı 11,375. Dikdörtgenler inceldi, turuncu basamaklar küçüldü: fark 4,5.
  5. n = 30 için Δx = 0,1: 8,555 < alan < 9,455; fark 0,9. f artan olduğundan fark her zaman [f(3) − f(0)] · Δx = 9 · Δx: n büyüdükçe sıfıra yaklaşıyor.
  6. n büyüdükçe sol uç ve sağ uç toplamları aynı sayıya, 9’a yaklaşır. Bu sayıya f’nin 0’dan 3’e belirli integrali denir: ∫30 x² dx = 9.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

f(x) = x + 1 için [0, 4] aralığını 4 eşit parçaya bölüp sol uç Riemann toplamını bulun. Gerçek alanla karşılaştırın.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Δx = (4 − 0) ÷ 4 = 1. Sol uçlar 0, 1, 2, 3.
  2. Toplam = [f(0) + f(1) + f(2) + f(3)] · 1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
  3. Bölge bir yamuk: gerçek alan (1 + 5) ÷ 2 · 4 = 12. f artan olduğu için sol uç toplamı eksik kaldı.

10 (gerçek alan 12)

Çözümlü örnek

f(x) = 4 − x² için [0, 2] aralığını 4 eşit parçaya bölüp sağ uç Riemann toplamını bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Δx = 2 ÷ 4 = 0,5. Sağ uçlar 0,5; 1; 1,5 ve 2.
  2. f(0,5) = 3,75; f(1) = 3; f(1,5) = 1,75; f(2) = 0.
  3. Toplam = (3,75 + 3 + 1,75 + 0) · 0,5 = 4,25. f azalan: sağ uç dikdörtgenleri eğrinin altında kalıyor, gerçek değer (16/3 ≈ 5,33) daha büyük.

4,25

Deney

Dikdörtgenleri artır

Bir fonksiyon seç, n’yi büyüt, yükseklik noktasını değiştir. Fark nasıl küçülüyor? Hangi nokta gerçek değere en hızlı yaklaşıyor? Eksenin altına inen dikdörtgenler toplama ne katıyor?

Genişlik
—
Riemann toplamı
—
Belirli integral
—
Fark
—
n1251050100
toplam——————
fark——————

2 · Belirli ve belirsiz integral

Alan büyürken eğimi f(x)

Riemann toplamı alanı yaklaşık verir, ama her seferinde yüzlerce dikdörtgen toplamak zor. Alanın x ile nasıl değiştiğine bakınca beklenmedik bir bağ çıkıyor: alanı türevle ilişkilendiren temel teorem.

f(t) = t + 1 ve altındaki alan
123412345ty 1,5 ≈ f(x) · h 6
A(x): 0’dan x’e kadar olan alan
123424681012xA(x) 6
  1. f(t) = t + 1’in grafiği altında 0’dan x’e kadar olan alana A(x) diyelim: A(x) = ∫x0 f(t) dt. x = 1 iken bölge bir yamuk: A(1) = (1 + 2) ÷ 2 · 1 = 1,5.
  2. x’i sağa kaydıralım: alan büyüyor. A(2) = 4, A(3) = 7,5. Alttaki grafik A(x)’in değerlerini işaretliyor: alan, x’in bir fonksiyonu.
  3. x’ten x + h’ye geçince alana ince bir şerit eklenir. Şeridin alanı yaklaşık f(x) · h: A(x + h) − A(x) ≈ f(x) · h. h küçüldükçe [A(x + h) − A(x)] ÷ h, f(x)’e yaklaşır: A′(x) = f(x). Alttaki turuncu teğetin eğimi f(3) = 4.
  4. Gerçekten A(x) = x² ÷ 2 + x ve A′(x) = x + 1 = f(x). Alan fonksiyonu f’nin bir ilkel fonksiyonudur (belirsiz integrali). Bu, integral hesabının temel teoremidir.
  5. f’nin başka bir ilkeli F ise F = A + c olur; fark alınınca c sadeleşir. 1’den 3’e alan: ∫31 (t + 1) dt = A(3) − A(1) = 7,5 − 1,5 = 6. Yamuk formülü de aynısını verir: (2 + 4) ÷ 2 · 2 = 6.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

∫21 (6x² − 2x) dx kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İlkel: 6x² → 2x³, −2x → −x². F(x) = 2x³ − x².
  2. [2x³ − x²]21 = (16 − 4) − (2 − 1) = 12 − 1 = 11.

11

Çözümlü örnek

∫2−1 (x³ + 1) dx kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. F(x) = x⁴ ÷ 4 + x.
  2. F(2) = 4 + 2 = 6; F(−1) = 1/4 − 1 = −3/4.
  3. [x⁴ ÷ 4 + x]2−1 = 6 − (−3/4) = 27/4 = 6,75.

27/4

Çözümlü örnek

A(x) = ∫x2 (t³ − 4t) dt ise A(2) ve A′(3) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. A(2) = ∫22 (t³ − 4t) dt: sınırlar eşit, alan yok: 0.
  2. Temel teorem: A′(x) = x³ − 4x. A′(3) = 27 − 12 = 15.

A(2) = 0 ve A′(3) = 15

3 · Özellikler

Kırılma noktasında böl

Belirli integral bir alan toplamı olduğu için aralıklar birleştirilip ayrılabilir, sabit çarpanlar dışarı alınabilir. Bu özellikler en çok, kuralı aralık içinde değişen fonksiyonlarda işe yarar.

f(x) = 2x,x < 1 3x² − 1,x ≥ 1

12246810xy 2x 3x² − 1 alan = ? 1 6
  1. f parçalı tanımlı: x < 1 iken 2x, x ≥ 1 iken 3x² − 1. İki parça x = 1’de birleşiyor (ikisi de 2 veriyor). ∫20 f(x) dx’i tek bir ilkelle hesaplayamayız: kural aralığın ortasında değişiyor.
  2. Alanlar toplanabilir: bölgeyi kırılma noktasında ikiye bölelim. ∫20 f(x) dx = ∫10 2x dx + ∫21 (3x² − 1) dx. Her parçada f tek bir polinom.
  3. Soldaki parça: ∫10 2x dx = [x²]10 = 1 − 0 = 1. Üçgenin alanı da 1 · 2 ÷ 2 = 1.
  4. Sağdaki parça: ∫21 (3x² − 1) dx = [x³ − x]21 = (8 − 2) − (1 − 1) = 6. Toplam: ∫20 f(x) dx = 1 + 6 = 7.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

∫50 f(x) dx = 9 ve ∫53 f(x) dx = 4 ise ∫30 f(x) dx ve ∫03 f(x) dx kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. ∫50 f = ∫30 f + ∫53 f → 9 = ∫30 f + 4 → ∫30 f = 5.
  2. Sınırlar yer değiştirince işaret değişir: ∫03 f = −5.

5 ve −5

Çözümlü örnek

f(x) = 3x² (x < 1) ve f(x) = 2x + 1 (x ≥ 1) ise ∫30 f(x) dx kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x = 1’de böl: ∫10 3x² dx + ∫31 (2x + 1) dx.
  2. [x³]10 = 1 ve [x² + x]31 = 12 − 2 = 10.
  3. Toplam 1 + 10 = 11.

11

4 · İntegral ve alan

Eksenin altı eksi sayılır

Riemann toplamında yükseklik f(x)’tir; f negatifse dikdörtgenin katkısı da negatif olur. Bu yüzden belirli integral her zaman “alan” demek değildir.

3−1123xy 1 2 2 −4/3 |−4/3| = 4/3 4/3 4/3 y = x² − 2x y = |x² − 2x|
  1. f(x) = x² − 2x için ∫30 f(x) dx = [x³ ÷ 3 − x²]30 = (9 − 9) − 0 = 0. Ama grafik ile x ekseni arasında boş olmayan bir bölge var. Bu 0 nereden geliyor?
  2. Riemann toplamına bakalım. [0, 2]’de f negatif: bu dikdörtgenlerin “yüksekliği” negatif sayı, toplama eksi katkı yapıyor (kırmızı). [2, 3]’te f pozitif, katkı artı (mavi).
  3. Kökte bölelim: ∫20 f(x) dx = 8/3 − 4 = −4/3 ve ∫32 f(x) dx = 0 − (−4/3) = 4/3. Eksenin altındaki ve üstündeki parçalar birbirini götürdü: integral 0.
  4. Belirli integral işaretli alandır: eksenin üstü artı, altı eksi sayılır. Alan ise negatif olamaz: her parçanın mutlak değeri toplanır. Alan = |−4/3| + 4/3 = 8/3.
  5. Aynı sonuç |f|’nin integralidir: eksenin altındaki parça x eksenine göre yansıyıp yukarı çıkar. ∫30 |x² − 2x| dx = 4/3 + 4/3 = 8/3.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

y = x² − 4x parabolü ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kökler: x² − 4x = 0 → x = 0 ve x = 4. Arada parabol eksenin altında (ör. x = 2’de −4).
  2. ∫40 (x² − 4x) dx = [x³ ÷ 3 − 2x²]40 = 64/3 − 32 = −32/3.
  3. Eksi işaret bölgenin eksenin altında olduğunu söylüyor. Alan = 32/3.

32/3

Çözümlü örnek

∫20 |x² − 1| dx kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² − 1, x = 1’de işaret değiştirir: [0, 1]’de negatif, [1, 2]’de pozitif.
  2. ∫10 (1 − x²) dx = [x − x³ ÷ 3]10 = 2/3.
  3. ∫21 (x² − 1) dx = [x³ ÷ 3 − x]21 = 2/3 − (−2/3) = 4/3.
  4. Toplam 2/3 + 4/3 = 2.

2

5 · İki eğri arasındaki alan

Üst eksi alt

İki eğri arasındaki bölge, üstteki eğrinin altındaki alandan alttaki eğrinin altındaki alanın çıkarılmasıyla elde edilir. İki integrali tek integralde birleştirebiliriz.

  • üst: y = x + 2
  • alt: y = x²
−11212345xy 7,5 4,5 3
  1. y = x + 2 doğrusu ile y = x² parabolü arasında kalan bölgenin alanını arıyoruz. Önce sınırlar: eğrilerin kesiştiği yerler. x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = −1 ve x = 2.
  2. Doğrunun altındaki alan: ∫2−1 (x + 2) dx = [x² ÷ 2 + 2x]2−1 = 6 − (−1,5) = 7,5.
  3. Bu alanın içinde parabolün altındaki kısım da var: ∫2−1 x² dx = 8/3 + 1/3 = 3. Onu çıkaralım: 7,5 − 3 = 4,5.
  4. Aynı sonucu ince şeritlerle görelim: her şeridin yüksekliği üst − alt = (x + 2) − x². Şeritlerin alanları toplamı, n büyüdükçe bu farkın integraline yaklaşır.
  5. Alan = ∫2−1 [(x + 2) − x²] dx = [x² ÷ 2 + 2x − x³ ÷ 3]2−1 = 10/3 − (−7/6) = 9/2. Hangi eğrinin üstte olduğunu aralıktan bir sayıyla dene: x = 0’da 2 > 0, doğru üstte.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

y = 2x doğrusu ile y = x² parabolü arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kesişim: x² = 2x → x = 0 ve x = 2. x = 1’de 2 > 1: doğru üstte.
  2. ∫20 (2x − x²) dx = [x² − x³ ÷ 3]20 = 4 − 8/3 = 4/3.

4/3

Çözümlü örnek

y = x ile y = x³ eğrileri arasında kalan bölgelerin toplam alanı kaç birimkaredir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kesişim: x³ = x → x = −1, 0, 1. [−1, 0]’da x³ üstte (x = −1/2’de −1/8 > −1/2), [0, 1]’de x üstte.
  2. ∫0−1 (x³ − x) dx = 1/4 ve ∫10 (x − x³) dx = 1/4.
  3. Alan = 1/4 + 1/4 = 1/2. Bölmeden ∫1−1 (x − x³) dx alsaydın 0 bulurdun: parçalar birbirini götürürdü.

1/2

Deney

Şeritleri topla

Bir eğri çifti seç ve şerit sayısını artır. Şeritlerin toplamı hangi sayıya yaklaşıyor? Eğriler aralığın içinde kesişince ne değişiyor?

    Kesişimler
    —
    Şerit yüksekliği
    —
    Şeritlerin toplamı
    —
    Alan (integral)
    —

    6 · Uzayda integral

    Ay’da yukarı atılan top

    Yukarı atılan bir topun hızı her saniye g kadar azalır: v(t) = v₀ − g·t. Hız–zaman grafiğinin altındaki alan, topun ne kadar yer değiştirdiğini verir; çünkü her ince şeritte hız · süre = yol. Ay’da g ≈ 1,62 m/s²; Dünya’dakinin yaklaşık altıda biri. Ay’da hava da olmadığından, hava direncini yok sayan bu model orada gerçeğe çok yakındır: 1971’de Apollo 15 astronotu David Scott Ay yüzeyinde bir çekiçle bir tüyü aynı anda bıraktı, ikisi yere aynı anda düştü.

    Top yükselirken hız pozitif (yeşil alan), düşerken negatif (kırmızı alan). İntegral yükseklik değişimini, alanların toplamı ise topun aldığı toplam yolu verir.

    tepe
    Hız
    —
    Yer değiştirme
    —
    Alınan yol
    —
    Tepe
    —

    Çözümlü örnek

    Ay’da bir astronot topu 8,1 m/s hızla yukarı atıyor: v(t) = 8,1 − 1,62t (m/s). Top kaç saniye yükselir, kaç metre çıkar? 10 saniye sonra nerededir?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. Tepede hız 0: 8,1 − 1,62t = 0 → t = 5 s.
    2. ∫50 (8,1 − 1,62t) dt = [8,1t − 0,81t²]50 = 40,5 − 20,25 = 20,25 m.
    3. ∫100 v(t) dt = 81 − 81 = 0: top astronotun eline döner. Aldığı yol ise 2 · 20,25 = 40,5 m.

    5 s; 20,25 m; 10 s sonra başladığı yerde (yol 40,5 m)

    Çözümlü örnek

    Bir iniş aracının yüzeye yaklaşırken alçalma hızı (model) v(t) = 0,3t² − 6t + 30 m/s; t = 10 s’de hız 0 olup yüzeye değiyor. Araç bu 10 saniyede kaç metre alçalır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. 0,3t² − 6t + 30 = 0,3(t − 10)² ≥ 0: araç hep aşağı iniyor, yer değiştirme ile alınan yol aynı.
    2. ∫100 (0,3t² − 6t + 30) dt = [0,1t³ − 3t² + 30t]100 = 100 − 300 + 300 = 100 m.

    100 m

    Çözümlü örnek

    Bir roket motorunun yakıt harcama hızı (model) r(t) = 200 + 5t kg/s. Motor ilk 60 saniyede kaç kg yakıt harcar?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. Harcama hızı sabit olsaydı hız · süre yeterdi; hız değiştiği için integral alırız.
    2. ∫600 (200 + 5t) dt = [200t + 2,5t²]600 = 12.000 + 9.000 = 21.000 kg (21 ton).

    21.000 kg

    Kısa tarih

    Arşimet’ten Riemann’a

    Arşimet · M.Ö. 3. yüzyıl

    Parabol üzerine yazdığı bir eserde, bir parabol kesmesinin alanını içine giderek küçülen üçgenler yerleştirerek buldu: kesmeye çizilen en büyük üçgenin 4/3 katı.

    Newton ve Leibniz · 17. yüzyıl

    Birbirinden bağımsız olarak türev ile alan hesabının birbirinin tersi olduğunu gördüler ve bunu hesap yöntemine dönüştürdüler.

    Leibniz · 1675

    ∫ işaretini ilk kez kullandı: Latince summa (toplam) sözcüğünün baş harfi olan uzatılmış s.

    Riemann · 1854

    Bernhard Riemann integrali, aralığı parçalara bölüp dikdörtgen toplamlarına bakarak kesin biçimde tanımladı (doçentlik tezi; 1868’de yayımlandı).

    Arşimet ve çokgenler · Newton, Leibniz ve kalkülüs · Zenon ve sonsuz toplamlar

    Özet

    Tek bakışta

    Riemann toplamı[f(x₁) + f(x₂) + … + f(xₙ)] · Δx; genişlik Δx = (b − a) ÷ n.
    n büyüdükçeSol uç, sağ uç ve orta nokta toplamları aynı sayıya yaklaşır: belirli integral.
    ∫ₐᵇ f(x) dx[a, b]’de grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alan.
    alan fonksiyonuA(x) = ∫xa f(t) dt büyüdükçe eğimi f(x): A′(x) = f(x).
    F(b) − F(a)Temel teorem: F′ = f ise ∫ba f(x) dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a).
    ilkela·xⁿ’nin ilkeli a·xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1); belirli integralde + c sadeleşir.
    sınırlar∫aa f = 0 ve ∫ab f = −∫ba f.
    toplam ve katsayı∫ba (f ± g) = ∫ba f ± ∫ba g; ∫ba k·f = k·∫ba f.
    aralık toplama∫ca f = ∫ba f + ∫cb f; parçalı fonksiyonu kırılma noktasında böl.
    integral ≠ alanEksenin altı eksi sayılır. Alan: kökten böl, parçaların mutlak değerini topla (|f|’nin integrali).
    iki eğri arası∫ba (üst − alt) dx; sınırlar kesişim noktaları; eğriler kesişirse böl.
    hız grafiği∫T0 v dt = yer değiştirme; ∫T0 |v| dt = alınan yol.

    Kendini dene

    10 soru

    Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

    1. ∫31 (2x + 1) dx kaçtır?
    2. f(x) = x² için [0, 2] aralığı 2 eşit parçaya bölünüyor. Sağ uç Riemann toplamı kaçtır?
    3. A(x) = ∫x1 (3t² − 2t) dt ise A′(2) kaçtır?
    4. ∫50 f(x) dx = 12 ve ∫52 f(x) dx = 7 ise ∫20 f(x) dx kaçtır?
    5. ∫41 f(x) dx = 6 ise ∫14 2f(x) dx kaçtır?
    6. f(x) = 2x (x ≤ 1) ve f(x) = 2 (x > 1) ise ∫30 f(x) dx kaçtır?
    7. ∫30 |x − 1| dx kaçtır?
    8. y = x² − 1 eğrisi, x ekseni, x = 0 ve x = 1 doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
    9. y = 3x doğrusu ile y = x² parabolü arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
    10. Mars’ta (g ≈ 3,72 m/s²) yukarı atılan bir taşın hızı v(t) = 18,6 − 3,72t m/s. İlk 5 saniyedeki yer değiştirmesi kaç metredir?

    Bu konuda neler öğrendin?

    • Riemann toplamıyla yaklaşık alan hesabı.
    • Belirli ve belirsiz integral arasındaki ilişki.
    • Belirli integralin toplama ve sınır özelliklerini kullanmak; parçalı tanımlı fonksiyonlarda integral almak.
    • Belirli integralle alan; iki fonksiyon grafiği arasındaki alan.

    Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

    Belirli İntegral: sık sorulanlar

    Belirli İntegral kaçıncı sınıf konusu?

    12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “İntegral” ünitesinde, “Belirli İntegral ve Uygulamaları” adıyla yer alır.

    Belirli İntegral TYT’de mi, AYT’de mi?

    Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

    Bu ders ücretsiz mi?

    Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

    Hikâyesi blogda

    Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

    AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

    Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları