Dokuz Bölüm ve negatif sayıların doğuşu: Çin'de kırmızı ve siyah çubuklar

Termometre sıfırın altına düştüğünde, banka hesabı ekside kaldığında ya da asansörde eksi bir kata indiğimizde negatif sayıları hiç düşünmeden kullanırız. Oysa “sıfırdan küçük bir sayı” fikri, matematik tarihinin en uzun süre direnç gören fikirlerinden biridir. Pek çok gelenekte negatif bir sonuç anlamsız sayıldı. Çin’de ise yaklaşık iki bin yıl önce yazılan bir kitap, negatif sayılarla nasıl toplama ve çıkarma yapılacağını açık kurallarla anlattı.

Bu kitap Dokuz Bölüm, özgün adıyla Jiuzhang suanshu’dur. Bu yazıda kitabın ne olduğunu, sayma çubuklarıyla nasıl hesap yapıldığını ve negatif sayıların neden tam da denklem sistemlerini çözerken ortaya çıktığını adım adım göreceğiz.

Bir kitap, yüzyılların birikimi

Dokuz Bölüm tek bir yazarın eseri değildir. Metin, farklı kuşakların birikimiyle yüzyıllar içinde şekillendi ve büyük olasılıkla MS 1. yüzyılda, Han hanedanı döneminde bugünkü biçimine kavuştu. Kitabın ilk katmanlarının ne kadar eskiye gittiği tartışmalıdır. Daha eski bir matematik metni de biliniyor: 1983–1984’te Hubei eyaletindeki bir mezarda bambu şeritler üzerine yazılmış bir hesap kitabı bulundu. Mezar yaklaşık MÖ 186’ya tarihlenir. Bu buluş, Dokuz Bölüm’deki bazı yöntemlerin daha önceki bir geleneğe dayandığını gösterir.

Kitapta 246 problem, dokuz bölüme ayrılmıştır:

1. Tarlaların ölçülmesi (alanlar ve kesirler)
2. Darı ve pirinç (tahıllar arasında değişim oranları)
3. Orantılı paylaştırma
4. Kısa genişlik (bilinen alandan kenar bulma, karekök ve küpkök)
5. İnşaat işleri (hacimler)
6. Adil vergi ve taşıma
7. Fazlalık ve eksiklik
8. Dikdörtgen tablolar (fangcheng, denklem sistemleri)
9. Dik üçgenler (gougu)

Her problem aynı düzendedir: bir soru, bir cevap ve cevaba götüren yöntem. MS 263’te Liu Hui, kitaba yöntemlerin neden doğru olduğunu açıklayan ayrıntılı bir yorum yazdı. Bu yorum zamanla metnin ayrılmaz bir parçası hâline geldi.

Son bölümdeki dik üçgen problemleri, başka uygarlıkların da tanıdığı bir bağıntıya dayanır. Bu bağıntının farklı kültürlerdeki izlerini Pitagoras teoreminin tarihi yazımızda anlatıyoruz.

Sayma çubuklarıyla hesap

Çin’de hesaplar, bir tahta ya da düz bir yüzey üzerine dizilen küçük sayma çubuklarıyla yapılırdı. Sayılar onluk düzende ve basamak değerine göre dizilirdi. 1’den 5’e kadar rakamlar yan yana dizilen çubuklarla, 6’dan 9’a kadar rakamlar ise 5’i gösteren bir çubuğa eklenen çubuklarla gösterilirdi. Komşu basamakları karıştırmamak için çubukların yönü basamaktan basamağa değiştirilirdi. Boş bir basamak için tahtada boşluk bırakılırdı.

Çubukların en büyük avantajı hareket edebilmeleridir. Bir sayıyı değiştirmek, çubukları eklemek ya da kaldırmak demekti. Bu yüzden tahta, bugünkü hesap tablolarına benzer biçimde, ara adımların sürekli güncellendiği bir çalışma alanıydı.

Fangcheng: tablolarla denklem çözmek

Sekizinci bölümün adı olan fangcheng, kabaca “dikdörtgen düzen” anlamına gelir. Bu bölümde birden fazla bilinmeyen içeren problemler, katsayıların tahtaya bir tablo gibi dizilmesiyle çözülür. Kitapta her denklem bir sütun olarak yazılır; bugün aynı işi satırlarla yaparız.

Yöntemi kendi örneğimizle görelim. Bir tüccar 2 top ipek satıp 3 kese tuz aldığında elinde 4 sikke kalıyor. 1 top ipek satıp 1 kese tuz sattığında ise 7 sikke kazanıyor. Bir top ipeğin fiyatına x, bir kese tuzun fiyatına y diyelim. Satış kazanç, alış harcama olduğundan:

• 2x − 3y = 4
• x + y = 7

İkinci denklemde tuz da satıldığı için y artı işaretlidir. Katsayıları iki sütun hâlinde tahtaya dizelim:

	1. sütun	2. sütun
ipek (x)	2	1
tuz (y)	−3	1
sonuç	4	7

Amaç, bir sütundaki x katsayısını sıfır yapmaktır.

1. 2. sütunu 2 ile çarpalım: 2, 2, 14.
2. 1. sütundan bu yeni sütunu çıkaralım: x için 2 − 2 = 0, y için −3 − 2 = −5, sonuç için 4 − 14 = −10.
3. Yeni sütun tek bir denklem söylüyor: −5y = −10, buradan y = 2.
4. y’yi ikinci denklemde yerine koyalım: x + 2 = 7, buradan x = 5.

Kontrol: 2 × 5 − 3 × 2 = 10 − 6 = 4 ve 5 + 2 = 7.

Dikkat edin: Soru pozitif fiyatlar soruyor ve cevap da pozitif çıkıyor. Ama yolda −5 ve −10 gibi sayılarla çalışmak zorunda kaldık. Katsayıları sistemli olarak çıkardığınızda negatif ara sonuçlar kaçınılmazdır. Negatif sayılar bu yüzden Dokuz Bölüm’de bir felsefe sorusu olarak değil, hesabın aracı olarak ortaya çıktı.

Bu yöntem, bugün üniversitelerde “Gauss yok etme yöntemi” adıyla öğretilen işlemlere çok benzer. Aynı fikir, Avrupa’da bu adı almadan yaklaşık iki bin yıl önce Çin’de bir hesap tahtası üzerinde uygulanıyordu.

Kırmızı çubuk, siyah çubuk

Negatif ara sonuçları tahtada ayırt etmek gerekiyordu. En geç Liu Hui’nin döneminde pozitif sayılar kırmızı, negatif sayılar siyah çubuklarla gösterilebiliyordu. Renkli çubuk olmadığında, bir sayının son rakamının üzerine çapraz bir çubuk koymak da negatifliği gösteriyordu.

Kitap bu sayılar için kurallar da verir. Pozitif ve negatif için kullanılan sözcükler zheng ve fu’dur. Çıkarma kuralını bugünkü dille şöyle özetleyebiliriz:

• İşaretler aynıysa büyüklükleri çıkar. Örnek: (−5) − (−2) = −3.
• İşaretler farklıysa büyüklükleri topla. Örnek: 7 − (−3) = 10.
• Hiçten pozitif bir sayı çıkarılırsa sonuç negatif, negatif bir sayı çıkarılırsa pozitif olur. Örnek: 0 − 4 = −4.

Toplama için de benzer, işaretleri ters çalışan kurallar verilir: İşaretler aynıysa büyüklükler toplanır, farklıysa çıkarılır. Bu kurallar, negatif sayılarla işlem yapmak için yazılmış bilinen en eski açık kurallardır.

Başka yerlerde negatif sayılar

Negatif sayılar farklı uygarlıklarda farklı hızlarda kabul gördü:

• Hindistan: Brahmagupta, 628’de yazdığı eserde sıfır ve negatif sayılarla işlem kurallarını verdi. Pozitif sayıları “servet”, negatif sayıları “borç” olarak yorumladı. Bu hikâyenin devamını sıfırın tarihi yazımızda bulabilirsiniz.
• Antik Yunan: İskenderiyeli matematikçiler negatif sonuç veren denklemleri çoğu zaman anlamsız saydı.
• Avrupa: Negatif sayılar uzun süre kuşkuyla karşılandı. 16. yüzyılda denklem çözümlerinde daha sistemli kullanılmaya başlandı. Bu dönemin tartışmalarını Cardano ve kübik denklem yazımızda anlatıyoruz. Tam kabul ise sayı doğrusu ve koordinat fikirleri yaygınlaştıkça, 17. ve 18. yüzyıllarda geldi.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Tam sayılar: Negatif sayılarla dört işlem, ortaokuldan itibaren bütün matematiğin temelidir. Dokuz Bölüm’deki “işaretler aynıysa çıkar, farklıysa topla” kuralı, bugün öğrendiğimiz kuralın ta kendisidir.
• Denklem sistemleri: İki bilinmeyenli denklem sistemlerini yok etme yöntemiyle çözmek, sınav sorularında sık kullanılan bir beceridir. Bilgisayarlar da binlerce bilinmeyenli sistemleri aynı fikrin geliştirilmiş biçimleriyle çözer.
• Renk ve anlam: Bugün muhasebede zarar çoğu zaman kırmızıyla yazılır. Çin sayma tahtasında ise kırmızı pozitifti. Renklerin anlamı kültürden kültüre değişir; önemli olan iki türü açıkça ayırmaktır.
• Somut modeller: Renkli çubuklar ya da pullarla pozitif ve negatif sayıları temsil etmek, bugün de sınıflarda kullanılan etkili bir yöntemdir. Somut modelden sembole geçen yaklaşımımızı nasıl öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.

Kapanış

Dokuz Bölüm, negatif sayıları bir merak nesnesi olarak değil, bir problemi çözmenin gerektirdiği bir araç olarak ele aldı. Tahtadaki kırmızı ve siyah çubuklar, “sıfırdan küçük” bir miktarın hesapta nasıl anlamlı olabileceğini gösterdi. Bazen yeni bir sayı türünü kabul etmek için büyük bir felsefi tartışma değil, işe yarayan bir yöntem yeterlidir.