Hava tahmini, diferansiyel denklemler ve kaos: Lorenz ve kelebek etkisi

Yarın yağmur yağıp yağmayacağını çoğu zaman oldukça iyi biliriz. Üç gün sonrası için tahminler de genellikle işe yarar. Ama bir ay sonraki belirli bir günün hava durumunu soran birine dürüst bir meteorolog “Bilemeyiz” der. Bunun nedeni yalnızca bilgisayarların yeterince güçlü olmaması değil. Havanın kendisi, küçük farkları zamanla büyüten bir sistemdir.

Bu yazıda hava tahmininin nasıl bir matematik problemi olduğunu, Edward Lorenz’in 1960’larda fark ettiği “başlangıç koşullarına hassas bağımlılık” özelliğini ve çok konuşulan kelebek etkisinin gerçekte ne anlama geldiğini göreceğiz. Kaosun, tahmini imkânsız kılmadığını ama ona bir ufuk çizdiğini de tartışacağız.

Havayı denklemle anlatmak

Atmosfer, basınç, sıcaklık, nem ve rüzgâr gibi niceliklerin sürekli değiştiği bir akışkandır. Bu niceliklerin nasıl değiştiği fizik yasalarıyla anlatılır: kütlenin, enerjinin ve momentumun korunumu. Bu yasalar, bir niceliğin değişim hızını diğer niceliklere bağlayan denklemler olarak yazılır. Değişim hızı türevdir; türev içeren denklemlere de diferansiyel denklem denir.

Basit bir örnek: Bir fincan çayın sıcaklığı T, oda sıcaklığı 20 °C olsun. Çayın soğuma hızı, çay ile oda arasındaki sıcaklık farkıyla orantılı kabul edilebilir: dT/dt = −k × (T − 20). Bu denklem, şu anki sıcaklığı bilirsek bir sonraki anı hesaplamamızı sağlar.

Hava tahmini aynı fikri çok daha büyük ölçekte uygular. Atmosfer üç boyutlu bir ızgaraya bölünür. Her ızgara noktasında bugünkü ölçümlerden başlanır ve denklemler küçük zaman adımlarıyla ileriye doğru çözülür. İngiliz bilim insanı Lewis Fry Richardson bu yöntemi 1922’de ayrıntılı biçimde tarif etti ve hesabı elle yapmayı denedi; ama sonucu gerçekçi olmadı. İlk bilgisayarlı hava tahmini 1950’de ENIAC bilgisayarıyla yapıldı.

Bir yuvarlamanın hikâyesi

1961’de MIT’de çalışan meteorolog Edward Lorenz, on iki değişkenli basitleştirilmiş bir hava modelini bilgisayarda çalıştırıyordu. Anlatılana göre bir sonucu yeniden incelemek istedi ve hesabı baştan başlatmak yerine ortasından sürdürmeye karar verdi. Başlangıç değerlerini bilgisayar çıktısından elle girdi.

Bilgisayar belleğinde 0,506127 olarak duran bir değer, çıktıda üç basamağa yuvarlanmış olarak 0,506 görünüyordu. Lorenz bu farkın önemsiz olacağını bekliyordu. Döndüğünde, yeni hesabın bir süre eskisini izledikten sonra ondan giderek ayrıldığını ve sonunda bambaşka bir “hava” ürettiğini gördü.

Aradaki fark on binde birden küçüktü. Model tamamen belirlenimciydi, yani içinde hiçbir rastgelelik yoktu. Aynı başlangıç her zaman aynı sonucu veriyordu. Ama birbirine çok yakın iki başlangıç, zamanla birbirinden tamamen farklı sonuçlara gidiyordu.

Lorenz denklemleri

Lorenz, bu davranışı gösteren daha da basit bir model aradı. 1963’te yayımladığı çalışmada, ısınan bir akışkandaki dolanımı kaba biçimde anlatan yalnızca üç değişkenli bir sistemi inceledi:

• dx/dt = σ × (y − x)
• dy/dt = x × (ρ − z) − y
• dz/dt = x × y − β × z

Burada x kabaca dolanımın şiddetini, y ve z ise sıcaklık dağılımıyla ilgili nicelikleri temsil eder. Lorenz’in kullandığı değerler σ = 10, ρ = 28 ve β = 8/3’tür.

Bu üç denklemin çözümü üç boyutlu uzayda bir yol çizer. Yol hiçbir zaman kendini tam olarak tekrar etmez, ama sonsuza kadar da dağılmaz. İki kanada benzeyen bir bölgenin içinde, bir kanattan ötekine öngörülemez aralıklarla geçerek dolanır. Bu şekle Lorenz çekicisi denir. Bu model gerçek atmosferin bir kopyası değil, çok basitleştirilmiş bir modelidir. Değeri, belirlenimci bir sistemin bile uzun vadede öngörülemez davranabileceğini açıkça göstermesindedir.

Küçük farkın büyümesi: kendi örneğimiz

Bu davranışı hava denklemleri olmadan, tek bir basit kuralla da görebiliriz. Aşağıdaki örnek hava modeli değildir; yalnızca ilkeyi göstermek için seçilmiş bir sayı dizisidir:

xₙ₊₁ = 4 × xₙ × (1 − xₙ)

Bir hesap makinesiyle iki diziyi birlikte hesaplayalım. Birincisi 0,3’ten, ikincisi 0,3001’den başlasın. Aradaki fark on binde birdir.

Adım	0,3’ten başlayan	0,3001’den başlayan	Fark
1	0,840	0,840	0,0002
5	0,088	0,086	0,002
10	0,043	0,010	0,034
25	0,997	0,384	0,613

İlk adımlarda iki dizi neredeyse aynıdır. Fark her adımda kabaca büyüyerek birkaç adımda on katına çıkar. Yirmi beşinci adımda iki dizinin birbiriyle hiçbir benzerliği kalmamıştır. Başlangıçtaki farkı on kat küçültmek, bize yalnızca birkaç adım daha kazandırır.

Bu tabloyu hava tahminine çevirelim. Bugünkü atmosferi hiçbir zaman kusursuz ölçemeyiz. İstasyonlar, uydular ve balonlar arasında ölçülmemiş boşluklar ve ölçüm hataları hep vardır. Bu küçük belirsizlikler, denklemler ileri çözüldükçe büyür. Bir noktadan sonra tahmin, rastgele seçilmiş bir günden daha iyi olmaz.

Kelebek etkisi ne demek, ne demek değil?

Lorenz 1972’de bir bilimsel toplantıda, başlığı bir meslektaşının önerisiyle konan bir konuşma yaptı. Başlık kabaca şu soruyu soruyordu: Brezilya’da bir kelebeğin kanat çırpması Teksas’ta bir kasırgaya yol açar mı? “Kelebek etkisi” adı buradan yayıldı.

Bu metafor sık sık yanlış anlaşılır. Kastedilen, bir kelebeğin kasırgaları tek başına yarattığı ya da her küçük olayın büyük sonuçlar doğurduğu değildir. Anlatılmak istenen, başlangıçtaki çok küçük farkların, yeterince uzun bir sürede sistemin ayrıntılı gidişatını değiştirebileceği ve bu yüzden uzun vadeli ayrıntılı tahminin sınırlı olduğudur. Kaos kuramı, “her şey birbirini etkiler” gibi belirsiz bir sözden çok, bu büyümenin nasıl ölçüleceğini ve sınırlarını inceleyen bir matematik alanıdır.

Tahmin ufku ve topluluk tahminleri

Günlük hava durumu gibi ayrıntılı tahminler için çoğu zaman yaklaşık iki haftalık bir üst sınırdan söz edilir. Bu değer, 1960’lı yıllarda modellerde hataların büyüme hızına dayanarak yapılan tahminlerden gelir ve kesin bir sınır değil, üzerinde hâlâ araştırma yapılan bir yaklaşıktır.

Bu sınırın altında ise büyük ilerleme vardır. Daha iyi ölçümler, daha ince ızgaralar ve daha güçlü bilgisayarlar sayesinde tahmin başarısı son onlarca yılda kabaca her on yılda bir gün arttı. Yani bugünkü birkaç günlük bir tahmin, geçmişte bir gün daha kısa vadeli tahminlerin ulaştığı başarıya ulaşabiliyor.

Kaosla başa çıkmanın akıllıca bir yolu da tek bir tahmin yerine çok sayıda tahmin yapmaktır. Başlangıç koşulları, ölçüm belirsizliği içinde kalacak biçimde biraz değiştirilir ve model her biri için ayrı çalıştırılır. Bu tahminlerin çoğu aynı sonucu veriyorsa güven yüksektir. Birbirinden çok ayrılıyorsa belirsizlik büyüktür. “Yarın yağış olasılığı %60” gibi ifadeler bu olasılık bakışının bir sonucudur.

Neden önemli?

Hava tahmini, AYT’de öğrenilen türevin, yani değişim hızının, gerçek dünyadaki en etkileyici kullanımlarından biridir. Yukarıdaki sayı dizisi ise bir önceki terimden bir sonrakini hesaplayan dizilerin, küçük bir kuralla ne kadar karmaşık davranabileceğini gösterir. Türev, fonksiyonlar ve diziler müfredattaki yerlerini koruyan konulardır; ayrıntılar için ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfaya bakabilirsiniz.

Türevin ve değişim hızı fikrinin doğuşunu Newton ve Leibniz yazımızda okuyabilirsiniz. Kaosla akraba bir başka düzensiz ama kurallı yapı olan fraktalları ise Mandelbrot yazımız anlatıyor. Bir modelin varsayımlarını ve sınırlarını tartışmanın genel çerçevesi için de matematiksel modelleme yazımıza göz atabilirsiniz.

Kapanış

Lorenz’in yuvarladığı üç basamak, bilime önemli bir ders bıraktı: Bir sistemin kurallarını tam olarak bilmek, geleceğini sonsuza kadar bilmek anlamına gelmez. Hava tahmini bu yüzden kesin cevaplardan çok olasılıklarla konuşur. Bu bir zayıflık değil, matematiğin sistemin doğasını dürüstçe tarif etmesidir. Yarın için şemsiye alıp almamaya karar verirken kullandığımız tahmin, kaosun sınırlarını bilen bir hesabın ürünüdür.