Olasılık sezgimiz neden yanılır? Doğum günü problemi ve Monty Hall

Sınıfınızda 23 kişi olsun. İki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığı sizce ne kadardır? Yılda 365 gün olduğunu düşünüp çoğu kişi yüzde 5 ya da yüzde 10 gibi küçük bir sayı tahmin eder. Gerçek cevap yüzde 50’nin biraz üzerindedir.

Olasılık, sezgimizin en sık yanıldığı alanlardan biridir. Bu yazıda bunun en ünlü iki örneğini adım adım hesaplayacağız: doğum günü problemi ve Monty Hall problemi. İkisinde de aynı dersi göreceğiz. Olasılık sorularında önce varsayımları açıkça yazmak, sonra olası durumları dikkatle saymak gerekir.

Doğum günü problemi

Varsayımlar

Hesaba başlamadan modelimizi sadeleştirelim:

• Yıl 365 gündür; 29 Şubat’ı yok sayıyoruz.
• Her gün doğum günü olarak eşit olasılıklıdır.
• Kişilerin doğum günleri birbirinden bağımsızdır; örneğin grupta ikizler yoktur.

Gerçekte doğumlar yıl içine tam eşit dağılmaz. Ancak bu küçük farklar sonucu çok az değiştirir.

Tersinden düşünmek

“En az iki kişinin doğum günü aynı” olayını doğrudan saymak zordur. Çünkü iki kişi, üç kişi, iki ayrı çift gibi pek çok durum vardır. Bunun yerine tümleyen olayı hesaplayalım: Herkesin doğum günü farklı olsun.

Kişileri sırayla odaya alalım:

1. 1. kişi herhangi bir günde doğmuş olabilir: 365 ÷ 365
2. 2. kişinin, 1. kişiden farklı bir günde doğmuş olması gerekir: 364 ÷ 365
3. 3. kişi ilk ikisinden farklı olmalıdır: 363 ÷ 365
4. Böyle devam eder. 23. kişi için: 343 ÷ 365

Herkesin farklı olma olasılığı bu oranların çarpımıdır:

P(hepsi farklı) = (365 × 364 × 363 × … × 343) ÷ 365²³ ≈ 0,493

O hâlde:

P(en az bir ortak doğum günü) = 1 − 0,493 ≈ 0,507, yani yaklaşık yüzde 50,7

Grup büyüdükçe

Kişi sayısı	En az bir ortak doğum günü olasılığı
10	yaklaşık yüzde 11,7
20	yaklaşık yüzde 41,1
23	yaklaşık yüzde 50,7
30	yaklaşık yüzde 70,6
40	yaklaşık yüzde 89,1
57	yaklaşık yüzde 99,0
70	yaklaşık yüzde 99,9

70 kişilik bir grupta ortak doğum günü olmaması neredeyse imkânsızdır. Bu durumun kesin olması için ise 366 kişi gerekir. 365 günden fazla kişi varsa, en az iki kişi aynı güne düşmek zorundadır.

Sezgimiz neden yanılıyor?

Soruyu duyunca çoğumuz farkında olmadan başka bir soruyu cevaplarız: “Birinin doğum günü benimkiyle aynı mı?” Bu gerçekten düşük bir olasılıktır. Diğer 22 kişiden en az birinin sizinle aynı gün doğmuş olma olasılığı:

1 − (364 ÷ 365)²² ≈ yüzde 5,9

Oysa asıl soru, herhangi iki kişinin eşleşmesiyle ilgilidir. 23 kişiden oluşturulabilecek çift sayısı:

23 × 22 ÷ 2 = 253

Karşılaştırılacak 253 farklı çift vardır. Her çiftin eşleşme şansı küçük olsa da bu kadar çok çift, toplam olasılığı hızla büyütür. Kapaktaki sol çizimde her çizgi bir çifti temsil ediyor. Yalnızca 23 noktadan ne kadar çok çizgi çıktığına dikkat edin.

Monty Hall problemi

Bu problem, adını 1963’te ABD’de yayına başlayan bir televizyon yarışmasının sunucusu Monty Hall’dan alır. 1990’da bir dergi köşesinde yayımlanan doğru çözüm, çok sayıda okurun itirazına yol açtı. Aralarında matematik eğitimi almış kişiler de vardı.

Kurallar

Üç kapalı kapı var. Birinin arkasında bir araba, diğer ikisinin arkasında birer keçi bulunuyor.

1. Siz bir kapı seçiyorsunuz, ama kapı açılmıyor.
2. Arabanın yerini bilen sunucu, kalan iki kapıdan arkasında keçi olan birini açıyor.
3. Size soruyor: “Seçiminizde kalmak mı istersiniz, yoksa diğer kapalı kapıya mı geçersiniz?”

Çoğu kişinin ilk tepkisi şudur: “İki kapı kaldı, olasılık yarı yarıya; değiştirmenin bir önemi yok.” Oysa kapı değiştirmek, kazanma olasılığını 1/3’ten 2/3’e çıkarır.

Bütün durumları sayalım

Siz her zaman 1. kapıyı seçmiş olun. Araba üç kapıdan birinin arkasında eşit olasılıkla bulunur:

Arabanın yeri	Sunucunun açtığı kapı	Kalırsanız	Değiştirirseniz
1. kapı	2. ya da 3. kapı	Kazanırsınız	Kaybedersiniz
2. kapı	3. kapı (zorunlu)	Kaybedersiniz	Kazanırsınız
3. kapı	2. kapı (zorunlu)	Kaybedersiniz	Kazanırsınız

Üç eşit olasılıklı durumun birinde kalmak, ikisinde değiştirmek kazandırır. Temel neden şudur: İlk seçiminizin doğru olma olasılığı 1/3’tür ve sunucunun bir kapı açması bu olasılığı değiştirmez. Çünkü sunucu, arabanın yeri ne olursa olsun keçili bir kapıyı açabilir. Geriye kalan 2/3’lük olasılığın tamamı ise tek bir kapalı kapıda toplanır.

100 kapıyla düşünmek

Sezgiyi güçlendirmek için sayıyı büyütelim. 100 kapı var ve siz birini seçiyorsunuz. Arabayı bilen sunucu, kalan 99 kapıdan 98’ini açıyor ve hepsinin arkasından keçi çıkıyor. Geriye sizin kapınız ve sunucunun özenle kapalı bıraktığı tek bir kapı kalıyor.

Sizin ilk seçiminizin doğru olma olasılığı 1/100’dür. Sunucunun kapalı bıraktığı kapının arkasında araba olma olasılığı ise 99/100’dür. Bu durumda kapı değiştirmek çok daha doğal görünür. Üç kapılı sürüm de aynı mantıkla çalışır, sadece sayılar daha küçüktür.

Varsayımlar değişirse sonuç da değişir

Monty Hall probleminin önemli bir dersi, cevabın kurallara bağlı olmasıdır. Sunucunun arabanın yerini bilmediğini ve iki kapıdan birini rastgele açtığını varsayalım. Kapıdan tesadüfen keçi çıkmış olsun.

1. İlk seçiminizde araba olma olasılığı 1/3’tür. Bu durumda sunucu hangi kapıyı açarsa açsın keçi çıkar.
2. Araba diğer iki kapıdan birindeyse (olasılık 2/3), sunucunun rastgele keçili kapıyı açma olasılığı 1/2’dir.
3. Keçi çıkma olasılığı: 1/3 × 1 + 2/3 × 1/2 = 2/3
4. Keçi çıktığı bilindiğine göre ilk seçimin doğru olma olasılığı: (1/3) ÷ (2/3) = 1/2

Bu senaryoda değiştirmek ya da kalmak gerçekten eşit olasılıklıdır. Aynı görüntü, farklı bir süreçten gelince farklı bir olasılık verir. Buna koşullu olasılık denir. Olasılık hesaplarken yalnızca sonucu değil, o sonucun nasıl ortaya çıktığını da bilmek gerekir.

Sezgiyi eğitmenin yolları

Bu iki problemden olasılık sorularında işe yarayan birkaç alışkanlık çıkarabiliriz:

• Varsayımları yazın. Her gün eşit olasılıklı mı? Sunucu arabanın yerini biliyor mu?
• Tümleyeni düşünün. “En az bir” içeren sorularda “hiç” olasılığını hesaplamak çoğu zaman daha kolaydır.
• Durumları tabloyla sayın. Eşit olasılıklı bütün durumları listelemek, sezgiyi kontrol etmenin en güvenilir yoludur.
• Deneyin. Üç kart ve bir arkadaşla Monty Hall oyununu 30 kez oynayıp “kal” ve “değiştir” sonuçlarını kaydedin. Deney sayısı arttıkça oranlar 1/3 ve 2/3’e yaklaşır.

Olasılık hesabının 17. yüzyılda bir oyun sorusundan nasıl doğduğunu merak ederseniz Pascal ve Fermat yazımızı okuyabilirsiniz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Doğum günü problemindeki fikir bilgisayar biliminde de kullanılır. Verileri kısa kodlara dönüştüren sistemlerde, iki farklı verinin aynı koda düşme olasılığı bu hesapla tahmin edilir. Olası kod sayısı ne kadar büyük olursa olsun, çift sayısı hızla arttığı için çakışmalar beklenenden erken ortaya çıkabilir.

Koşullu olasılık ise haberlerdeki test sonuçlarını, tahmin sistemlerini ve günlük kararları yorumlamanın temelidir. Taban oranının neden önemli olduğunu istatistik okuryazarlığı yazımızda örneklerle anlattık.

Bu konular AYT matematiğindeki sayma, permütasyon, kombinasyon ve olasılık bölümleriyle doğrudan bağlantılıdır. 23 × 22 ÷ 2 işlemi, 23 kişiden 2’li seçim sayısını veren kombinasyonun kendisidir.

Kapanış

Doğum günü problemi bize çift sayısının ne kadar hızlı büyüdüğünü, Monty Hall problemi ise bilginin olasılığı nasıl değiştirdiğini gösterir. Sezgimiz yanıldığında utanmamız gerekmez; bu problemler yıllardır pek çok kişiyi şaşırtıyor. Önemli olan, sezgiyi durumları sayarak ve varsayımları yazarak kontrol etmeyi öğrenmektir.