Oyun kuramı: von Neumann'dan Nash dengesine

Satranç oynarken ya da bir fiyat belirlerken yalnızca kendi seçeneklerinizi düşünmek yetmez. Karşınızdakinin ne yapacağını, onun da sizin ne yapacağınızı düşündüğünü hesaba katmanız gerekir. Kararların birbirine bağlı olduğu bu tür durumları matematikle inceleyen alana oyun kuramı denir.

Burada “oyun” kelimesi yalnızca eğlence anlamına gelmez. İki şirketin fiyat rekabeti, trafikte şerit seçimi, bir sınavda soruları hangi sırayla çözeceğiniz ya da hayvanların yiyecek paylaşımı da oyun kuramıyla modellenebilir. Bu yazıda alanın iki temel fikrini göreceğiz: John von Neumann’ın minimaks teoremi ve John Nash’in denge kavramı. Her ikisini de kendi kurduğumuz küçük oyunlarla adım adım hesaplayacağız.

Bir oyunun parçaları

Matematiksel bir oyun üç şeyle tanımlanır:

1. Oyuncular: Karar veren taraflar.
2. Stratejiler: Her oyuncunun seçebileceği hamleler.
3. Kazançlar: Her strateji birleşimi için oyunculara düşen sonuç, sayı olarak.

İki oyunculu ve her oyuncunun iki seçeneği olan oyunları bir tabloyla gösterebiliriz. Satırlar birinci oyuncunun, sütunlar ikinci oyuncunun seçenekleridir. Her hücreye (birinci oyuncunun kazancı, ikinci oyuncunun kazancı) yazılır.

Bir model olarak oyun kuramı bazı varsayımlar yapar: Oyuncuların kazançları bildiği, kendi kazançlarını en büyük yapmaya çalıştığı ve kararlarını aynı anda verdiği kabul edilir. Gerçek insanlar her zaman böyle davranmaz. Bu yüzden sonuçlar gerçeğin kendisi değil, onu anlamamıza yardım eden bir modeldir. Modellerin gücü ve sınırları hakkında matematiksel modelleme yazımıza göz atabilirsiniz.

von Neumann ve sıfır toplamlı oyunlar

Macar asıllı matematikçi John von Neumann, 1928’de yayımladığı bir makalede iki kişilik sıfır toplamlı oyunları inceledi. Bu oyunlarda birinin kazancı tam olarak diğerinin kaybıdır. Tabloda yalnızca birinci oyuncunun kazancını yazmak yeterlidir.

Kendi örneğimizi kuralım. Ayşe S₁ ya da S₂, Burak T₁ ya da T₂ seçiyor. Tablodaki sayılar Burak’ın Ayşe’ye ödediği puanlardır. Eksi değer, Ayşe’nin Burak’a ödediği anlamına gelir.

• Ayşe S₁, Burak T₁ seçerse: Ayşe 3 puan kazanır.
• Ayşe S₁, Burak T₂ seçerse: Ayşe 1 puan kaybeder (−1).
• Ayşe S₂, Burak T₁ seçerse: Ayşe 2 puan kaybeder (−2).
• Ayşe S₂, Burak T₂ seçerse: Ayşe 2 puan kazanır.

Temkinli düşünme: Minimaks

Ayşe temkinli davranıp “en kötü ihtimalde ne kazanırım?” diye düşünsün:

• S₁ seçerse en kötü sonuç −1’dir.
• S₂ seçerse en kötü sonuç −2’dir.

En kötülerin en iyisi S₁ ile −1’dir. Burak da “en kötü ihtimalde ne kadar öderim?” diye düşünür:

• T₁ seçerse en fazla 3 öder.
• T₂ seçerse en fazla 2 öder.

En kötülerin en iyisi T₂ ile 2’dir. Ayşe en az −1 garantiliyor, Burak en fazla 2 ödemeyi garantiliyor. Aradaki boşluk, bu oyunda tek bir sabit hamlenin yeterli olmadığını gösterir. Ayşe hep S₁ oynarsa Burak bunu fark edip T₂’ye geçer. O zaman Ayşe S₂’ye geçmek ister. Bu döngü böyle sürer.

Karma strateji: Zarı işin içine katmak

von Neumann’ın çözümü, oyuncuların hamlelerini belirli olasılıklarla rastgele seçmesidir. Buna karma strateji denir.

Ayşe S₁’i p olasılığıyla oynasın. Burak’ın hangi sütunu seçtiğinin Ayşe için fark etmemesini sağlayan p’yi arayalım:

• Burak T₁ seçerse Ayşe’nin beklenen kazancı: 3p + (−2)(1 − p) = 5p − 2
• Burak T₂ seçerse Ayşe’nin beklenen kazancı: (−1)p + 2(1 − p) = 2 − 3p

İkisini eşitleyelim: 5p − 2 = 2 − 3p, buradan 8p = 4 ve p = 1/2. Bu durumda Ayşe’nin beklenen kazancı 5 × 0,5 − 2 = 0,5 puandır.

Burak da T₁’i q olasılığıyla oynasın ve Ayşe’nin satır seçiminin önemsiz olmasını sağlasın:

• Ayşe S₁ seçerse: 3q + (−1)(1 − q) = 4q − 1
• Ayşe S₂ seçerse: (−2)q + 2(1 − q) = 2 − 4q

4q − 1 = 2 − 4q, buradan q = 3/8. Ayşe’nin beklenen kazancı yine 4 × 3/8 − 1 = 0,5 olur.

İki hesap aynı sayıyı verdi. Ayşe yarı yarıya oynayarak ortalamada en az 0,5 puan garantiler. Burak 3/8 olasılıkla T₁ oynayarak ortalamada en fazla 0,5 puan ödemeyi garantiler. von Neumann’ın minimaks teoremi, sonlu her iki kişilik sıfır toplamlı oyunda bu iki garantinin karma stratejilerle her zaman eşitlendiğini söyler. Bu ortak değere oyunun değeri denir.

von Neumann, ekonomist Oskar Morgenstern ile birlikte 1944’te yayımladığı kapsamlı bir kitapla oyun kuramını ekonomiye taşıdı. Olasılık ve beklenen değer fikirlerinin kökenine Pascal ve Fermat yazımızda değiniyoruz.

Nash: Herkesin kazancının farklı olduğu oyunlar

Gerçek hayattaki çoğu durum sıfır toplamlı değildir. İki taraf birlikte kazanabilir ya da birlikte kaybedebilir. Princeton’da doktora öğrencisi olan John Nash, 1950’de bu genel durum için bir denge kavramı önerdi.

Nash dengesi, hiçbir oyuncunun diğerlerinin seçimi değişmezken tek başına stratejisini değiştirerek daha fazla kazanamayacağı bir strateji birleşimidir. Başka bir deyişle, herkes diğerlerine karşı elinden gelen en iyi cevabı vermektedir.

Örnek: İki sokak müzisyeni

İki sokak müzisyeni, Deniz ve Ece, cumartesi günü Meydan’da mı Park’ta mı çalacağına aynı anda karar veriyor. Meydan daha kalabalıktır. Aynı yerde çalarlarsa dinleyicileri ve bağışları paylaşırlar. Kazançları kendi uydurduğumuz birimlerle şöyle olsun:

• İkisi de Meydan: (40, 40)
• Deniz Meydan, Ece Park: (80, 50)
• Deniz Park, Ece Meydan: (50, 80)
• İkisi de Park: (25, 25)

En iyi cevapları bulalım.

• Ece Meydan’daysa Deniz için Meydan 40, Park 50 getirir. Deniz’in en iyi cevabı Park’tır.
• Ece Park’taysa Deniz için Meydan 80, Park 25 getirir. Deniz’in en iyi cevabı Meydan’dır.

Oyun simetrik olduğu için Ece’nin en iyi cevapları da aynıdır. Şimdi dört hücreyi tek tek kontrol edelim:

• (Meydan, Meydan): Deniz Park’a geçerse 40’tan 50’ye çıkar. Denge değil.
• (Park, Park): Deniz Meydan’a geçerse 25’ten 80’e çıkar. Denge değil.
• (Meydan, Park): Deniz Park’a geçerse 80’den 25’e düşer, Ece Meydan’a geçerse 50’den 40’a düşer. Denge.
• (Park, Meydan): Aynı akıl yürütmeyle denge.

Bu oyunun iki Nash dengesi vardır: Müzisyenler farklı yerleri seçer. Hangisinin Meydan’a gideceğini ise model söylemez. Gerçek hayatta bunu alışkanlıklar, önceden konuşmak ya da yazı-tura belirleyebilir.

Örnek: Denge herkes için en iyisi olmayabilir

İki fırın, her sabah fiyatlarını aynı anda belirliyor: Normal ya da İndirimli. Günlük kârları yine kendi birimlerimizle şöyle olsun:

• İkisi de Normal: (60, 60)
• Birinci Normal, ikinci İndirimli: (20, 80)
• Birinci İndirimli, ikinci Normal: (80, 20)
• İkisi de İndirimli: (35, 35)

Birinci fırın için, rakip ne yaparsa yapsın İndirimli daha kârlıdır: Rakip Normal’deyken 80 > 60, rakip İndirimli’deyken 35 > 20. Aynı durum ikinci fırın için de geçerlidir. Tek Nash dengesi (İndirimli, İndirimli) olur ve iki fırın da 35 kazanır. Oysa ikisi de Normal fiyatta kalsaydı 60’ar kazanacaklardı.

Bu yapıdaki oyunlar genellikle “mahkûm ikilemi” adıyla anılır. Buradan çıkan ders önemlidir: Nash dengesi bir “adil” ya da “en iyi” sonuç değil, kararlı bir sonuçtur. Kimsenin tek başına değiştirmek istemediği bir durumdur.

Nash’in teoremi

Sokak müzisyenleri örneğinde saf stratejilerle denge bulduk. Ama yukarıdaki Ayşe–Burak oyununda saf stratejilerle denge yoktu. Karma stratejilere izin verince denge ortaya çıktı.

Nash’in 1950’de iki sayfalık bir makalede yayımladığı teorem şudur: Sonlu sayıda oyuncunun ve sonlu sayıda stratejinin bulunduğu her oyunda, karma stratejilerle en az bir Nash dengesi vardır. İspatında, belirli koşulları sağlayan fonksiyonların bir “sabit noktası” olduğunu söyleyen topolojik bir teorem kullandı. von Neumann’ın minimaks teoremi, bu genel sonucun sıfır toplamlı iki kişilik oyunlardaki özel bir hâli gibi düşünülebilir.

Müzisyen oyununda da karma bir denge vardır. Her müzisyen Meydan’ı 11/13 olasılıkla seçerse, diğeri için Meydan ve Park’ın beklenen kazancı eşitlenir: 40 × 11/13 + 80 × 2/13 = 50 × 11/13 + 25 × 2/13 = 600/13 ≈ 46,2. Bunu siz de doğrulayabilirsiniz.

John Nash kimdi?

Nash 13 Haziran 1928’de ABD’nin Batı Virginia eyaletinde doğdu. 1950’de Princeton Üniversitesi’nde işbirliği içermeyen oyunlar üzerine doktorasını tamamladı. Daha sonra geometri ve kısmi diferansiyel denklemler alanında da çok önemli sonuçlar elde etti. 1950’lerin sonundan itibaren uzun yıllar ağır bir ruhsal hastalıkla yaşadı ve zamanla iyileşti.

1994’te oyun kuramındaki denge analizine yaptıkları katkılar nedeniyle John Harsanyi ve Reinhard Selten ile birlikte Nobel Ekonomi Ödülü’nü aldı. 2015’te ise kısmi diferansiyel denklemler üzerine çalışmaları nedeniyle Louis Nirenberg ile birlikte Abel Ödülü’ne layık görüldü. Aynı yıl 23 Mayıs’ta eşiyle birlikte bir trafik kazasında hayatını kaybetti.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Ekonomi: Fiyat rekabeti, açık artırmaların tasarımı ve pazarlık süreçleri oyun kuramıyla incelenir.
• Biyoloji: Hayvanların saldırgan ya da barışçıl davranış stratejilerinin toplulukta nasıl dengelendiği, evrimsel oyun kuramının konusudur.
• Bilgisayar bilimi: İnternet trafiğinin yönlendirilmesi ve çok ajanlı yapay zekâ sistemleri denge kavramını kullanır.
• Okul matematiği: Karma strateji hesabı, olasılık ve beklenen değer konularının doğrudan uygulamasıdır. Denklemleri eşitleyerek p ve q’yu bulduğumuz adım ise birinci dereceden denklem çözmekten ibarettir. Olasılık sezgimizin bizi nasıl yanıltabileceğini doğum günü ve Monty Hall yazımızda tartışıyoruz.

Kapanış

Oyun kuramı, “karşımdaki ne yapacak?” sorusunu tahmin ve sezgiden çıkarıp hesaplanabilir bir biçime soktu. von Neumann rakiplerin tam karşıt çıkarlara sahip olduğu durumu çözdü. Nash ise çıkarların iç içe geçtiği çok daha geniş bir dünyada, kimsenin tek başına bozmak istemeyeceği dengelerin her zaman var olduğunu gösterdi. Bir dahaki sefere bir arkadaşınızla nerede buluşacağınıza karar verirken, aslında küçük bir oyun oynadığınızı hatırlayın.