Ana içeriğe atla

AYT · Trigonometri

Yönlü Açılar Konu Anlatımı: Radyan ve Esas Ölçü

Saatin yelkovanından Dünya’nın dönüşüne: bir açının yalnız büyüklüğü değil, hangi yöne döndüğü de önemli.

  • ↺ = +saat yönünün tersi pozitif
  • 1° = 60′ = 3600″derece, dakika, saniye
  • π rad = 180°radyan ile derece
  • 0° ≤ α < 360°esas ölçü

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde ipi çembere sar, ışını turlarca döndür, Dünya’yı ve Venüs’ü çevir ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Yönlü Açılar nedir?

Yönlü açı, başlangıç kenarından bitiş kenarına dönüşün yönünü de taşıyan açıdır: saatin dönme yönünün tersi pozitif, saat yönü negatiftir. Açılar derece ya da radyanla ölçülür; π radyan 180°’dir. Bir tam tur 360° olduğu için 360°’nin katları eklenip çıkarılınca aynı kenar elde edilir; [0°, 360°) aralığındaki karşılığa esas ölçü denir.

MEB konusu
Yönlü Açılar
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Yönlü açı

Hangi yöne döndü?

Şimdiye kadar açıyı iki ışının arasındaki açıklık olarak ölçtük. Oysa dönen her şeyin bir yönü vardır: saatin kolları, bir kapı kolu, bir tekerlek, kendi ekseninde dönen bir gezegen. Açıya yön ekleyelim.

60° O A B başlangıç bitiş bitiş başlangıç +60° −60° −300° pozitif (+) negatif (−)
  1. Köşesi O olan iki ışın: [OA ve [OB. Aralarındaki açı 60°. Sıradan açıda kenarların sırası önemli değil: AOB ile BOA aynı açı.
  2. Kenarlardan birini başlangıç kenarı, öbürünü bitiş kenarı seçelim: [OA, O çevresinde dönerek [OB’nin üzerine gelsin. Kenarları böyle sıralanmış açıya yönlü açı denir.
  3. Dönme saatin dönme yönünün tersine ise yön pozitif (+) kabul edilir. Başlangıç kenarı [OA, bitiş kenarı [OB olan AOB yönlü açısının ölçüsü +60°.
  4. Başlangıç [OB, bitiş [OA olursa dönme saat yönündedir: yön negatif (−). BOA yönlü açısının ölçüsü −60°. Harflerin sırası yönü belirler.
  5. [OA, [OB’ye öbür yoldan da varabilir: saat yönünde 300° dönerek. Bu dönmenin ölçüsü −300°. Aynı iki kenar, iki ölçü: +60° ve −300°. Aralarındaki fark tam bir tur, 360°.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Saatin yelkovanı 20 dakikada kaç derecelik yönlü açı tarar?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Yelkovan 60 dakikada bir tam tur, 360° döner: dakikada 360° ÷ 60 = 6°.
  2. 20 dakikada 20 · 6° = 120° döner.
  3. Saatin kolları saat yönünde döner: yön negatif. Yönlü açı −120°.

−120°

Çözümlü örnek

AOB yönlü açısının ölçüsü 70° ise BOA yönlü açısının ölçüsü kaç derecedir? [OA negatif yönde dönerek [OB’ye varırsa bu dönmenin ölçüsü kaç derece olur?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. BOA aynı dönmeyi ters yönde anlatır: −70°.
  2. Negatif yönde [OA’dan [OB’ye gitmek için turun geri kalanı kadar dönülür: 360° − 70° = 290°. Yön negatif: −290°.

−70° ve −290°

2 · Derece, dakika, saniye

Tam turu 360’a böl

Açıyı sayıyla anlatmak için bir birim gerekir. En yaygın birim derecedir; kökü Babil gökbilimcilerinin 60’lık sayı düzenine uzanır. Bu yüzden dereceden küçük birimler de 60’ar 60’ar bölünür, tıpkı saat, dakika ve saniye gibi.

360° 1° 12,75° = 12° 45′ 0′15′30′45′60′ 1° = 60 dakika 0,75 · 60′ = 45′ Ay ≈ 31′ 0″15″30″45″60″ 1′ = 60 saniye en yakın yıldız ≈ 0,77″
  1. Tam bir tur 360 eşit parçaya bölünür. Bir parçayı gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir (1°). Turuncu dilim tek bir derece: çok ince!
  2. Bir dereceyi büyüteçle açalım: 60 eşit parça. Her biri 1 dakika (1′). Yani 1° = 60′.
  3. Bir dakikayı da büyütelim: yine 60 parça. Her biri 1 saniye (1″). 1′ = 60″, buradan 1° = 60 · 60″ = 3600″.
  4. Ondalıklı dereceyi çevirmek için ondalık kısmı 60 ile çarp: 12,75° = 12° + 0,75 · 60′ = 12° 45′.
  5. Gökbilimciler bu küçük birimleri her gün kullanır. Ay gökyüzünde yaklaşık 31′ genişliğinde görünür: yarım dereceden biraz fazla. Dünya Güneş çevresinde dolanırken en yakın yıldız Proxima Centauri gökte çok az kayar; bu kaymayı anlatan ıraklık açısı yalnızca 0,77″.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

25,32° kaç derece, dakika ve saniyedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Tam kısım 25°.
  2. 0,32° = 0,32 · 60′ = 19,2′: 19′ ve 0,2′ kalır.
  3. 0,2′ = 0,2 · 60″ = 12″. Sonuç: 25° 19′ 12″.

25° 19′ 12″

Çözümlü örnek

37° 45′ 50″ + 22° 34′ 30″ toplamı nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Birimleri ayrı ayrı topla: 59° 79′ 80″.
  2. 80″ = 1′ 20″: 59° 80′ 20″.
  3. 80′ = 1° 20′: 60° 20′ 20″.

60° 20′ 20″

Çözümlü örnek

90° − 43° 27′ 15″ farkı nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 90° = 89° 60′ = 89° 59′ 60″ yazalım.
  2. 89° 59′ 60″ − 43° 27′ 15″ = 46° 32′ 45″.

46° 32′ 45″

Çözümlü örnek

Ay’ın gökteki genişliği yaklaşık 31′ ise bu kaç saniyedir? En yakın yıldızın ıraklık açısı 0,77″ ise Ay’ın genişliği bu açının yaklaşık kaç katıdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 31′ = 31 · 60″ = 1860″.
  2. 1860″ ÷ 0,77″ ≈ 2416: yaklaşık 2400 katı. Yıldızların uzaklığını ölçmek bu yüzden çok zordur: saniyenin kesirlerini ölçmek gerekir.

1860″; yaklaşık 2400 katı

3 · Radyan

Yarıçapla ölç

Derece insanların seçtiği bir birim: tam tur 360 yerine başka bir sayıya da bölünebilirdi. Matematikte ve fizikte çoğu zaman çemberin kendisinden gelen bir birim kullanılır: yarıçap, yayın üzerine kaç kez sığıyor?

1 rad r r r O 123456 π rad = 180°
  1. Merkezi O, yarıçapı r olan bir çember alalım.
  2. Yarıçap uzunluğunda bir ip keselim: ipin boyu da r.
  3. İpi çemberin üzerine saralım. Uzunluğu yarıçapa eşit olan bu yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır (1 rad). Yaklaşık 57,3°: 60°’den biraz az.
  4. İpleri art arda saralım: 6 ip ve biraz daha. Çemberin çevresi 2πr olduğundan tam tura 2π ≈ 6,28 yarıçap sığar: tam tur 2π radyan.
  5. Yarım tur π radyan = 180°. Derece ile radyan arasındaki her çevirme bu eşitlikten çıkar: 1° = π/180 radyan ≈ 0,0175 radyan, 1 radyan = 180°/π ≈ 57,3°.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

150° kaç radyandır? 7π/4 radyan kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 150 · π/180 = 15π/18 = 5π/6.
  2. π yerine 180° yaz: 7 · 180° ÷ 4 = 315°.

5π/6 ve 315°

Çözümlü örnek

1 radyan yaklaşık kaç derece, dakika ve saniyedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 1 radyan = 180°/π ≈ 57,2958°.
  2. 0,2958 · 60′ ≈ 17,75′: 17′ ve 0,75′ kalır.
  3. 0,75 · 60″ = 45″. Sonuç: ≈ 57° 17′ 45″.

≈ 57° 17′ 45″

Çözümlü örnek

Bir üçgenin iki açısı π/3 ve π/4 radyandır. Üçüncü açı kaç radyan, kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Üçgenin iç açıları toplamı 180° = π radyan.
  2. π − π/3 − π/4 = 12π/12 − 4π/12 − 3π/12 = 5π/12.
  3. 5 · 180° ÷ 12 = 75°. Denetim: 60° + 45° + 75° = 180°.

5π/12 = 75°

Deney

Yayı sar

Açıyı ve yarıçapı değiştir. Yay uzunluğu değişiyor mu? Yay ÷ yarıçap oranı ne zaman değişiyor?

Açı
—
Yay uzunluğu
—
Yay ÷ yarıçap
—

4 · Esas ölçü

Tam turları at

Işın dönmeyi sürdürürse açı 360°’yi aşabilir: bir tekerlek, bir pervane, dönen bir gezegen sayısız tur atar. Tam tur eklemek ya da çıkarmak ışını hep aynı yere getirir.

x y I. bölgeII. bölgeIII. bölgeIV. bölge 60° 420° 780° −300° 60°
  1. Köşeyi başlangıç noktasına, başlangıç kenarını x ekseninin pozitif yarısına koyalım. 60°’lik yönlü açının bitiş kenarı I. bölgede.
  2. Işın bir tam tur daha dönerse 60° + 360° = 420°’lik yönlü açı oluşur. Bitiş kenarı yine aynı yerde!
  3. İki tam tur fazla: 60° + 2 · 360° = 780°. Tam tur eklemek bitiş kenarını değiştirmez.
  4. Negatif yönde 300° dönen ışın da aynı yere varır: 60° − 360° = −300°.
  5. Bu ölçülerin hepsi 60° + k · 360° (k tam sayı) biçiminde. Aralarında 0° ≤ α < 360° aralığındaki tek ölçü 60°: buna esas ölçü denir. Radyanda: π/3 + 2kπ; esas ölçü π/3.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

1470° ve −1000° ölçülü açıların esas ölçüleri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 1470 = 4 · 360 + 30: dört tam tur atılır, esas ölçü 30°.
  2. −1000°’ye 360°’nin katlarını ekleyelim: −1000° + 3 · 360° = −1000° + 1080° = 80°.

30° ve 80°

Çözümlü örnek

47π/6 ve −17π/3 radyanlık açıların esas ölçüleri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 2π = 12π/6 ve 47 = 3 · 12 + 11: 47π/6 = 3 · 2π + 11π/6. Esas ölçü 11π/6.
  2. 2π = 6π/3: −17π/3 + 3 · 2π = −17π/3 + 18π/3 = π/3.

11π/6 ve π/3

Deney

Işını döndür

Açıyı kaydır, birimi değiştir. Işın kaç tur atıyor? Bitiş kenarı hangi bölgeye düşüyor? Hangi açılar aynı yerde bitiyor?

Yön
—
Dönme
—
Esas ölçü
—
Bitiş kenarı
—

5 · Gökyüzünde yönlü açılar

Gökyüzü saati

Dünya’nın kuzey kutbunun tam üstünden baktığımızı düşünelim. Dünya kendi ekseni çevresinde saat yönünün tersine döner: yönlü açı diliyle pozitif yönde. Ay Dünya’nın, Dünya da Güneş’in çevresinde aynı yönde dolanır. Venüs ise kendi ekseni çevresinde ters yönde ve çok yavaş döner: onun dönüşü negatif yönlü bir açıdır. Bu yüzden Venüs’te Güneş batıdan doğar.

Bir dönme seç, zamanı ilerlet: ışın kaç tur atıyor, esas ölçü ne oluyor?

Kuzey kutbunun üstünden bakış; kesikli çizgi başlangıç kenarı.

Yönlü açı
—
Dönme
—
Esas ölçü
—
Radyan
—

Çözümlü örnek

Dünya kuzey kutbunun üstünden bakınca saatte 15° döner. 30 saatte taradığı yönlü açı, esas ölçüsü ve radyan karşılığı nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Saatte 15°, pozitif yönde: 30 · 15° = 450°.
  2. 450° − 360° = 90°: bir tam tur ve çeyrek tur, esas ölçü 90°.
  3. 450 · π/180 = 5π/2 radyan.

450°; esas ölçü 90°; 5π/2 radyan

Çözümlü örnek

Ay yıldızlara göre yaklaşık 27,3 günde Dünya çevresinde bir tur atar. Bir günde yaklaşık kaç derece, kaç dakika yol alır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 360° ÷ 27,3 ≈ 13,19°.
  2. 0,19 · 60′ ≈ 11′: günde yaklaşık 13° 11′.
  3. Bu, Ay’ın kendi genişliğinin (≈ 31′) 25 katından fazla: Ay yıldızların önünde her gece belirgin biçimde yer değiştirir.

≈ 13° 11′

Çözümlü örnek

Venüs kendi ekseni çevresinde ters yönde yaklaşık 243 günde bir tur döner. 81 günde taradığı yönlü açı ve bu açının esas ölçüsü nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 81 gün, 243 günün üçte biri: üçte bir tur, 120°.
  2. Dönme saat yönünde (ters yönde): yönlü açı −120°.
  3. Esas ölçü: −120° + 360° = 240°.

−120°; esas ölçü 240°

Kısa tarih

Kil tabletten radyana

Babil gökbilimi · M.Ö. 1. binyıl

Babil gökbilimcileri ölçümlerini 60’lık kesirlerle yazdı; Güneş’in gökteki yıllık yolunu 12 burca, her burcu 30 parçaya böldüler: 360 parçalı çember. 360’ın neden seçildiği kesin bilinmiyor.

Batlamyus · 2. yüzyıl

İskenderiyeli Batlamyus (Ptolemaios) Almagest’te açıları derece ve 60’lık kesirlerle yazdı. Latince çevirilerde bu kesirlere “birinci küçük parça” ve “ikinci küçük parça” dendi. Dilimizdeki dakika (ince, küçük) ve saniye (ikinci) sözcükleri Arapçadan gelir ve aynı fikri taşır.

Roger Cotes · 1722

Açıyı gördüğü yayın yarıçapa oranıyla ölçme fikri genellikle Cotes’a atfedilir. Ölümünden sonra 1722’de yayımlanan yazılarında 1 radyanın derece karşılığı hesaplanır.

James Thomson · 1873

“Radyan” (İngilizce radian) adı ilk kez 1873’te, James Thomson’ın Belfast’taki Queen’s College’da hazırladığı sınav sorularında basıldı.

Babil’in 60 tabanı: saat ve açı · Eratosthenes Dünya’nın çevresini nasıl ölçtü? · Nasîrüddin Tûsî ve trigonometri

Özet

Tek bakışta

yönlü açıBaşlangıç ve bitiş kenarı sıralanmış açı.
pozitif yön (+)Saatin dönme yönünün tersi.
negatif yön (−)Saatin dönme yönü.
AOB ve BOAAynı dönme, ters yön: ölçüleri ters işaretli.
1° = 60′Bir derece 60 dakika; tam tur 360°.
1′ = 60″Bir dakika 60 saniye; 1° = 3600″.
1 radyanYarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açı, ≈ 57,3°.
π rad = 180°Tam tur 2π radyan = 360°.
D ÷ 180 = R ÷ πDerece ile radyan arasında çevirme.
α + k · 360°Bitiş kenarı aynı olan açılar (k tam sayı); radyanda α + 2kπ.
esas ölçü0° ≤ α < 360° (radyanda 0 ≤ α < 2π) aralığındaki ölçü.
15° / saatDünya kuzeyden bakınca pozitif yönde döner; Venüs ters yönde.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. Saatin akrebi 3 saatte kaç derecelik yönlü açı tarar?
2. 2,35° kaç derece, kaç dakikadır?
3. 45° 50′ 40″ + 30° 25′ 30″ toplamı nedir?
4. 240° kaç radyandır?
5. 5π/12 radyan kaç derecedir?
6. 1125°’lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
7. −510°’lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
8. 29π/4 radyanlık açının esas ölçüsü nedir?
9. −1200°’lik açının bitiş kenarı hangi bölgededir?
10. Kuzey kutbunun üstünden bakınca Dünya saatte 15° döner. 50 saatte taradığı yönlü açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Yönlü açı kavramı.
  • Derece, dakika, saniye ve radyan; esas ölçü.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Yönlü Açılar: sık sorulanlar

Yönlü Açılar kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Trigonometri” ünitesinde, “Yönlü Açılar” adıyla yer alır.

Yönlü Açılar TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları