Ana içeriğe atla

AYT · Trigonometri

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri

sin(a + b), sin a + sin b değildir. İki açının toplamının ve farkının değerleri iki dik üçgenden ve birim çemberde bir dönmeden çıkar; iki kat açı da onların özel bir hâli.

  • sin(a + b)sin a · cos b + cos a · sin b
  • sin 2a = 2 sin a · cos aiki kat açı
  • sin 75° = (√6 + √2)/4toplamdan kesin değer
  • ≈ 73,5°Ankara’da 21 Haziran öğle Güneşi

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde açıları, faz farkını ve enlemi değiştir; iki yanın nasıl hep eşit kaldığını gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri nedir?

Toplam ve fark formülleri, iki açının toplamının ya da farkının trigonometrik değerini açıların kendi değerlerinden bulur: sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b. Bu formüllerde b yerine a yazılınca iki kat açı formülleri çıkar: sin 2a = 2 sin a · cos a ve cos 2a = cos² a − sin² a.

MEB konusu
Toplam-Fark ve İki kat Açı Formülleri
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Toplam formülü

Üç dik üçgen, bir dikdörtgen

sin 30° = 1/2 ve sin 60° = √3/2. Ama sin(30° + 60°) = sin 90° = 1; iki sinüsün toplamı olan yaklaşık 1,37 değil. Açılar toplanınca sinüsler toplanmıyor. Doğru kuralı bulmak için bir dikdörtgenin içine üç dik üçgen yerleştireceğiz.

a + b a a b 1 cos b sin b Q P b 1 cos b sin b Q P cos a · cos b sin a · cos b A cos a · sin b sin a · sin b B sin(a + b) cos(a + b) C O
  1. Hipotenüsü 1 birim, O’daki açısı b olan bir OQP dik üçgeni; dik açı Q’da. Öyleyse |OQ| = cos b ve |QP| = sin b.
  2. Üçgeni O çevresinde a kadar döndürelim. Şimdi OQ yatayla a, hipotenüs OP ise yatayla a + b açısı yapıyor. Aradığımız sin(a + b) ve cos(a + b): P’nin yüksekliği ve O’ya yataydaki uzaklığı.
  3. Q’dan yataya dikme inelim. OAQ dik üçgeninin hipotenüsü cos b, O’daki açısı a: |OA| = cos a · cos b ve |AQ| = sin a · cos b.
  4. Dikdörtgeni tamamlayalım. Q’da üç açı yan yana: 90° − a (OAQ’dan), 90° (OQP’nin dik açısı) ve kalan a. QBP dik üçgeninin hipotenüsü sin b: |QB| = cos a · sin b ve |BP| = sin a · sin b.
  5. Sol üstte OCP dik üçgeni: hipotenüs 1; CP ile OA paralel olduğundan P’deki açı a + b (iç ters açılar). |OC| = sin(a + b) ve |CP| = cos(a + b). Dikdörtgenin sol ve sağ kenarı eşit: sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b.
  6. Üst ve alt kenar da eşit: cos(a + b) + sin a · sin b = cos a · cos b. Yani cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

sin 75° değerini kesin olarak bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 75° = 45° + 30°: iki açının da değerlerini biliyoruz.
  2. sin 75° = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° = (√2/2) · (√3/2) + (√2/2) · (1/2).
  3. = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966.

(√6 + √2)/4

Çözümlü örnek

cos 75° değerini kesin olarak bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° · cos 30° − sin 45° · sin 30°.
  2. = (√2/2) · (√3/2) − (√2/2) · (1/2) = √6/4 − √2/4 = (√6 − √2)/4 ≈ 0,259.

(√6 − √2)/4

2 · Fark formülü

Döndür, uzaklık değişmesin

Dikdörtgen kanıtı dar açılar içindi. Birim çemberde her açı için geçerli bir kanıt var ve tek fikri şu: iki noktayı birlikte döndürünce aralarındaki uzaklık değişmez.

x y O a b P(cos a, sin a) Q(cos b, sin b) d a − b P′(cos(a − b), sin(a − b)) Q′(1, 0) d
  1. Birim çemberde a ve b açılarının noktaları: P(cos a, sin a) ve Q(cos b, sin b). Şekilde a = 110°, b = 40°; ama hesap her açı için aynı.
  2. İki nokta arasındaki uzaklık d. Uzaklık formülünü açıp sin²x + cos²x = 1’i kullanınca: d² = (cos a − cos b)² + (sin a − sin b)² = 2 − 2(cos a · cos b + sin a · sin b).
  3. Şimdi P ile Q’yu birlikte, saat yönünde b kadar döndürelim. Q, (1, 0) noktasına; P, a − b açısının noktasına gelir. Döndürme uzaklığı değiştirmez: kiriş yine d.
  4. Yeni konumlarla aynı uzaklık: d² = (cos(a − b) − 1)² + sin²(a − b) = 2 − 2 cos(a − b).
  5. İki d² eşit: 2 − 2 cos(a − b) = 2 − 2(cos a · cos b + sin a · sin b). Buradan cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b. Hiçbir adımda açının dar olması gerekmedi.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

cos 15° değerini fark formülüyle bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 15° = 45° − 30°.
  2. cos 15° = cos 45° · cos 30° + sin 45° · sin 30° = (√2/2) · (√3/2) + (√2/2) · (1/2).
  3. = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966.

(√6 + √2)/4: sin 75° ile aynı sayı. Şaşırtıcı değil; 15° ile 75° tümler açılar.

Çözümlü örnek

sin 50° · cos 20° − cos 50° · sin 20° ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Biçim sin a · cos b − cos a · sin b; a = 50° ve b = 20° ile sin(a − b).
  2. sin(50° − 20°) = sin 30° = 1/2.

1/2

Çözümlü örnek

a ve b dar açılar; sin a = 3/5 ve cos b = 5/13 ise sin(a + b) ve cos(a + b) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Eksik değerler (dar açılarda hepsi pozitif): cos a = √(1 − 9/25) = 4/5 ve sin b = √(1 − 25/169) = 12/13.
  2. sin(a + b) = (3/5) · (5/13) + (4/5) · (12/13) = 15/65 + 48/65 = 63/65.
  3. cos(a + b) = (4/5) · (5/13) − (3/5) · (12/13) = 20/65 − 36/65 = −16/65.

63/65 ve −16/65. Kosinüs negatif: a + b geniş açı. Denetim: 63² + 16² = 65².

Deney

Formülü sına

Formülü seç, a ve b’yi değiştir. Yeşil sütunla iki parçalı sütunun ucu hiç ayrılıyor mu? Kırmızı sütun (yanlış tahmin) ne zaman tutuyor?

sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b

Sol taraf
—
Formül
—
Yanlış tahmin
—

3 · Tanjant

Böl, tanjanta çevir

tan(a + b) = sin(a + b) ÷ cos(a + b). Pay ve paydaya formülleri yazıp ikisini de cos a · cos b’ye bölersek her şey tanjantla yazılır:

(sin a · cos b + cos a · sin b) ÷ (cos a · cos b − sin a · sin b) = (tan a + tan b) ÷ (1 − tan a · tan b)

En güzel kullanımı iki doğru arasındaki açı: bir doğrunun eğimi, x ekseniyle yaptığı açının tanjantıdır. Doğrular arasındaki açı iki açının farkı olduğundan tan(α − β) formülü doğrudan açıyı verir.

x y 246 24 α β θ d₁: y = 3x d₂: y = x/2
tan α = 3 ve tan β = 1/2; aralarındaki açı θ = α − β

Çözümlü örnek

tan 75° değerini kesin olarak bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. tan 75° = tan(45° + 30°) = (1 + √3/3) ÷ (1 − 1 · √3/3).
  2. Pay ve paydayı 3 ile çarp: (3 + √3) ÷ (3 − √3). Paydayı eşleniği 3 + √3 ile genişlet: (3 + √3)² ÷ (9 − 3) = (12 + 6√3) ÷ 6.
  3. = 2 + √3 ≈ 3,732.

2 + √3

Çözümlü örnek

a ve b dar açılar; tan a = 1/2 ve tan b = 1/3 ise a + b kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. tan(a + b) = (1/2 + 1/3) ÷ (1 − 1/2 · 1/3) = (5/6) ÷ (5/6) = 1.
  2. a ve b dar olduğundan 0° < a + b < 180°; bu aralıkta tanjantı 1 olan tek açı 45°.

45°

Çözümlü örnek

y = 3x ve y = x/2 doğruları arasındaki dar açı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Eğimler, doğruların x ekseniyle yaptığı açıların tanjantı: tan α = 3 ve tan β = 1/2. Aradaki açı θ = α − β.
  2. tan θ = (3 − 1/2) ÷ (1 + 3 · 1/2) = (5/2) ÷ (5/2) = 1.
  3. θ = 45°: şekildeki yeşil açı.

45°

4 · İki kat açı

b = a olunca

Toplam formüllerinde b yerine a yazalım: sin 2a = sin(a + a) = sin a · cos a + cos a · sin a = 2 sin a · cos a ve cos 2a = cos a · cos a − sin a · sin a = cos²a − sin²a. Aynı sonuçlar bir ikizkenar üçgenin alanından ve kenarından da çıkıyor.

sin 2a K a a cos a sin a sin a H 2a 1 1 cos 2a 1 − cos 2a O A B
  1. Birim çemberde merkez açısı 2a olan OAB ikizkenar üçgeni: |OA| = |OB| = 1. Şekilde a = 35°.
  2. Alanı birinci yoldan: taban OA = 1; B’den OA’ya inen yükseklik B’nin ordinatı, |BK| = sin 2a. Alan = (1/2) · 1 · sin 2a.
  3. İkinci yol: ikizkenar üçgende tepe açısının açıortayı OH tabana diktir ve onu ortalar. OHA ve OHB dik üçgenlerinde hipotenüs 1, açı a: |OH| = cos a ve |AH| = |HB| = sin a. Taban AB = 2 sin a, yükseklik cos a: Alan = (1/2) · 2 sin a · cos a.
  4. Aynı üçgenin alanı: (1/2) · sin 2a = sin a · cos a. Yani sin 2a = 2 sin a · cos a.
  5. Şimdi AB kenarı. AKB dik üçgeninde |AK| = 1 − cos 2a ve |BK| = sin 2a: |AB|² = (1 − cos 2a)² + sin²2a = 2 − 2 cos 2a. Öte yandan |AB| = 2 sin a, yani 4 sin²a = 2 − 2 cos 2a ve cos 2a = 1 − 2 sin²a.
  6. sin²a yerine 1 − cos²a yazınca cos 2a = 2 cos²a − 1; ikisinin ortalaması cos 2a = cos²a − sin²a. Üç biçim de aynı sayıyı verir; soruda ne verildiyse ona uygun olanı seç.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

x dar açı ve sin x = 3/5 ise sin 2x, cos 2x ve tan 2x kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. cos x = √(1 − 9/25) = 4/5.
  2. sin 2x = 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25.
  3. cos 2x = 1 − 2 · (3/5)² = 1 − 18/25 = 7/25 (cos²x − sin²x = 16/25 − 9/25 ile aynı).
  4. tan 2x = sin 2x ÷ cos 2x = 24/7. Formülle de: tan x = 3/4 ve 2 · (3/4) ÷ (1 − 9/16) = (3/2) ÷ (7/16) = 24/7.

24/25; 7/25; 24/7

Çözümlü örnek

cos 30° = √3/2 bilgisinden ve iki kat açı formülünden cos 15°’yi bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. cos 30° = cos(2 · 15°) = 2 cos²15° − 1.
  2. √3/2 = 2 cos²15° − 1, yani cos²15° = (2 + √3)/4.
  3. cos 15° pozitif: cos 15° = √(2 + √3)/2 ≈ 0,966.
  4. Fark formülünden (√6 + √2)/4 bulmuştuk. Aynı sayı mı? Karesi (6 + 2√12 + 2)/16 = (8 + 4√3)/16 = (2 + √3)/4. Evet.

√(2 + √3)/2 = (√6 + √2)/4

5 · Grafikte iki kat

İki kat hızlı dalga

sin 2x’te açıyı 2 ile çarpmak, birim çemberdeki noktayı iki kat hızlı döndürmek demek. Aynı sürede iki tur: grafikte iki dalga.

x açısı: y = sin x 2x açısı: y = sin 2x π/4π/23π/4π5π/43π/27π/42π −2−112 x π 2π y = 2 sin x
  1. İki nokta (1, 0)’dan aynı anda yola çıkıyor: mavi nokta x açısında, yeşil nokta 2x açısında. Grafikte mavi iz sin x, yeşil iz sin 2x.
  2. x = π/4 iken yeşil nokta 2x = π/2’ye, yani tepeye varmış: sin 2x = 1. Mavi nokta henüz yolun yarısında: sin x = √2/2.
  3. x = π/2: mavi nokta tepede; yeşil nokta π’de ve sin 2x yeniden 0.
  4. x = π: yeşil nokta tam tur attı, dalgasını bitirdi. sin 2x kendini her π’de bir tekrar eder: periyodu π.
  5. x = 2π: sin x bir dalga çizerken sin 2x iki dalga çizdi. Yükseklik değişmedi: ikisi de −1 ile 1 arasında.
  6. Sık yapılan hata: sin 2x’i 2 sin x sanmak. 2 sin x (turuncu kesikli) dalgayı dikeyde iki katına çıkarır; sin 2x ise yatayda sıkıştırır. Formülün söylediği 2 sin x · cos x çarpımı (noktalı) tam yeşil eğrinin üstüne düşer.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

f(x) = sin x · cos x fonksiyonunun periyodu, en büyük ve en küçük değeri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. sin 2x = 2 sin x · cos x olduğundan f(x) = (1/2) · sin 2x.
  2. Periyot 2π ÷ 2 = π.
  3. sin 2x, −1 ile 1 arasında: en büyük değer 1/2, en küçük değer −1/2.

π; 1/2 ve −1/2

6 · İki dalga üst üste

Güçlendir ya da söndür

Aynı periyotlu iki dalga üst üste binince ne olur? Ses, ışık ve su dalgalarında bir noktadaki toplam titreşim, iki dalganın toplamıdır. Toplam formülü bu toplamı tek bir dalgaya çevirir: sin(x + α) = cos α · sin x + sin α · cos x olduğundan

sin x + sin(x + α) = (1 + cos α) · sin x + sin α · cos x

Bu, a · sin x + b · cos x biçiminde bir ifade; böyle her ifade tek bir sinüs dalgasıdır. Deneyde iki dalga arasındaki faz farkı α’yı değiştir ve toplamın (yeşil) genliğini izle.

sin x + sin(x + α)

Açılım
—
Toplam
—
Genlik
—

Çözümlü örnek

f(x) = 3 sin x + 4 cos x fonksiyonunun en büyük ve en küçük değeri kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. R = √(3² + 4²) = 5. cos θ = 3/5 ve sin θ = 4/5 olacak biçimde bir θ açısı seç.
  2. 3 sin x + 4 cos x = 5 · (cos θ · sin x + sin θ · cos x) = 5 · sin(x + θ).
  3. sin(x + θ), −1 ile 1 arasında: en büyük değer 5, en küçük değer −5.

5 ve −5 (3 + 4 = 7 değil: sin x ile cos x aynı anda 1 olamaz)

7 · Gökyüzünde fark açısı

Öğle Güneşi ne kadar yüksek?

Dünya’nın dönme ekseni, yörünge düzlemine dik değil; dikle yaklaşık 23,44° açı yapar. Bu yüzden Güneş ışınlarının öğlen dik geldiği enlem yıl boyunca 23,44° K ile 23,44° G arasında gidip gelir. Bu enleme Güneş’in sapması denir ve δ ile gösterilir.

Enlemi φ olan bir yerde öğle vakti, tepe noktası ile Güneş arasındaki açı iki enlemin farkıdır: |φ − δ|. Öğle Güneşi’nin ufuktan yüksekliği h = 90° − |φ − δ| olur ve fark formülü bu yüksekliğin sinüsünü verir: sin h = cos(φ − δ) = cos φ · cos δ + sin φ · sin δ.

Öğle yüksekliği
—
Fark formülüyle
—
Yatay yüzeye düşen ışık
—
1 m’lik çubuğun gölgesi
—

Çözümlü örnek

Ankara’nın enlemi yaklaşık 39,93° K. 21 Haziran’da (δ = 23,44°) ve 21 Aralık’ta (δ = −23,44°) öğle Güneşi’nin yüksekliği kaçar derecedir? Yatay bir çatıya öğlen düşen ışık, yazın kışınkinin kaç katıdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 21 Haziran: h = 90° − |39,93° − 23,44°| = 90° − 16,49° = 73,51°.
  2. 21 Aralık: h = 90° − |39,93° − (−23,44°)| = 90° − 63,37° = 26,63°.
  3. Fark formülüyle sin h = cos φ · cos δ + sin φ · sin δ. Yazın ≈ 0,767 · 0,917 + 0,642 · 0,398 ≈ 0,959; kışın sin δ negatif: ≈ 0,767 · 0,917 + 0,642 · (−0,398) ≈ 0,448.
  4. 0,959 ÷ 0,448 ≈ 2,1: aynı çatıya yazın öğlen iki kattan fazla ışık düşer.

73,51° ve 26,63°; yaklaşık 2,1 kat. Kışın 1 m’lik bir çubuğun öğle gölgesi cot 26,63° ≈ 2 m, yazın cot 73,51° ≈ 0,3 m.

Çözümlü örnek

60° K enleminde (Oslo, Helsinki ve St. Petersburg bu enleme yakın) Kasım başlarında Güneş’in sapması yaklaşık −15°’dir. O gün öğle Güneşi’nin yüksekliğini fark formülüyle bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. sin h = cos(φ − δ) = cos(60° − (−15°)) = cos 75°.
  2. Birinci bölümde bulduk: cos 75° = cos(45° + 30°) = (√6 − √2)/4 ≈ 0,259.
  3. sin h = cos 75° = sin 15° ve h dar açı: h = 15°. Denetim: 90° − |60° − (−15°)| = 90° − 75° = 15°.

h = 15°. Yatay yüzeye düşen ışık, Güneş tam tepedeyken düşenin yalnız %26 kadarı.

Kısa tarih

Kirişten dalgaya

Batlamyus · 2. yüzyıl

Almagest’te yarım derece aralıklarla bir kiriş tablosu hazırladı. Tabloyu kurmak için, çembere çizilen dörtgenler üzerine kendi adıyla anılan teoremden iki yayın farkının ve toplamının kirişini veren kurallar çıkardı: toplam-fark formüllerinin kiriş dilindeki karşılığı.

Ebu’l-Vefâ el-Bûzcânî · 10. yüzyıl

Bağdat’ta çalışan gökbilimci, sin(a ± b) formüllerini kiriş yerine sinüsle, bugünkü biçimlerine çok yakın yazdı ve daha duyarlı sinüs tabloları hesapladı.

François Viète · 1595

Adriaan van Roomen, dünyadaki bütün matematikçilere 45. dereceden bir denklem sormuştu. Viète denklemin bir yayın kirişini o yayın 45’te birinin kirişine bağlayan katlı açı bağıntısı olduğunu gördü ve 23 pozitif kökünü verdi.

Joseph Fourier · 1822

Isının Analitik Kuramı’nda periyodik dalgaları sinüs ve kosinüs dalgalarının toplamı olarak yazma fikrini geliştirdi. Ses, görüntü ve deprem kayıtlarını işleyen yöntemler bu fikre dayanır.

Sinüs kelimesinin kökeni · Tûsî ve trigonometri · Fourier serileri

Özet

Tek bakışta

sin(a ± b)sin a · cos b ± cos a · sin b
cos(a ± b)cos a · cos b ∓ sin a · sin b: kosinüste işaret ters döner.
tan(a ± b)(tan a ± tan b) ÷ (1 ∓ tan a · tan b)
sin(a + b) ≠ sin a + sin bTrigonometrik fonksiyon toplama üzerine dağılmaz.
sin 2a2 sin a · cos a
cos 2acos²a − sin²a = 2 cos²a − 1 = 1 − 2 sin²a
tan 2a2 tan a ÷ (1 − tan²a)
cos²a ve sin²a(1 + cos 2a) ÷ 2 ve (1 − cos 2a) ÷ 2
15° ve 75°sin 15° = cos 75° = (√6 − √2)/4; cos 15° = sin 75° = (√6 + √2)/4; tan 75° = 2 + √3.
sin 2xPeriyodu π: sin x’in iki kat hızlısı. 2 sin x ile karıştırma.
a · sin x + b · cos x= R · sin(x + θ), R = √(a² + b²); en büyük değer R.
öğle Güneşih = 90° − |φ − δ| ve sin h = cos φ · cos δ + sin φ · sin δ.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. cos 105° kaçtır?
2. sin 80° · cos 20° − cos 80° · sin 20° ifadesinin değeri kaçtır?
3. tan a = 2 ve tan b = 3 ise tan(a + b) kaçtır?
4. x dar açı ve sin x = 5/13 ise sin 2x kaçtır?
5. cos x = 1/3 ise cos 2x kaçtır?
6. cos²15° − sin²15° kaçtır?
7. f(x) = 5 sin x + 12 cos x fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
8. f(x) = sin x · cos x fonksiyonunun periyodu kaçtır?
9. tan x = 1/2 ise tan 2x kaçtır?
10. Enlemi 30° K olan bir yerde Güneş’in sapması 23,44° iken öğle Güneşi’nin yüksekliği kaç derecedir?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Toplam ve fark formülleri.
  • sin 2x ve cos 2x gibi iki kat açı eşitliklerini türetip hesaplarda kullanmak.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri: sık sorulanlar

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Trigonometri” ünitesinde, “Toplam-Fark ve İki kat Açı Formülleri” adıyla yer alır.

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları