AYT · Trigonometri

Trigonometrik Denklemler Konu Anlatımı

Sinüsü 1/2 olan tek bir açı yok, sonsuz tane var. Birim çemberi bir doğruyla kesmek, bir denklemin bütün köklerini gösterir.

π − αsin x = a’nın ikinci kökü
± αcos x = a’nın kökleri
+ 2kπ, + kπsin ve cos’ta, tan’da tekrar
c² ≤ a² + b²a sin x + b cos x = c çözülebilir

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde doğruyu kaydır, katsayıları değiştir, gün uzunluğunu seç ve köklerin nasıl değiştiğini gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Trigonometrik Denklemler nedir?

Trigonometrik denklem, bilinmeyenin bir trigonometrik fonksiyonun içinde bulunduğu denklemdir; örneğin 2 sin x = 1. Sinüs ve kosinüs periyodik olduğu için böyle bir denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır: bir tur içindeki kökler bulunur, sonra periyodun katları eklenir. Sorularda genellikle belirli bir aralıktaki kökler istenir.

Sınav: AYT Matematik
Sınıf ve ünite: 12. sınıf · Trigonometri
MEB konusu: Trigonometrik Denklemler
Bu derste: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Temel denklemler

Yatay doğru, iki nokta

İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonu geçen denklemlere trigonometrik denklem denir: 2 sin x − 1 = 0 gibi. Önceki derste sinüsü 1/2 olan açıyı ters fonksiyonla bulmuştuk: arcsin(1/2) = π/6. Ama tek kök o değil. Birim çemberde P(cos x, sin x) olduğundan sin x = a denklemi şunu sorar: çember üzerinde ordinatı a olan noktalar hangileri?

sin x = 1/2: ordinatı 1/2 olan noktalar, y = 1/2 doğrusunun çemberi kestiği yerlerdir. Doğru çemberi iki noktada keser: α = π/6 ve y eksenine göre simetriği π − α = 5π/6.
Bir tam tur (2π) dönen nokta aynı yere gelir: π/6 + 2π = 13π/6 de bir köktür, π/6 − 2π = −11π/6 de. Sayı doğrusunda kökler iki sıra hâlinde, 2π arayla dizilir: x = π/6 + 2kπ veya x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ.
sin x = −1/2: doğru alt yarıda. arcsin(−1/2) = −π/6 (yani 11π/6) ve π − (−π/6) = 7π/6. Kural aynı: x = −π/6 + 2kπ veya x = 7π/6 + 2kπ.
sin x = 1: y = 1 doğrusu çembere tepede yalnız değer. İki nokta birleşti, α = π − α = π/2: tek sıra kök, x = π/2 + 2kπ.
sin x = 3/2: y = 3/2 doğrusu çemberin üstünden geçer, hiçbir noktayı kesmez. −1 ≤ sin x ≤ 1 olduğundan çözüm yok: Ç = ∅.
cos x = 1/2: bu kez apsisi 1/2 olan noktalar, yani dikey x = 1/2 doğrusu. İki nokta x eksenine göre simetrik: π/3 ve −π/3. x = π/3 + 2kπ veya x = −π/3 + 2kπ, kısaca x = ±π/3 + 2kπ.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

2 cos x + √3 = 0 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki köklerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle

cos x = −√3/2. Kosinüsü √3/2 olan dar açı 30°; kosinüs negatif olduğundan kökler II. ve III. bölgede.
arccos(−√3/2) = 180° − 30° = 150°. Öbür kök −150°, esas ölçüsü −150° + 360° = 210°.
Kökler 150° ve 210°.

150° ve 210°

Çözümlü örnek

sin x = 0,6 denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökleri nelerdir? (arcsin 0,6 ≈ 0,64)

Çözümü gösterÇözümü gizle

Esas çözüm α = arcsin 0,6 ≈ 0,64 radyan (≈ 36,87°). Özel bir açı değil, ama yöntem aynı.
İkinci kök π − α ≈ 2,5 radyan (≈ 143,13°).
[0, 2π) içinde iki kök: ≈ 0,64 ve ≈ 2,5. Genel çözüm: x = arcsin 0,6 + 2kπ veya x = π − arcsin 0,6 + 2kπ.

≈ 0,64 ve ≈ 2,5 radyan

Deney

Doğruyu kaydır, kökleri say

Denklemi seç ve a’yı değiştir. Doğru çemberi ve eğriyi kaç noktada kesiyor? [0, 2π) bandında kaç kök var? a, 1’i geçince ne oluyor? Tanjantta kökler neden π arayla?

a = 1/2

sin x = 1/2

Esas çözüm: —
Genel çözüm: —
[0, 2π) içinde: —

Çözümlü örnek

tan x = −1 denkleminin genel çözümünü ve [0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle

arctan(−1) = −π/4. Periyot π: x = −π/4 + kπ, k ∈ ℤ.
k = 1 → 3π/4; k = 2 → 7π/4. (k = 0 ve k = 3 aralığın dışında kalır.)
Kökler 3π/4 ve 7π/4.

x = −π/4 + kπ; [0, 2π) içinde 3π/4 ve 7π/4

2 · İki ifadenin eşitliği

Aynı sinüs, aynı kosinüs

sin 3x = sin x gibi denklemlerde iki yanda da değişkene bağlı açılar var. Sinüsleri eşit iki açı birbirine eşit olmak zorunda değil. Birim çemberde bakalım: hangi iki noktanın sinüsü, kosinüsü ya da tanjantı aynı?

Çizimde u = 35°.

Aynı sinüs demek aynı yükseklik demek. u açısının noktasını y eksenine göre yansıtınca π − u açısının noktası çıkar; yüksekliği aynı. Bu yüzden sin f(x) = sin g(x) ise f(x) = g(x) + 2kπ veya f(x) = π − g(x) + 2kπ.
Aynı kosinüs demek aynı yatay konum. x eksenine göre yansıtınca −u çıkar. cos f(x) = cos g(x) ise f(x) = g(x) + 2kπ veya f(x) = −g(x) + 2kπ, kısaca f(x) = ±g(x) + 2kπ.
Aynı tanjant: O’dan geçen doğru tanjant eksenini tek bir T noktasında keser; çemberi ise karşılıklı iki noktada. Merkeze göre yansıma π + u. tan f(x) = tan g(x) ise f(x) = g(x) + kπ; iki yan da tanımlı olmalı.
Sinüs ile kosinüs: y = x doğrusuna göre yansıma koordinatların yerini değiştirir; u’nun noktası π/2 − u’nun noktasına gider. cos u = sin(π/2 − u) olduğundan sin f(x) = cos g(x) denklemi sin f(x) = sin(π/2 − g(x)) olur; sonra ilk kural.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

cos 2x = cos x denkleminin genel çözümünü ve [0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle

2x = x + 2kπ → x = 2kπ.
2x = −x + 2kπ → 3x = 2kπ → x = 2kπ/3.
x = 2kπ kökleri zaten x = 2kπ/3’ün içinde (k, 3’ün katıyken). Genel çözüm x = 2kπ/3.
[0, 2π) içinde: 0, 2π/3 ve 4π/3.

x = 2kπ/3; üç kök: 0, 2π/3, 4π/3

Çözümlü örnek

sin 3x = cos x denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle

cos x = sin(π/2 − x): denklem sin 3x = sin(π/2 − x) olur.
3x = π/2 − x + 2kπ → 4x = π/2 + 2kπ → x = π/8 + kπ/2.
3x = π − (π/2 − x) + 2kπ = π/2 + x + 2kπ → 2x = π/2 + 2kπ → x = π/4 + kπ.

x = π/8 + kπ/2 veya x = π/4 + kπ (k ∈ ℤ); [0, 2π) içinde altı kök

Çözümlü örnek

tan 3x = tan x denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle

3x = x + kπ → x = kπ/2.
k tek iken x = π/2, 3π/2, …: bu açılarda tan x (ve tan 3x) tanımsız, kök olamaz.
k çift iken x = kπ/2 = mπ: tan 3x = tan x = 0, sağlanıyor. Çözüm x = mπ, m ∈ ℤ.

x = kπ, k ∈ ℤ

3 · Aralıktaki kökler

Açı katlanınca kökler çoğalır

Sınavlarda çoğu zaman bütün kökler değil, bir aralıktaki kökler sorulur: kaç tane, toplamları ne? Açı x yerine 2x ya da 3x olunca dalga sıkışır ve aynı doğruyu daha çok keser.

y = sin x eğrisi ile y = 1/2 doğrusu [0, 2π) aralığında iki kez kesişir: π/6 ve 5π/6.
sin 2x = 1/2: periyot π’ye iner, dalga [0, 2π) aralığına iki kez sığar. Kökler π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12: 4 kök.
sin 3x = 1/2: periyot 2π/3, üç dalga, 6 kök.
Neden? u = 3x dersek x ∈ [0, 2π) iken u ∈ [0, 6π): üç tam tur, her turda iki kök. u = π/6 + 2kπ veya u = 5π/6 + 2kπ; 3’e bölünce x = π/18 + 2kπ/3 veya x = 5π/18 + 2kπ/3.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

sin 2x = 1/2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

2x = π/6 + 2kπ veya 2x = 5π/6 + 2kπ; ikiye böl: x = π/12 + kπ veya x = 5π/12 + kπ.
k = 0 ve k = 1: π/12, 13π/12, 5π/12, 17π/12 (k = 2’de 2π aşılır).
Toplam (1 + 13 + 5 + 17)π/12 = 36π/12 = 3π.

3π

Çözümlü örnek

cos(2x − π/3) = 1/2 denkleminin [0, π] aralığında kaç kökü vardır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

2x − π/3 = π/3 + 2kπ veya 2x − π/3 = −π/3 + 2kπ.
İlkinden x = π/3 + kπ, ikincisinden x = kπ.
[0, π] içinde (uçlar dahil): 0, π/3 ve π. 3 kök.

3 kök: 0, π/3, π

4 · Tek açıya, tek fonksiyona

Değişken değiştir, çarpanlara ayır

Kazanımın genel biçimi a · sin f(x) + b · cos g(x) = c: iki yanda farklı açılar ve farklı fonksiyonlar olabilir. Yol hep aynı: önce tek açıya, sonra tek fonksiyona indir. Önceki derste gördüğümüz iki kat açı formülleri burada işe yarar.

sin x + cos 2x = 0. Denklemde iki farklı açı var: x ve 2x. Grafiğe bakınca eğri [0, 2π) aralığında x eksenine üç yerde değiyor. Bunlar tam olarak hangi noktalar?
cos 2x = 1 − 2 sin²x yazınca her şey sin x cinsinden olur: sin x + 1 − 2 sin²x = 0, yani 2 sin²x − sin x − 1 = 0. t = sin x deyince 2t² − t − 1 = 0 → (2t + 1)(t − 1) = 0: t = 1 ya da t = −1/2. İkisi de [−1, 1] aralığında.
sin x = 1: y = 1 doğrusu çembere tepede değer: x = π/2.
sin x = −1/2: y = −1/2 doğrusu çemberi iki noktada keser: x = 7π/6 ve x = 11π/6.
Grafikte doğrula: eğri x eksenini 7π/6 ve 11π/6’da keser, π/2’de ise eksene değip geri döner (orada sin x en büyük değerinde). [0, 2π) içinde Ç = {π/2, 7π/6, 11π/6}.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

cos 2x + 5 sin x = 3 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle

cos 2x = 1 − 2 sin²x: 1 − 2 sin²x + 5 sin x = 3 → 2 sin²x − 5 sin x + 2 = 0.
t = sin x: 2t² − 5t + 2 = 0 → (2t − 1)(t − 2) = 0 → t = 1/2 ya da t = 2.
sin x = 2 olamaz (|sin x| ≤ 1), atılır. sin x = 1/2 → π/6 ve 5π/6.

π/6 ve 5π/6

Çözümlü örnek

sin 2x = cos x denkleminin [0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

2 sin x · cos x − cos x = 0 → cos x · (2 sin x − 1) = 0.
cos x = 0 → π/2 ve 3π/2.
sin x = 1/2 → π/6 ve 5π/6.
Toplam 4 kök. (İki yanı cos x’e bölseydik π/2 ile 3π/2’yi kaybederdik.)

4 kök: π/6, π/2, 5π/6, 3π/2

5 · Sinüs ve kosinüs birlikte

Çemberi bir doğruyla kes

√3 sin x + cos x = 1 gibi denklemlerde sinüs ve kosinüs aynı açıyla birlikte geçer. İki yoldan bakabiliriz:

Geometri: P(cos x, sin x) noktasının koordinatlarına X ve Y dersek denklem b · X + a · Y = c olur: bir doğru. Kökler, bu doğrunun birim çemberi kestiği noktalar. Doğrunun O’ya uzaklığı d = |c| ÷ √(a² + b²).
Cebir: R = √(a² + b²) olsun. (a ÷ R)² + (b ÷ R)² = 1 olduğundan cos φ = a ÷ R ve sin φ = b ÷ R olacak bir φ açısı var. Toplam formülüyle a sin x + b cos x = R · (sin x · cos φ + cos x · sin φ) = R · sin(x + φ). Denklem tek bir sinüse iner: sin(x + φ) = c ÷ R.

a: √3 b: 1 c: 1

√3 sin x + cos x = 1

R = √(a² + b²): —
Doğru: —
Tek sinüse indir: —
[0, 2π) içinde: —

Çözümlü örnek

√3 sin x + cos x = 1 denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle

R = √(3 + 1) = 2. İki yanı 2’ye böl: (√3/2) sin x + (1/2) cos x = 1/2.
cos(π/6) = √3/2 ve sin(π/6) = 1/2: sin x · cos(π/6) + cos x · sin(π/6) = sin(x + π/6). Denklem sin(x + π/6) = 1/2 olur.
x + π/6 = π/6 + 2kπ → x = 2kπ; x + π/6 = 5π/6 + 2kπ → x = 2π/3 + 2kπ.
Geometride: X + √3 · Y = 1 doğrusu çemberi (1, 0) ve (−1/2, √3/2) noktalarında keser; bunlar 0 ve 2π/3 açılarının noktaları.

x = 2kπ veya x = 2π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ

Çözümlü örnek

3 sin x + 4 cos x = m denkleminin çözümü olması için m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

R = √(9 + 16) = 5: sol yan 5 · sin(x + φ) biçiminde, değerleri [−5, 5] aralığında.
Çözüm var ⟺ m² ≤ 25 ⟺ −5 ≤ m ≤ 5.
Tam sayılar −5, −4, …, 5: 11 tane.

6 · Gökyüzünde denklem

Gün kaç saat?

Dünya’nın dönme ekseni yörüngesine göre yaklaşık 23,44° eğik. Bu yüzden gün uzunluğu yıl boyunca değişir: yazın uzun, kışın kısa. Bu değişimi basitleştirilmiş bir sinüs modeliyle yazalım:

L(t) = 12 + A · sin(2π(t − 80) ÷ 365)

Burada t yılın kaçıncı günü (1 Ocak = 1; 80. gün 21 Mart), L saat cinsinden gün uzunluğu, A ise enleme bağlı bir genlik. “Gün uzunluğu şu kadar olan günler hangileri?” sorusu bir trigonometrik denklemdir.

Enlem: 41° kuzey İstenen gün uzunluğu L: 13,5 saat

12 + 3 · sin(2π(t − 80) ÷ 365) = 13,5

Genlik A: —
Denklem: —
Günler: —

Model: Güneş’in merkezinin ufkun üstünde kaldığı süre, atmosferin ışığı kırması yok sayılarak. Gerçek gün uzunlukları bundan birkaç dakika uzundur; tarihler de birkaç gün kayabilir.

Çözümlü örnek

İstanbul için A ≈ 3 alınırsa model L(t) = 12 + 3 · sin(2π(t − 80) ÷ 365) olur. Modele göre gün uzunluğu hangi günlerde 13,5 saattir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

u = 2π(t − 80) ÷ 365 dersek 12 + 3 · sin u = 13,5 → sin u = 1/2.
u = π/6 + 2kπ veya u = 5π/6 + 2kπ. Bir yılda u, 2π uzunluğunda bir aralığı tarar; bu aralıkta u = π/6 ve u = 5π/6.
u = π/6 → t − 80 = 365 ÷ 12 ≈ 30,4 → t ≈ 110: 20 Nisan. u = 5π/6 → t − 80 = 5 · 365 ÷ 12 ≈ 152,1 → t ≈ 232: 20 Ağustos.
İki gün, modelin en uzun gününün (20 Haziran) iki yanında simetrik: sin x = a’nın iki kökü gibi.

20 Nisan ve 20 Ağustos (model)

Çözümlü örnek

Uluslararası Uzay İstasyonu’nun (ISS) yörüngesi ekvatorla yaklaşık 51,6° açı yapar ve bir turu yaklaşık 93 dakika sürer. İstasyon ekvatoru güneyden kuzeye geçtikten t dakika sonra, tam altındaki noktanın enlemi φ için sin φ = sin 51,6° · sin(2πt ÷ 93) bağıntısı geçerlidir (yörünge çember kabul edilir). İstasyon bir tur içinde İstanbul’un enleminden (φ ≈ 41°) hangi anlarda geçer? (sin 41° ≈ 0,656; sin 51,6° ≈ 0,784)

Çözümü gösterÇözümü gizle

sin(2πt ÷ 93) = 0,656 ÷ 0,784 ≈ 0,837. u = 2πt ÷ 93 dersek sin u ≈ 0,837.
Esas çözüm u ≈ arcsin 0,837 ≈ 56,8°; ikinci kök 180° − 56,8° = 123,2°.
Bir tam tur 360° = 93 dakika: t ≈ 93 · 56,8 ÷ 360 ≈ 14,7 dakika ve t ≈ 93 · 123,2 ÷ 360 ≈ 31,8 dakika.
İlkinde kuzeye çıkarken, ikincisinde güneye inerken geçer; arada yaklaşık 17 dakika istasyon 41°’nin kuzeyindedir.

Ekvatordan geçtikten ≈ 14,7 ve ≈ 31,8 dakika sonra. Oslo’nun enlemi (≈ 60°) için sin 60° ÷ sin 51,6° > 1 olur: denklemin çözümü yok, istasyon o enlemin üzerinden hiç geçmez.

Kısa tarih

Tablodan denkleme

Batlamyus (Ptolemaios) · 2. yüzyıl

Almagest’teki kiriş tablosu yarım derece aralıklarla hazırlanmıştı. Gökbilimciler tabloyu iki yönde kullandı: açıdan kirişe ve ölçülen bir değerden açıya. İkincisi, bugünkü dille, bir trigonometrik denklemin esas çözümünü bulmaktır.

el-Kâşî · 15. yüzyıl

Semerkant’ta sin 1°’i bulmak için sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³θ ilişkisinden, bilinen sin 3° değeriyle üçüncü dereceden bir denklem kurdu ve adım adım yaklaşarak çözdü.

François Viète · 1595

Adriaan van Roomen’in 1593’te bütün matematikçilere sorduğu 45. dereceden denklemin, bir yayın kirişini 45 katının kirişine bağladığını fark etti ve 23 pozitif kökünü verdi.

Johannes Kepler · 1609

Astronomia Nova’da gezegenin yörüngedeki yerini bulmak için bugün Kepler denklemi denen M = E − e · sin E eşitliğini kullandı. Bu denklemin E için kapalı bir çözüm formülü yok; bugün de adım adım yaklaşarak çözülür.

el-Kâşî ve sin 1° · Kepler yasaları · Sinüs kelimesinin kökeni

Özet

Tek bakışta

sin x = ax = α + 2kπ veya x = π − α + 2kπ; α = arcsin a, |a| ≤ 1.

cos x = ax = ±α + 2kπ; α = arccos a, |a| ≤ 1.

tan x = ax = α + kπ; α = arctan a. Her a için çözüm var; cot x = a da adım π ile.

|a| > 1sin x = a ve cos x = a’nın çözümü yok: doğru çemberi kesmez.

özel durumlarsin x = 0 → x = kπ; cos x = 0 → x = π/2 + kπ; sin x = 1 → x = π/2 + 2kπ.

sin f = sin gf = g + 2kπ veya f = π − g + 2kπ.

cos f = cos gf = ±g + 2kπ.

tan f = tan gf = g + kπ; iki yanın tanımlı olduğunu denetle.

sin f = cos gcos g yerine sin(π/2 − g) yaz, sonra sinüs kuralı.

aralıkta köku = 3x ise x ∈ [0, 2π) iken u ∈ [0, 6π): üç tur, turda iki kök.

tek açı, tek fonksiyonİki kat açıyla indir, t = sin x de, çarpanlara ayır; |t| > 1 olanı at, bölerek kök kaybetme.

a sin x + b cos x = cR · sin(x + φ) = c, R = √(a² + b²); çözüm için c² ≤ a² + b².

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. sin x = √3/2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökleri hangileridir?

2. cos x = −1/2 denkleminin genel çözümü nedir? (k ∈ ℤ)

3. tan x = √3 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki köklerinin toplamı kaç derecedir?

4. Aşağıdaki denklemlerden hangisinin gerçek sayılarda çözümü yoktur?

5. sin 2x = sin x denkleminin [0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?

6. cos 3x = cos x denkleminin [0, π] aralığındaki kökleri hangileridir?

7. sin 3x = 1/2 denkleminin [0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?

8. 2 sin²x − 3 sin x + 1 = 0 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

9. sin x + √3 cos x = 2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökü nedir?

10. Bir şehirde gün uzunluğu (saat) L(t) = 12 + 3 · sin(2π(t − 80) ÷ 365) modeliyle veriliyor. Hangi gün uzunluğu bu modelde yıl boyunca hiç görülmez?

Bu konuda neler öğrendin?

a·sin f(x) + b·cos g(x) = c biçimindeki trigonometrik denklemlerin çözümü.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Trigonometrik Denklemler: sık sorulanlar

Trigonometrik Denklemler kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Trigonometri” ünitesinde, “Trigonometrik Denklemler” adıyla yer alır.

Trigonometrik Denklemler TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları