Ana içeriğe atla

AYT · Analitik Geometri

Doğrunun Analitiği Konu Anlatımı

Bir göktaşının Dünya’ya ne kadar yaklaşacağını, Dünya ile Ay’ın birlikte döndüğü noktayı cetvelsiz bulmak: noktalar sayı ikilisi, doğrular denklem olunca geometri hesaba dönüşür.

  • √(3² + 4²) = 5iki nokta arası uzaklık
  • m = tan αeğim
  • m₁ · m₂ = −1dik doğrular
  • 38.000 kmApophis’in 2029 geçişi

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde noktaları sürükle, doğruları çevir, bir göktaşının izini kur ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Doğrunun Analitiği nedir?

Analitik geometri, noktaları koordinatlarla yazarak geometri sorularını cebirle çözer. İki nokta arasındaki uzaklık Pisagor teoreminden gelir. Bir doğrunun eğimi, y’deki değişimin x’teki değişime oranıdır; eğimi m olan ve (x₁, y₁) noktasından geçen doğru y − y₁ = m(x − x₁) ile yazılır. Paralel doğruların eğimleri eşittir.

MEB konusu
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Bu derste
5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · İki nokta arasındaki uzaklık

Cetvel yerine Pisagor

Analitik geometride her nokta bir sayı ikilisi, her doğru bir denklemdir. Böylece uzunlukları ve kesişimleri ölçmeden hesaplayabiliriz. İlk soru: koordinatları bilinen iki nokta birbirinden ne kadar uzakta?

−2−11234567891011−2−112345678910xy 9 16 25 3 4 x₂ − x₁ y₂ − y₁ A(3, 2) B(6, 6) A(x₁, y₁) B(x₂, y₂)
  1. Analitik düzlemde her nokta bir sayı ikilisidir: A(3, 2) ve B(6, 6). Cetvel kullanmadan, yalnızca koordinatlarla |AB| uzunluğunu bulalım.
  2. A’dan yatay, B’den dikey bir çizgi çizelim: bir dik üçgen oluştu. Yatay dik kenar x’lerin farkı 6 − 3 = 3, dikey dik kenar y’lerin farkı 6 − 2 = 4.
  3. Dik kenarların üzerine kareler kuralım: alanları 3² = 9 ve 4² = 16 birimkare.
  4. Pisagor bağıntısına göre hipotenüs üzerindeki karenin alanı ikisinin toplamıdır: 9 + 16 = 25. Öyleyse |AB| = √25 = 5 birim.
  5. Aynı yol her iki nokta için geçerli. A(x₁, y₁) ile B(x₂, y₂) arasındaki uzaklık |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Farkların karesi alındığı için hangisinden hangisini çıkardığın önemli değil.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

A(−2, 3) ve B(4, −5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x’lerin farkı 4 − (−2) = 6, y’lerin farkı −5 − 3 = −8.
  2. |AB| = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

10

Çözümlü örnek

A(1, 2) ve B(4, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise k’nin alabileceği değerler nelerdir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (4 − 1)² + (k − 2)² = 5² → 9 + (k − 2)² = 25.
  2. (k − 2)² = 16 → k − 2 = 4 ya da k − 2 = −4.
  3. k = 6 ya da k = −2: B, A’nın 4 birim yukarısında ya da 4 birim aşağısında olabilir.

6 ya da −2

Çözümlü örnek

Güneş’i başlangıç noktası alan bir haritada 1 birim 1 milyon km. Güneş’e ortalama uzaklıkları yaklaşık 150 ve 228 milyon km olan Dünya ile Mars, yörüngeleri çember sayılırsa bir an D(150, 0) ve M(0, 228) konumunda. Aralarındaki uzaklık yaklaşık kaç milyon km?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. |DM| = √((0 − 150)² + (228 − 0)²) = √(22.500 + 51.984).
  2. = √74.484 ≈ 272,9: yaklaşık 273 milyon km.
  3. Gezegenler yörüngelerinde ilerledikçe koordinatlar ve bu uzaklık sürekli değişir; formül her an için aynıdır.

≈ 273 milyon km

2 · Doğru parçasını bölen nokta

Oran, orta nokta, ağırlık merkezi

Bir doğru parçasını belli bir oranda bölen nokta, uçların ağırlıklı ortalamasıdır. Nokta, ağırlığı büyük olan uca daha yakın durur. Önce adım adım görelim.

−11234567891011−112345678xy 2 1 A(3, 1) B(9, 4) C(3, 7) G P M
  1. A(3, 1) ile B(9, 4) arasındaki doğru parçası üzerinde öyle bir P noktası arıyoruz ki |AP| : |PB| = 1 : 2 olsun. Böyle bir P, AB’yi 1 : 2 oranında böler.
  2. AB’yi 1 + 2 = 3 eş parçaya bölelim. A’dan B’ye x 6, y 3 artıyor; her parçada x 2, y 1 artar. P, A’dan bir parça ötede: P(5, 2).
  3. Oran 2 : 1 olunca P iki parça ilerler: P(3 + 2 · 2, 1 + 2 · 1) = P(7, 3). Genel kural: |AP| : |PB| = m : n ise P((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n), (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n)).
  4. Oran 1 : 1 ise P tam ortadadır. Orta nokta uçların ortalamasıdır: M((3 + 9) ÷ 2, (1 + 4) ÷ 2) = M(6, 5/2).
  5. C(3, 7) ile ABC üçgenini kuralım. Kenarortaylar ağırlık merkezi G’de kesişir ve G köşelerin ortalamasıdır: G((3 + 9 + 3) ÷ 3, (1 + 4 + 7) ÷ 3) = G(5, 4). G, her kenarortayı köşeden başlayarak 2 : 1 oranında böler.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

A(−3, 2) ve B(6, 8) veriliyor. AB üzerinde |AP| : |PB| = 1 : 2 olan P noktasını bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m = 1, n = 2: A’nın yanına 2, B’nin yanına 1 gelir.
  2. x = (2 · (−3) + 1 · 6) ÷ 3 = 0 ve y = (2 · 2 + 1 · 8) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4.
  3. P(0, 4). Kontrol: A’dan P’ye x 3 artıyor, P’den B’ye 6 artıyor; oran 1 : 2.

P(0, 4)

Çözümlü örnek

Köşeleri A(1, 2), B(5, 0) ve C(3, 7) olan üçgenin ağırlık merkezini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. G((1 + 5 + 3) ÷ 3, (2 + 0 + 7) ÷ 3).
  2. = (9 ÷ 3, 9 ÷ 3) = G(3, 3).

G(3, 3)

Çözümlü örnek

Dünya ile Ay, ortak kütle merkezleri K’nin çevresinde döner. K, Dünya’nın merkezi D ile Ay’ın merkezi A arasındaki doğru parçasını kütlelerin ters oranında böler: Dünya’nın kütlesi Ay’ınkinin yaklaşık 81,3 katı olduğundan |DK| : |KA| = 1 : 81,3. D başlangıç noktasında, A x ekseni üzerinde D’den 384.400 km uzakta ise K, D’den kaç km uzaktadır? Dünya’nın yarıçapı yaklaşık 6.371 km.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m = 1, n = 81,3: x = (81,3 · 0 + 1 · 384.400) ÷ (1 + 81,3) = 384.400 ÷ 82,3.
  2. ≈ 4.671 km: K, Dünya’nın merkezine çok yakın.
  3. 4.671 < 6.371: K Dünya’nın içinde, yüzeyin yaklaşık 6.371 − 4.671 = 1.700 km altında. Ay, Dünya’nın çevresinde dönüyor gibi görünür; aslında ikisi de bu noktanın çevresinde döner.

≈ 4.671 km; Dünya’nın içinde

Deney

Noktaları sürükle

A’yı ve B’yi taşı, oranı değiştir. Uzaklık, orta nokta ve bölen nokta nasıl değişiyor?

−6−5−4−3−2−1123456−5−4−3−2−112345xy A B

A ile B’yi sürükle. İkisinin yerini değiştir: uzaklık ve orta nokta aynı kalıyor mu, P ne oluyor?

Noktalar
—
Farklar
—
Uzaklık |AB|
—
Orta nokta
—
|AP| : |PB| = 1 : 2
—

3 · Eğim ve doğru denklemi

Ne kadar dik, hangi denklem?

Doğrusal fonksiyonlarda grafiğin bir doğru olduğunu ve eğimin x 1 artınca y’nin ne kadar değiştiğini söylediğini görmüştük. Şimdi doğruyu iki noktasından tanıyalım: ne kadar dik, hangi açıyla, hangi denklemle?

−3−2−11234567891011−11234567xy 4 2 α (0, 1) A B P(x, y) m > 0m < 0m = 0tanımsız
  1. Bir doğrunun ne kadar dik olduğunu bir sayıyla anlatalım. d doğrusu A(2, 2) ve B(6, 4) noktalarından geçiyor.
  2. A’dan B’ye giderken x 4 artıyor, y 2 artıyor. Dikey değişimin yatay değişime oranı doğrunun eğimidir: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = 2 ÷ 4 = 1/2.
  3. Eğim üçgenini doğru boyunca kaydıralım: B(6, 4)’ten (10, 6)’ya giderken de x 4, y 2 artıyor. Oran doğrunun her yerinde aynı; eğim hangi iki noktayla ölçüldüğüne bağlı değil.
  4. Doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıya eğim açısı (α) denir. A’daki açı da α’dır; karşı dik kenar ÷ komşu dik kenar: m = tan α = 1/2, α ≈ 26,57°.
  5. Doğru üzerindeki her P(x, y) noktası için A ile P arasındaki eğim de 1/2: (y − 2) ÷ (x − 2) = 1/2. Buradan x − 2y + 2 = 0, yani y = x/2 + 1. Sabit terim 1, doğrunun y eksenini kestiği yer: (0, 1).
  6. Eğimin işareti yönü söyler: m > 0 ise doğru sağa doğru yükselir (α dar açı), m < 0 ise alçalır (α geniş açı). Yatay doğrunun eğimi 0, dikey doğrunun eğimi tanımsızdır.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

A(1, −2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun eğimini ve denklemini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m = (4 − (−2)) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3.
  2. B noktasıyla: y − 4 = 3(x − 3) → y = 3x − 9 + 4.
  3. y = 3x − 5, genel biçimde 3x − y − 5 = 0. Kontrol: A için 3 · 1 − 5 = −2.

m = 3; y = 3x − 5

Çözümlü örnek

Eğim açısı 135° olan ve (2, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m = tan 135° = −1: doğru alçalıyor, α geniş açı.
  2. y − 1 = −1 · (x − 2) → y = −x + 3.

y = −x + 3

Çözümlü örnek

2x − 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini ve eksenleri kestiği noktaları bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m = −a ÷ b = −2 ÷ (−3) = 2/3.
  2. x = 0 → −3y + 6 = 0 → y = 2: y eksenini (0, 2)’de keser.
  3. y = 0 → 2x + 6 = 0 → x = −3: x eksenini (−3, 0)’da keser.

2/3; (0, 2) ve (−3, 0)

4 · İki doğrunun birbirine göre durumu

Paralel, çakışık, kesişen, dik

Düzlemdeki iki doğru ya hiç kesişmez, ya tamamen üst üste gelir ya da tek bir noktada kesişir. Hangisi olduğunu eğimler ve katsayılar söyler.

−3−2−1123456−2−11234567xy K(2, 3) d₁ d₂ d₂ d₂ d₂
  1. d₁: y = 2x − 1 (mavi) ve d₂: y = 2x + 3 (turuncu). Eğimleri eşit, y eksenini farklı yerlerde kesiyorlar: paralel; hiç ortak noktaları yok.
  2. d₂’yi 4 birim aşağı kaydıralım: 4x − 2y − 2 = 0. İki yanı 2’ye bölünce y = 2x − 1 çıkıyor, d₁’in aynısı. Denklemleri orantılı iki doğru çakışıktır: bütün noktaları ortak.
  3. d₂’yi döndürelim: y = −x + 5. Eğimler farklı, doğrular tek noktada kesişir. Kesişim noktası iki denklemi birlikte sağlar: 2x − 1 = −x + 5 → x = 2, y = 3, yani K(2, 3).
  4. d₂’yi K çevresinde biraz daha döndürelim: y = −x/2 + 4. Şimdi m₁ · m₂ = 2 · (−1/2) = −1 ve doğrular dik kesişiyor. Eğimlerinin çarpımı −1 olan iki doğru birbirine diktir.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

(k + 1)x + 2y − 3 = 0 ve 3x + y + 5 = 0 doğruları paralel ise k kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Paralel doğrularda (k + 1) ÷ 3 = 2 ÷ 1 olmalı.
  2. k + 1 = 6 → k = 5.
  3. Kontrol: sabitlerin oranı −3 ÷ 5, 2’ye eşit değil; doğrular çakışık değil, paralel.

5

Çözümlü örnek

y = 2x − 3 ve ax + 4y − 8 = 0 doğruları dik ise a kaçtır? Kesişim noktası nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m₁ = 2, m₂ = −a ÷ 4. Dik: 2 · (−a ÷ 4) = −1 → a = 2.
  2. İkinci doğru 2x + 4y − 8 = 0. y = 2x − 3 yerine yazılınca 2x + 8x − 12 − 8 = 0 → 10x = 20 → x = 2.
  3. y = 2 · 2 − 3 = 1: K(2, 1).

a = 2; K(2, 1)

Deney

Doğruları yönet

Dört noktayı taşı. İki doğru ne zaman paralel, ne zaman dik? Kesişim noktası nereye kayıyor?

−6−5−4−3−2−1123456−5−4−3−2−112345xy A B C D

d₁ mavi (A, B), d₂ turuncu (C, D). C ile D’yi taşıyarak d₂’yi önce d₁’e paralel, sonra dik yap. Eğimler arasında ne ilişki var?

d₁
—
d₂
—
Eğimler
—
Durum
—

5 · Noktanın doğruya uzaklığı

En kısa yol dik iner

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı, noktadan doğruya giden en kısa yolun uzunluğudur. Peki hangi yol en kısa?

−2−1123456789−2−112345678xy d′ d 5 ≈ 4,47 4 H P(4, 5) P
  1. P(4, 5) noktası ile d: 3x + 4y − 12 = 0 doğrusu. P’den doğruya birçok yol var: Q₁(4, 0) noktasına 5 birim, Q₂(0, 3) noktasına √20 ≈ 4,47 birim. Hangisi en kısa?
  2. En kısa yol, P’den doğruya inen dikmedir; ayağı H olsun: |PH| = 4. Eğik her yol, PH’yi dik kenar kabul eden bir dik üçgenin hipotenüsü olduğu için daha uzundur. Noktanın doğruya uzaklığı |PH|’dir.
  3. H’yi bulmadan da hesaplanır. P(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²). Burada |3 · 4 + 4 · 5 − 12| ÷ √(9 + 16) = 20 ÷ 5 = 4.
  4. P’den geçen ve d’ye paralel d′: 3x + 4y − 32 = 0 doğrusunu çizelim. P, d′ üzerinde kayarken uzaklık hep 4: paralel doğrular arasındaki uzaklık her yerde aynıdır. Formülü: |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²) = |−12 − (−32)| ÷ 5 = 4.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

P(2, −1) noktasının 5x − 12y + 4 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. |5 · 2 − 12 · (−1) + 4| = |10 + 12 + 4| = 26.
  2. √(5² + 12²) = √169 = 13.
  3. Uzaklık 26 ÷ 13 = 2.

2

Çözümlü örnek

3x − 4y + 2 = 0 ve 6x − 8y − 11 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Katsayılar orantılı (3 ÷ 6 = −4 ÷ (−8)): doğrular paralel. İkinciyi 2’ye böl: 3x − 4y − 11/2 = 0.
  2. |c₁ − c₂| = |2 − (−11/2)| = 15/2.
  3. Uzaklık (15/2) ÷ √(3² + 4²) = (15/2) ÷ 5 = 3/2.

3/2

6 · Gökyüzünde bir doğru

Göktaşının izi

Apophis, 2004’te keşfedilen, birkaç yüz metre büyüklüğünde bir göktaşı. 13 Nisan 2029’da Dünya’nın çok yakınından geçecek: merkezimizden yaklaşık 38.000 km, yüzeyden yaklaşık 32.000 km uzaktan. Bu, yer eşzamanlı (jeostasyoner) iletişim uydularının yüksekliğinden (yaklaşık 36.000 km) daha az. NASA’nın hesaplarına göre en az 100 yıl boyunca Dünya’ya çarpma tehlikesi yok.

Gökbilimciler bir göktaşının birkaç konumunu ölçer, izini hesaplar ve izin Dünya’nın merkezine en kısa uzaklığına bakar. Kısa bir yol parçasında izi doğru saymak iyi bir yaklaşıktır. Bu deneyde aynısını yap: iki gözlem konumundan doğrunun denklemini kur, merkezin doğruya uzaklığını bul.

−50−40−30−20−1010203040506070−50−40−30−20−10102030405060xy A B

1 birim = 1.000 km. Mavi daire Dünya, kesikli çember yer eşzamanlı uyduların yörüngesi. A ve B göktaşının iki gözlem konumu (hayalî); iz, AB doğrusu.

Gözlemler
—
İz
—
En yakın geçiş
—
Sonuç
—

Çözümlü örnek

Sadeleştirilmiş modelde Apophis’in iki konumu A(−10, 55) ve B(50, 10); 1 birim 1.000 km, Dünya’nın merkezi O(0, 0). İzin denklemini ve en yakın geçiş uzaklığını bulun. Dünya’nın yarıçapı yaklaşık 6.371 km ise göktaşı yüzeyden ne kadar yüksekten geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m = (10 − 55) ÷ (50 − (−10)) = −45 ÷ 60 = −3/4.
  2. y − 10 = −3/4 · (x − 50) → 4y − 40 = −3x + 150 → 3x + 4y − 190 = 0.
  3. O’nun uzaklığı: |3 · 0 + 4 · 0 − 190| ÷ √(3² + 4²) = 190 ÷ 5 = 38 birim, yani 38.000 km.
  4. Yüzeyden: 38.000 − 6.371 = 31.629 ≈ 31.600 km (NASA bunu yuvarlayarak yaklaşık 32.000 km diye verir). Yer eşzamanlı uyduların yörünge yarıçapı yaklaşık 42.164 km olduğu için Apophis bu yörüngenin içinden geçer.

3x + 4y − 190 = 0; 38.000 km (yüzeyden ≈ 31.600 km)

Kısa tarih

Geometriden denkleme

Öklid · M.Ö. 300 civarı

Elemanlar’ın birinci kitabının 47. önermesinde dik üçgende Pisagor bağıntısını kanıtladı. İki nokta arasındaki uzaklık formülü bu bağıntıdan çıkar.

Pierre de Fermat · 1636 civarı

Düzlem ve katı yerlere giriş adlı çalışmasında iki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemin bir doğru belirttiğini gösterdi. Çalışma ölümünden sonra, 1679’da basıldı.

René Descartes · 1637

Yöntem Üzerine Konuşma’nın eki olan La Géométrie’de geometri problemlerini cebirsel denklemlere çevirerek çözdü.

Leonhard Euler · 1748

Introductio in analysin infinitorum’un ikinci cildinde analitik geometriyi sistemli bir biçimde, bugünkü diline yakın anlattı.

Descartes ve koordinat sistemi · Pisagor teoreminin tarihi · GPS ve uzaklıklarla konum

Özet

Tek bakışta

|AB|√((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²): Pisagor bağıntısından.
orijine uzaklıkP(x, y) için √(x² + y²).
|AP| : |PB| = m : nP((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n), (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n)).
orta nokta((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2): uçların ortalaması.
ağırlık merkeziG((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3, (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3); kenarortayı köşeden 2 : 1 böler.
eğimm = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = tan α.
eğimin işaretim > 0 yükselir, m < 0 alçalır; yatayda 0, dikeyde tanımsız.
y − y₁ = m(x − x₁)Eğimi m olan, (x₁, y₁)’den geçen doğru; y = mx + n’de n, y eksenini kestiği yer.
ax + by + c = 0Genel biçim; eğim −a ÷ b.
paralel ya da çakışıkEğimler eşit; denklemler orantılıysa doğrular çakışık.
dikm₁ · m₂ = −1. Kesişim noktası: denklemlerin ortak çözümü.
uzaklık formülleriNoktadan doğruya |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²); paralel doğrular arası |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²).

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. A(−1, 2) ve B(5, −6) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
2. A(−2, 1) ve B(7, 7) veriliyor. AB üzerinde |AP| : |PB| = 2 : 1 olan P noktası hangisidir?
3. Köşeleri A(0, 0), B(6, 0) ve C(3, 9) olan üçgenin ağırlık merkezi hangisidir?
4. A(2, 1) ve B(5, 7) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
5. Eğim açısı 45° olan ve (1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi hangisidir?
6. 3x − 6y + 5 = 0 ve ax + 2y − 1 = 0 doğruları paralel ise a kaçtır?
7. y = 3x − 2 doğrusuna dik olan ve başlangıç noktasından geçen doğru hangisidir?
8. 2x + y − 4 = 0 ve x − y − 5 = 0 doğrularının kesişim noktası hangisidir?
9. P(2, 1) noktasının 5x − 12y + 28 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
10. 3x + 4y − 6 = 0 ve 6x + 8y + 18 = 0 paralel doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık.
  • Doğru parçasını belli oranda bölen nokta; orta nokta ve ağırlık merkezi.
  • Eğim, doğru denklemi, iki doğrunun birbirine göre durumu ve kesişim noktası.
  • Noktanın doğruya uzaklığı ve paralel iki doğru arasındaki uzaklık.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Doğrunun Analitiği: sık sorulanlar

Doğrunun Analitiği kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Analitik Geometri” ünitesinde, “Doğrunun Analitik İncelenmesi” adıyla yer alır.

Doğrunun Analitiği TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları