Ana içeriğe atla

AYT · Diziler

Diziler Konu Anlatımı: Aritmetik ve Geometrik Dizi

Sıraya dizilmiş sayılar: her gün aynı miktar hızlanan bir sonda, her yarı ömürde yarıya inen bir madde, gezegenlerin Güneş’e uzaklıkları. Bazıları eşit adımlarla, bazıları eşit oranlarla ilerler.

  • aₙ = a₁ + (n − 1)daritmetik dizi
  • aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹geometrik dizi
  • n(a₁ + aₙ) ÷ 2aritmetik toplam
  • 1 + … + 100 = 5050Gauss’un hilesi

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde bir kural seç, farkı ya da oranı değiştir, gezegenleri tek tek ekle ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Diziler nedir?

Dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyondur; n. terim aₙ ile gösterilir. Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan diziye aritmetik dizi, oranı sabit olan diziye geometrik dizi denir. Aritmetik dizide aₙ = a₁ + (n − 1)d, geometrik dizide aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ olur; ilk n terimin toplamı için de formüller vardır.

Sınıf ve ünite
12. sınıf · Diziler
MEB konusu
Gerçek Sayı Dizileri
Bu derste
5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

Sınavda bu konu: 2018–2026

AYT · “Diziler” satırı · toplam 11 soru, yılda ortalama 1,0†

AYT Diziler: yıllara göre soru sayısı
201820192020202120222023202420252026*
11†11†111

Geçici veri: eğitim sitelerinin yayımladığı konu dağılımı tablolarından derlendi; ÖSYM resmî dağılım yayımlamaz. * 2026 ön değerlendirme. † 2020 ve 2023 sınavlarında 12. sınıf ikinci dönem konuları sorulmadı; ortalamaya katılmadı. Bütün konular: AYT soru dağılımı.

1 · Dizi nedir?

Sıraya dizilmiş sayılar

Sayıları belli bir sırayla yazmak sık yaptığımız bir iş: her ayın birikimi, her yılın nüfusu, gezegenlerin Güneş’e uzaklıkları. Matematikte bu sırayı bir fonksiyonla tanımlarız: birinci sayı, ikinci sayı, üçüncü sayı…

ℕ⁺ ℝ 1 3 a₁ 2 5 a₂ 3 7 a₃ 4 9 a₄ 5 11 a₅ 6 13 a₆ … … aₙ = 2n + 1 12345672468101214naₙ a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ cₙ = 4
  1. Her pozitif tam sayıya tek bir gerçek sayı karşılık getirelim: 1 → 3, 2 → 5, 3 → 7, … Bu bir fonksiyondur. Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi ℕ⁺ olan ve değerleri gerçek sayı olan fonksiyonlara gerçek sayı dizisi denir.
  2. Fonksiyonun n’deki değeri f(n) yerine kısaca aₙ diye yazılır ve dizinin n. terimi adını alır: a₁ = 3 birinci terim, a₂ = 5 ikinci terim. aₙ’yi veren kural, burada aₙ = 2n + 1, dizinin genel terimidir. Dizi (aₙ) ya da (2n + 1) diye gösterilir.
  3. Dizinin grafiği (n, aₙ) noktalarıdır: (1, 3), (2, 5), (3, 7), … n yalnız pozitif tam sayı olabildiği için grafik ayrık noktalardan oluşur. Kesikli doğru yalnız yol gösterir: n = 1,5 gibi bir sıra yoktur.
  4. Tanım kümesi ℕ⁺ yerine {1, 2, …, k} gibi sonlu bir küme olursa diziye sonlu dizi denir. Burada tanım kümesi {1, 2, 3, 4, 5}: terimler 3, 5, 7, 9, 11.
  5. Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir. cₙ = 4 için c₁ = c₂ = c₃ = … = 4: noktalar yatay bir doğru üzerinde.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

(aₙ) = ((3n − 1) ÷ (n + 2)) dizisinin kaçıncı terimi 2’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (3n − 1) ÷ (n + 2) = 2 → 3n − 1 = 2n + 4.
  2. n = 5: beşinci terim. Denetle: a₅ = 14 ÷ 7 = 2.

5. terim

Çözümlü örnek

aₙ = (an + 6) ÷ (2n + 3) sabit bir dizi ise a kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Sabit dizide bütün terimler eşit: a₁ = a₂ olmalı.
  2. a₁ = (a + 6) ÷ 5 ve a₂ = (2a + 6) ÷ 7. 7(a + 6) = 5(2a + 6) → 7a + 42 = 10a + 30 → a = 4.
  3. Denetle: (4n + 6) ÷ (2n + 3) = 2(2n + 3) ÷ (2n + 3) = 2. Kısa yol: (an + b) ÷ (cn + d) sabitse a ÷ c = b ÷ d.

a = 4 (bütün terimler 2)

2 · Terimi bulmak

Kuralı seç, terimi bul

Bir kural seç ve n’yi kaydır. Hangi kurallarda terimi doğrudan buluyorsun, hangilerinde önceki terimlere ihtiyaç var?

Bir dizinin terimleri iki yolla verilebilir. Genel terimle: aₙ = 2n + 1 gibi; istenen terimi bulmak için n yerine sayıyı koyarız. Önceki terimlere bağlı bir kuralla: a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = aₙ + 3 gibi; bir terimi bulmak için önce ondan öncekileri bilmemiz gerekir.

Genel terimle

Önceki terimlerle (indirgeme)

a₁ = a₂ = 1 ve aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ

    Hesap
    —

    Çözümlü örnek

    a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = 3aₙ − 1 ise a₄ kaçtır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. n = 1: a₂ = 3a₁ − 1 = 3 · 2 − 1 = 5.
    2. n = 2: a₃ = 3 · 5 − 1 = 14.
    3. n = 3: a₄ = 3 · 14 − 1 = 41.

    41

    3 · Aritmetik dizi

    Eşit adımlarla

    Her adımda aynı miktar eklenen (ya da çıkarılan) diziler en sık karşılaşılan dizilerdir: her ay aynı parayı biriktirmek, her gün aynı miktar hızlanmak.

    12345678481216202428naₙ +4+4+4+4+4+4 4n − 1 6d = 24 3 7 11 15 19 23 27
    1. 3, 7, 11, 15, … dizisinin terimlerini (n, aₙ) noktaları olarak çizelim. Terimler düzenli artıyor gibi. Ne kadar?
    2. Her terim bir öncekinden 4 fazla: aₙ₊₁ − aₙ = 4. Ardışık iki terimin farkı hep aynı olan diziye aritmetik dizi, bu sabit farka ortak fark (d) denir.
    3. Eşit adımlar noktaları bir doğru üzerine dizer: n 1 artınca aₙ hep 4 artıyor. Genel terim n’ye göre birinci dereceden: aₙ = 4n − 1. Ortak fark bu doğrunun eğimidir.
    4. a₁’den a₇’ye gitmek için 6 adım atılır: a₇ = a₁ + 6d = 3 + 6 · 4 = 27. Genel olarak aₙ = a₁ + (n − 1)d. Aynı fikirle iki terim arasında: aₙ = aₖ + (n − k)d.
    5. a₄, a₃ ile a₅’in tam ortasında: (11 + 19) ÷ 2 = 15. a₁ ile a₇ de a₄’ten eşit uzaklıkta: (3 + 27) ÷ 2 = 15. Aritmetik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır.

    Adım 1 / 5

    Çözümlü örnek

    Bir aritmetik dizide a₃ = 11 ve a₈ = 26 ise a₂₀ kaçtır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. a₈ = a₃ + 5d → 26 = 11 + 5d → d = 3.
    2. a₁ = a₃ − 2d = 11 − 6 = 5.
    3. a₂₀ = a₁ + 19d = 5 + 57 = 62.

    62

    Çözümlü örnek

    Bir aritmetik dizide a₅ + a₁₁ = 40 ise a₈ kaçtır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. 8, 5 ile 11’in tam ortası: a₈, a₅ ile a₁₁’in aritmetik ortalaması.
    2. a₈ = 40 ÷ 2 = 20. d’yi ya da a₁’i bilmeye gerek yok.

    20

    4 · Aritmetik dizinin toplamı

    Gauss’un hilesi

    Aritmetik dizinin terimlerini tek tek toplamak uzun sürer. Terimleri iki kez, biri ters sırada yazınca iş kolaylaşıyor.

    12345678 87654321 9 her sütun 9 blok 2S = 8 · 9 = 72 S = 36 1 + 2 + … + 100 100 + … + 2 + 1 2S = 100 · 101 S = 5050
    1. 1 + 2 + 3 + … + 8 toplamını bloklarla gösterelim: 1. sütunda 1 blok, 2. sütunda 2 blok, …, 8. sütunda 8 blok. Toplam S blok var.
    2. Aynı merdivenden bir tane daha alalım. Şimdi elimizde 2S blok var.
    3. Kopyayı ters çevirip (180° döndürüp) ilk merdivenin üstüne oturtalım: boşluk kalmadan 8 sütunlu, 9 satırlı bir dikdörtgen oluştu.
    4. Her sütunda alttan 1, 2, …, 8; üstten 8, 7, …, 1 blok var: her sütun 1 + 8 = 9 blok. 2S = 8 · 9 = 72, yani S = 36.
    5. Anlatılan bir öyküye göre küçük Gauss’tan 1’den 100’e kadar sayıları toplaması istendiğinde aynı fikri kullandı: toplamı bir de tersten yaz, alt alta topla. Her çift 1 + 100 = 101 eder ve 100 çift var: 2S = 100 · 101, S = 5050.

    Adım 1 / 5

    Çözümlü örnek

    1 + 3 + 5 + … + 49 toplamı kaçtır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. Ortak farkı 2 olan aritmetik dizi: a₁ = 1, aₙ = 49.
    2. Terim sayısı: (son − ilk) ÷ d + 1 = (49 − 1) ÷ 2 + 1 = 25.
    3. S₂₅ = 25 · (1 + 49) ÷ 2 = 25 · 25 = 625.

    625

    5 · Geometrik dizi

    Eşit oranlarla

    Aritmetik dizide her adımda aynı sayı eklenir. Her adımda aynı sayıyla çarpılırsa ne olur?

    123456748121620242832naₙ ×2×2×2×2×2 1 2 4 8 16 32 ×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 32 16 8 4 2 1
    1. 1, 2, 4, 8, 16, 32, … dizisinin terimlerini çizelim. Terimler eşit adımlarla artmıyor: aradaki farklar 1, 2, 4, 8, … her adımda büyüyor.
    2. Ama oranlar sabit: her terim bir öncekinin 2 katı, aₙ₊₁ ÷ aₙ = 2. Ardışık iki terimin oranı hep aynı olan diziye geometrik dizi, bu sabit orana ortak oran (r) denir.
    3. Noktalar bir doğru üzerinde değil: ilk ve son noktayı birleştiren gri kirişin altında kalıyorlar. Hepsi üstel y = 2ˣ⁻¹ eğrisinin üzerinde. Eşit adımda eşit oran, üstel fonksiyonun da özelliğiydi.
    4. a₁’den a₆’ya 5 adımda her seferinde 2 ile çarpılır: a₆ = a₁ · 2⁵ = 32. Genel olarak aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹; iki terim arasında aₙ = aₖ · rⁿ⁻ᵏ.
    5. Ortak oran 0 ile 1 arasında olunca terimler küçülür: 32, 16, 8, 4, 2, 1 dizisinde r = 1/2, her terim bir öncekinin yarısı. Radyoaktif bir maddenin her yarı ömürde kalan miktarı da böyle bir dizi oluşturur.

    Adım 1 / 5

    Çözümlü örnek

    Bir geometrik dizide a₂ = 6 ve a₅ = 162 ise a₇ kaçtır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. a₅ = a₂ · r³ → 162 = 6 · r³ → r³ = 27 → r = 3.
    2. a₁ = a₂ ÷ r = 2.
    3. a₇ = a₁ · r⁶ = 2 · 729 = 1458. Ya da a₇ = a₅ · r² = 162 · 9.

    1458

    Çözümlü örnek

    Terimleri pozitif bir geometrik dizinin ardışık üç terimi 4, x ve 25 ise x kaçtır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. Ortadaki terimin karesi komşularının çarpımı: x² = 4 · 25 = 100.
    2. Terimler pozitif: x = 10. Denetle: ortak oran 10 ÷ 4 = 25 ÷ 10 = 5/2.

    10

    6 · Geometrik dizinin toplamı

    Yarılanan kare

    Geometrik dizinin terimlerini toplamanın da kısa bir yolu var. Önce bir kareyi adım adım boyayarak görelim.

    1/2 1/4 1/8 1/16
    1. Alanı 1 olan bir kareyi boyamaya başlayalım: önce yarısını. Boyanan alan 1/2.
    2. Sonra kalan boşluğun yarısını: 1/4 daha. Toplam 1/2 + 1/4 = 3/4. Eklenen parçalar 1/2, 1/4, 1/8, … ilk terimi 1/2, ortak oranı 1/2 olan bir geometrik dizi.
    3. Her adımda kalan boşluğun yarısını boya: 1/8 ve 1/16. İlk dört terimin toplamı S₄ = 15/16. Kalan boşluk 1/16: son eklenen parça kadar.
    4. Altı terim: S₆ = 63/64, boşluk 1/64. Boşluk her adımda yarıya iniyor: ilk n terimin toplamı Sₙ = 1 − (1/2)ⁿ.
    5. Aynı sonuç genel formülden de çıkar: ilk terimi a₁, ortak oranı r (r ≠ 1) olan geometrik dizide Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) ÷ (1 − r). a₁ = r = 1/2 için 1/2 · (1 − (1/2)ⁿ) ÷ (1/2) = 1 − (1/2)ⁿ.

    Adım 1 / 5

    Çözümlü örnek

    3 + 6 + 12 + … + 384 toplamı kaçtır?

    Çözümü gösterÇözümü gizle
    1. a₁ = 3, r = 2. Kaç terim? 3 · 2ⁿ⁻¹ = 384 → 2ⁿ⁻¹ = 128 = 2⁷ → n = 8.
    2. S₈ = 3 · (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 · 255 = 765.

    765

    Deney

    Aritmetik mi, geometrik mi?

    Türü seç; ilk terimi, farkı ya da oranı değiştir. Çubukların uçları ne zaman bir doğru, ne zaman bir eğri üzerinde? Hangi satırdaki sayılar sabit kalıyor?

    aₙ = 2 + (n − 1) · 3

      Ardışık farklar
      —
      Ardışık oranlar
      —
      İlk n terim toplamı
      —

      7 · Uzayda diziler

      Gezegenlerin dizisi

      1766’da Alman gökbilimci Johann Titius, gezegenlerin Güneş’e uzaklıklarında bir örüntü fark etti; 1772’de Johann Bode bu kuralı kitabında yayımlayıp yaygınlaştırdı. Uzaklıkları astronomi birimi (AB: Dünya’nın Güneş’e ortalama uzaklığı, yaklaşık 149,6 milyon km) ile yazarsak kural şu diziyi verir:

      0,4; 0,7; 1,0; 1,6; 2,8; 5,2; 10,0; 19,6; 38,8; …

      Her terim 0,4 ile bir sayının toplamı. Venüs’ten başlayarak eklenen sayılar 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; … her adımda iki katına çıkıyor: ilk terimi 0,3, ortak oranı 2 olan bir geometrik dizi. Kural gerçek uzaklıklarla ne kadar uyuşuyor? NASA’nın verdiği ortalama uzaklıklarla karşılaştır.

      Kuralın terimi
      —
      Gerçek (NASA)
      —
      Fark
      —

      Çözümlü örnek

      Titius–Bode kuralında Venüs’ten başlayarak 0,4’e eklenen sayılar 0,3; 0,6; 1,2; … geometrik dizisini oluşturur. Uranüs bu dizinin 7. terimine karşılık gelir. Kural Uranüs için kaç AB verir? NASA’ya göre Uranüs Güneş’ten ortalama 2.867 milyon km uzakta; fark yaklaşık yüzde kaçtır?

      Çözümü gösterÇözümü gizle
      1. Geometrik dizi: a₁ = 0,3 ve r = 2. a₇ = 0,3 · 2⁶ = 0,3 · 64 = 19,2.
      2. Kural: 0,4 + 19,2 = 19,6 AB.
      3. Gerçek: 2.867 ÷ 149,6 ≈ 19,16 AB. Fark ≈ 0,44 AB, yani yaklaşık %2,3.

      19,6 AB; fark ≈ %2,3

      Çözümlü örnek

      NASA’nın Dawn sondası iyon motoruyla, tam güçte, 0’dan saatte 60 mile (≈ 96,6 km/sa) 4 günde çıkabiliyordu: günde yaklaşık 24 km/sa. Hız her gün bu kadar artarsa kaçıncı günün sonunda toplam hız artışı ilk kez 1000 km/sa’i geçer?

      Çözümü gösterÇözümü gizle
      1. n. günün sonundaki hız artışı aₙ = 24n km/sa: a₁ = 24 ve d = 24 olan bir aritmetik dizi.
      2. 24n > 1000 → n > 1000 ÷ 24 ≈ 41,67.
      3. n tam sayı: 42. günün sonunda (a₄₁ = 984, a₄₂ = 1008 km/sa). Bu hesap motorun hep tam güçte çalıştığını varsayan bir modeldir.

      42. gün

      Çözümlü örnek

      Plütonyum-238, Voyager sondalarının ve Mars araçları Curiosity ile Perseverance’ın enerji kaynağıdır. Yarı ömrü yaklaşık 87,7 yıl: her 87,7 yılda elimizdeki miktarın yarısı bozunur. 8 g plütonyum-238’den 4 yarı ömür (350,8 yıl) sonra kaç gram kalır? Bu sürede toplam kaç gram bozunur?

      Çözümü gösterÇözümü gizle
      1. Her yarı ömürden sonra kalan: 8, 4, 2, 1, 1/2 (g). a₁ = 8 ve r = 1/2 olan geometrik dizi; 4 yarı ömür sonra 5. terim: a₅ = 8 · (1/2)⁴ = 0,5 g.
      2. Bozunan miktarlar 4, 2, 1 ve 0,5 g: ilk terimi 4, ortak oranı 1/2 olan dizinin ilk 4 terimi.
      3. S₄ = 4 · (1 − (1/2)⁴) ÷ (1 − 1/2) = 4 · 15/16 · 2 = 7,5 g. Denetle: 8 − 0,5 = 7,5.

      0,5 g kalır; 7,5 g bozunur

      Uzaklıklar: NASA Gezegen Bilgi Sayfası (NSSDCA Planetary Fact Sheet) ve NASA’nın Ceres sayfası (ortalama 413 milyon km); 1 AB = 149,6 milyon km alındı. Dawn: NASA Dawn görev sayfası (tam güçte 4 günde 0’dan 60 mil/sa’e). Plütonyum-238 yarı ömrü ≈ 87,7 yıl.

      Kepler yasaları ve gezegen yörüngeleri · Karbon-14 ve yarı ömür

      8 · Günlük hayatta

      Hangi dizi?

      Bir problemi dizi olarak görmek için şunu sor: her adımda aynı miktar mı ekleniyor, yoksa aynı sayıyla mı çarpılıyor?

      Çözümlü örnek

      Bir amfitiyatronun en öndeki sırasında 20 koltuk var; her sırada bir öncekinden 2 koltuk fazla. 15 sıralı amfitiyatroda toplam kaç koltuk vardır?

      Çözümü gösterÇözümü gizle
      1. Sıralardaki koltuk sayıları a₁ = 20 ve d = 2 olan aritmetik dizi.
      2. Son sıra: a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48.
      3. Toplam: S₁₅ = 15 · (20 + 48) ÷ 2 = 15 · 34 = 510.

      510 koltuk

      Çözümlü örnek

      16 m yükseklikten bırakılan bir top, her çarpmadan sonra düştüğü yüksekliğin 3/4’ü kadar yükseliyor. Top 3. zıplamasında kaç m yükselir? Yere 3. kez çarptığı ana kadar kaç m yol almıştır?

      Çözümü gösterÇözümü gizle
      1. Zıplama yükseklikleri: 16 · 3/4 = 12, 12 · 3/4 = 9, 9 · 3/4 = 6,75. Oranı 3/4 olan geometrik dizi: 3. zıplama 6,75 m.
      2. 1. çarpmaya kadar 16 m düşüş; 2. çarpmaya kadar 12 m çıkış ve 12 m iniş; 3. çarpmaya kadar 9 m çıkış ve 9 m iniş.
      3. Toplam: 16 + 2 · 12 + 2 · 9 = 58 m.

      6,75 m; 58 m

      Kısa tarih

      Kedilerden gezegenlere

      Rhind papirüsü · M.Ö. 1650 civarı

      79. problemde 7 ev, her evde 7 kedi, her kedi için 7 fare… diye giden sayılar toplanır: 7 + 49 + 343 + 2.401 + 16.807 = 19.607. Oranı 7 olan bir geometrik dizinin toplamı.

      Aryabhata · 499

      Aryabhatiya adlı eserinde aritmetik dizinin toplamı için kural verdi: ortadaki terimi bul, terim sayısıyla çarp.

      Fibonacci · 1202

      Liber Abaci (Hesap Kitabı) adlı kitabındaki tavşan problemi, her terimi önceki iki terimin toplamı olan 1, 1, 2, 3, 5, 8, … dizisine götürür.

      Titius ve Bode · 1766–1801

      Gezegen uzaklıkları için 0,4 + 0,3 · 2ᵏ kuralı ortaya kondu. 1801’de Giuseppe Piazzi, kuralın boş bıraktığı 2,8 AB’ye çok yakın bir yerde Ceres’i buldu.

      Rhind papirüsü · Aryabhata · Ayçiçeği spiralleri ve Fibonacci · Üstel büyüme

      Özet

      Tek bakışta

      diziTanım kümesi pozitif tam sayılar olan fonksiyon: f: ℕ⁺ → ℝ, f(n) = aₙ.
      aₙGenel terim: n = 1, 2, 3, … koyunca terimler çıkar. Grafik ayrık noktalardır.
      dizi olma şartıaₙ her pozitif tam sayı n için tanımlı ve gerçek sayı olmalı.
      sonlu, sabit, eşitTanım kümesi {1, …, k}: sonlu. Bütün terimler eşit: sabit. Her n için aₙ = bₙ: eşit diziler.
      indirgemeTerim önceki terimlerden bulunur. Fibonacci: a₁ = a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ.
      aritmetik diziaₙ₊₁ − aₙ = d sabit; noktalar bir doğru üzerinde.
      aₙ = a₁ + (n − 1)dİki terim arasında: aₙ = aₖ + (n − k)d.
      Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2Aritmetik dizide ilk n terim toplamı. 1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2.
      geometrik diziaₙ₊₁ ÷ aₙ = r sabit; r > 0 ise noktalar üstel bir eğri üzerinde.
      aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹İki terim arasında: aₙ = aₖ · rⁿ⁻ᵏ.
      Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)Geometrik dizide ilk n terim toplamı (r ≠ 1); r = 1 ise Sₙ = n · a₁.
      ortadaki terimAritmetikte komşuların ortalaması; geometrikte aₖ² = aₖ₋₁ · aₖ₊₁.

      Kendini dene

      10 soru

      Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

      1. Aşağıdakilerden hangisi bir dizinin genel terimi olamaz?
      2. aₙ = (4n + 1) ÷ (n + 3) dizisinin kaçıncı terimi 3’tür?
      3. aₙ = ((k − 1)n + 6) ÷ (2n + 3) sabit bir dizi ise k kaçtır?
      4. a₁ = 3 ve aₙ₊₁ = 2aₙ − 1 ise a₄ kaçtır?
      5. Bir aritmetik dizide a₄ = 10 ve a₉ = 25 ise a₁₅ kaçtır?
      6. Bir aritmetik dizide a₃ + a₁₃ = 36 ise a₈ kaçtır?
      7. 2 + 5 + 8 + … + 59 toplamı kaçtır?
      8. Terimleri pozitif bir geometrik dizide a₂ = 6 ve a₄ = 54 ise a₆ kaçtır?
      9. 1 + 2 + 4 + … + 2⁹ toplamı kaçtır?
      10. Yarı ömrü yaklaşık 8 gün olan iyot-131’den 80 mg var. 32 gün sonra yaklaşık kaç mg kalır?

      Bu konuda neler öğrendin?

      • Dizi ve fonksiyon ilişkisi; sonlu dizi, sabit dizi, dizilerin eşitliği.
      • Kuralı formülle ya da önceki terimlere bağlı olarak verilen bir dizinin istenen terimini hesaplamak.
      • Aritmetik ve geometrik diziler; ilk n terim toplamı.
      • Dizilerle gerçek hayat problemleri.

      Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

      Diziler: sık sorulanlar

      Diziler kaçıncı sınıf konusu?

      12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Diziler” ünitesinde, “Gerçek Sayı Dizileri” adıyla yer alır.

      Diziler TYT’de mi, AYT’de mi?

      Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

      Bu ders ücretsiz mi?

      Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

      Hikâyesi blogda

      Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

      AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

      Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları