Ana içeriğe atla

AYT · Dönüşümler

Dönüşüm Geometrisi Konu Anlatımı

Kaydırmak, aynada yansıtmak, bir nokta çevresinde döndürmek. Üçü de uzunlukları korur; analitik düzlemde her biri koordinatları değiştiren kısa bir kurala dönüşür.

  • (x + a, y + b)öteleme
  • (x, −y)x eksenine göre simetri
  • (y, x)y = x’e göre simetri
  • (−y, x)90° dönme

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde üçgeni ve bayrağı sürükle, aynaları ve açıyı seç, gökyüzü haritasında saatleri ilerlet. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Dönüşüm Geometrisi nedir?

Dönüşüm geometrisi, analitik düzlemdeki noktaları bir kurala göre yeni noktalara taşır. Öteleme her noktayı aynı miktarda kaydırır: (x, y) → (x + a, y + b). Orijin etrafında pozitif yönde 90° dönme (x, y) noktasını (−y, x) noktasına götürür. x eksenine göre simetri y’nin, y eksenine göre simetri x’in işaretini değiştirir.

MEB konusu
Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler
Bu derste
4 adım adım sahne, 13 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

Sınavda bu konu: 2018–2026

AYT · “Dönüşüm Geometrisi” satırı · toplam 7 soru, yılda ortalama 0,7†

AYT Dönüşüm Geometrisi: yıllara göre soru sayısı
201820192020202120222023202420252026*
11†01†011

Geçici veri: eğitim sitelerinin yayımladığı konu dağılımı tablolarından derlendi; ÖSYM resmî dağılım yayımlamaz. * 2026 ön değerlendirme. † 2020 ve 2023 sınavlarında 12. sınıf ikinci dönem konuları sorulmadı; ortalamaya katılmadı. Bütün konular: AYT soru dağılımı.

1 · Öteleme

Her nokta aynı okla kayar

Bir şekli döndürmeden ve ters çevirmeden kaydırmaya öteleme denir. Analitik düzlemde bu, her noktanın koordinatlarına aynı sayıları eklemek demektir.

−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456xy ABC
  1. ABC bayrağının köşeleri A(−4, 1), B(−4, 4) ve C(−2, 3). Bayrağı döndürmeden, ters çevirmeden yalnızca kaydıracağız.
  2. Bayrağı 6 birim sağa kaydıralım: her noktanın apsisine 6 eklenir, ordinatı değişmez. (x, y) → (x + 6, y). Bütün oklar aynı uzunlukta ve aynı yönde.
  3. Bir de 5 birim aşağı: ordinattan 5 çıkar. İki kayma birlikte (6, −5) ötelemesi: (x, y) → (x + 6, y − 5). A(−4, 1) noktası A′(2, −4) noktasına gitti.
  4. A′B′C′ bayrağını bir de (1, 6) kadar ötelersek A″B″C″ çıkar. Art arda iki öteleme, miktarları toplanmış tek bir ötelemedir: (6 + 1, −5 + 6) = (7, 1). Mor ok A’yı doğrudan A″(3, 2) noktasına götürüyor.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

A(−2, 5) noktası (x, y) → (x + 4, y − 7) ötelemesiyle hangi noktaya gider?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Apsise 4 ekle: −2 + 4 = 2.
  2. Ordinattan 7 çıkar: 5 − 7 = −2.
  3. Görüntü A′(2, −2).

A′(2, −2)

Çözümlü örnek

Bir öteleme A(3, −1) noktasını A′(−2, 4) noktasına götürüyor. Aynı öteleme B(5, 2) noktasını nereye götürür?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Öteleme miktarı: (−2 − 3, 4 − (−1)) = (−5, 5).
  2. B′ = (5 + (−5), 2 + 5) = (0, 7).

B′(0, 7)

2 · Yansıma (simetri)

Altı ayna, altı kural

Aynaya bakınca görüntün aynanın arkasında, senin kadar uzakta durur. Analitik düzlemde ayna bir doğru ya da bir nokta olur; görüntünün koordinatları kısa kurallarla bulunur. Bu dönüşüme simetri ya da yansıma denir.

−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456xy ABC
  1. ABC bayrağı: A(1, 2), B(1, 5), C(3, 4). Bir noktanın bir doğruya göre simetriği bulunurken ayna, noktayla görüntüsünü birleştiren parçayı dik keser ve ortalar.
  2. x eksenine göre: apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir: (x, y) → (x, −y). Bayrak baş aşağı oldu. Kesikli çizgiler aynaya dik.
  3. y eksenine göre: (x, y) → (−x, y). Flama bu kez direğin solunda: aynadaki görüntü gibi.
  4. Orijine göre: (x, y) → (−x, −y). Her nokta orijinden geçip aynı uzaklıkta öbür yana gider; orijin, AA′ parçasının orta noktası.
  5. y = x doğrusuna göre: koordinatlar yer değiştirir: (x, y) → (y, x). Dikey direk yatay oldu.
  6. y = −x doğrusuna göre: koordinatlar yer değiştirir ve ikisi de işaret değiştirir: (x, y) → (−y, −x).
  7. x = −1 doğrusuna göre: ordinat aynı; apsis aynanın öbür yanına aynı uzaklıkta geçer: x′ = 2 · (−1) − x. Kural (x, y) → (−2 − x, y); A(1, 2) → A′(−3, 2).

Adım 1 / 7

Çözümlü örnek

P(−3, 4) noktasının x eksenine, y eksenine, orijine, y = x ve y = −x doğrularına göre simetriklerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x eksenine göre (x, −y): (−3, −4). y eksenine göre (−x, y): (3, 4).
  2. Orijine göre (−x, −y): (3, −4).
  3. y = x doğrusuna göre (y, x): (4, −3). y = −x doğrusuna göre (−y, −x): (−4, 3).

(−3, −4); (3, 4); (3, −4); (4, −3); (−4, 3)

Çözümlü örnek

A(5, 2) noktasının x = 2 ve y = −3 doğrularına göre simetriklerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x = 2 dikey bir ayna: ordinat aynı, apsis 2 · 2 − 5 = −1. A aynanın 3 birim sağında, görüntüsü 3 birim solunda: (−1, 2).
  2. y = −3 yatay bir ayna: apsis aynı, ordinat 2 · (−3) − 2 = −8: (5, −8).

(−1, 2) ve (5, −8)

Çözümlü örnek

A(−2, 3) noktasının M(1, 1) noktasına göre simetriği nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. M, AA′ parçasının orta noktası: A′ = (2 · 1 − (−2), 2 · 1 − 3).
  2. A′(4, −1). Denetim: (−2 + 4) ÷ 2 = 1 ve (3 + (−1)) ÷ 2 = 1.

A′(4, −1)

3 · Dönme

Dik üçgen döndükçe

Bir noktayı orijin çevresinde döndürünce orijine uzaklığı değişmez; nokta bir çember üzerinde yol alır. Açı 90°’nin katı olunca koordinatlar yer değiştirir ya da işaret değiştirir.

−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456xy OHP42
  1. P(4, 2) noktası O’dan 4 birim sağda, 2 birim yukarıda. OHP dik üçgenini P ile birlikte orijin çevresinde döndüreceğiz. Pozitif yön saatin tersi yönüdür.
  2. 90° dönünce 4 birimlik kenar dikey, 2 birimlik kenar yatay oldu: P′ 2 birim solda, 4 birim yukarıda. P′(−2, 4). Kural (x, y) → (−y, x).
  3. 180°: P′(−4, −2). Kural (x, y) → (−x, −y): orijine göre simetriyle aynı sonuç.
  4. 270°: P′(2, −4). Kural (x, y) → (y, −x). Saat yönünde 90° dönmek (−90°) de P’yi aynı yere götürür.
  5. Şeklin her noktası aynı kuralla döner. ABC bayrağı 90° dönünce A′(−2, 1), B′(−5, 1), C′(−4, 3). Boyu, açıları ve flamanın direğin hangi yanında olduğu değişmedi: dönme şekli ters çevirmez.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

P(−3, 5) noktasını orijin çevresinde 90°, 180° ve 270° döndürün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 90°: (−y, x) = (−5, −3).
  2. 180°: (−x, −y) = (3, −5).
  3. 270°: (y, −x) = (5, 3).

(−5, −3); (3, −5); (5, 3)

Çözümlü örnek

P(4, −2) noktası orijin çevresinde saat yönünde 90° döndürülüyor. Görüntüsü nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Saat yönünde 90° = pozitif yönde 270°: (x, y) → (y, −x).
  2. P′(−2, −4). P 4. bölgedeydi; saat yönünde çeyrek tur onu 3. bölgeye götürür.

P′(−2, −4)

Deney

Dönüşüm makinesi

Üçgenin köşelerini sürükle, bir dönüşüm seç. Kural koordinatları nasıl değiştiriyor? Hangi dönüşümde köşelerin sırası tersine dönüyor?

(x, y) → (x − 6, y − 5)

−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456xy
Köşeler
—
Uzunluk ve alan
—
Köşelerin sırası
—

Köşeleri sürükle, dönüşümü değiştir. Hangi dönüşümde A′B′C′ köşeleri öbür yönde sıralanıyor?

4 · Art arda dönüşümler

İki ayna bir dönme eder

Dönüşümler art arda uygulanabilir: birinin görüntüsü ötekinin başlangıcı olur. Kuralları yazıldıkları sırayla uygularız; sıra değişirse sonuç da değişebilir.

−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456xy FF₁
  1. Önce F bayrağını x eksenine göre yansıtalım: F₁ çıkar. (x, y) → (x, −y).
  2. Sonra F₁’i y eksenine göre yansıtalım: F₂. Kurallar sırayla uygulanır: (x, y) → (x, −y) → (−x, −y).
  3. F₂’ye F’den tek hamlede de ulaşılır: orijin çevresinde 180° dönme. Mor kesikli bayrak F₂’nin tam üstüne oturdu. Şekil iki kez ters çevrildi; sonuç ters değil.
  4. Bu kez önce x eksenine, sonra y = x doğrusuna göre yansıtalım: (x, y) → (x, −y) → (−y, x). Bu, 90° dönmenin kuralı. Aynalar arasındaki açı 45°; dönme açısı bunun iki katı.
  5. Sırayı değiştirelim: önce y = x, sonra x ekseni: (x, y) → (y, x) → (y, −x). Bu 270° dönme; sonuç farklı. Art arda dönüşümlerde sıra önemlidir.
  6. Farklı türler de art arda uygulanır: F’yi 90° döndürüp sonra (6, −5) ötelersek (x, y) → (−y, x) → (6 − y, x − 5). A(1, 2) → A₁(−2, 1) → A₂(4, −4).

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

P(2, −3) noktası önce orijin çevresinde 90° döndürülüyor, sonra (−1, 4) kadar öteleniyor. Son görüntü nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 90°: (−y, x) = (3, 2).
  2. (−1, 4) ötelemesi: (3 − 1, 2 + 4) = (2, 6).

(2, 6)

Çözümlü örnek

Aynı iki dönüşümün sırası değişirse (önce öteleme, sonra dönme) P(2, −3) nereye gider?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Öteleme: (2 − 1, −3 + 4) = (1, 1).
  2. 90°: (−y, x) = (−1, 1).
  3. Sonuç (2, 6) değil: sıra önemli.

(−1, 1)

Çözümlü örnek

P(5, 3) noktasını M(2, 1) noktası çevresinde pozitif yönde 90° döndürün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. M’yi orijine taşıyan (−2, −1) ötelemesi: P → (3, 2).
  2. Orijin çevresinde 90°: (3, 2) → (−2, 3).
  3. Geri öteleme (2, 1): (−2 + 2, 3 + 1) = (0, 4).

P′(0, 4)

Çözümlü örnek

P(1, 3) noktası önce x = 2, sonra x = 5 doğrusuna göre yansıtılıyor. Son görüntü nedir; bu hangi tek dönüşüme eşittir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x = 2 doğrusuna göre: (2 · 2 − 1, 3) = (3, 3).
  2. x = 5 doğrusuna göre: (2 · 5 − 3, 3) = (7, 3).
  3. P(1, 3) noktasından (7, 3) noktasına: (6, 0) ötelemesi. Aynalar arası uzaklık 3; kayma bunun iki katı.

(7, 3); (6, 0) ötelemesi

Deney

İki ayna

İki ayna seç: bayrak önce d₁’e, sonra d₂’ye göre yansıyor. Sonuç tek bir dönme mi, öteleme mi? Sırayı değiştirince ne oluyor?

Önce d₁ aynası

Sonra d₂ aynası

—

−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456xy
Art arda
—
Aynalar
—
Tek hamlede
—

Bayrağı dibinden (A) sürükle. Sonuç bayrak F₂, F’nin yalnızca dönmüş ya da kaymış hâli mi?

5 · Gökyüzünde dönme

Kutup Yıldızı’nın saati

Dünya kendi ekseni çevresinde döndüğü için gökyüzü, gök kutbunun çevresinde dönüyormuş gibi görünür. Kuzey gök kutbu Kutup Yıldızı’na çok yakındır (yaklaşık 0,7°); bu yüzden Kutup Yıldızı neredeyse yerinden oynamaz, öbür yıldızlar onun çevresinde çember çizer.

Gök küresi bir tam turu 23 saat 56 dakikada atar: saatte yaklaşık 15°, 6 saatte 90°. Kuzeye bakan biri için bu dönme saatin tersi yönündedir: matematikteki pozitif yön. Büyükayı’nın en parlak yedi yıldızı (Kepçe) için Kutup Yıldızı’nı orijin alan sadeleştirilmiş bir harita çizdik: 1 birim = gökyüzünde 1°.

Dönme açısı
—
Kural
—
Dubhe ve Alkaid
—

Halkalar kutuptan 15°, 30° ve 45° uzaklığı gösterir. Çizimde 7 yıldızın yeri gerçek konumlarından hesaplanıp dereceye yuvarlandı; örneğin Dubhe(27, 10).

Çözümlü örnek

Haritada Dubhe (27, 10) noktasında. 6 saat sonra hangi noktada görünür? 12 saat sonra?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Saatte yaklaşık 15°: 6 saatte 90°. Kural (x, y) → (−y, x): (−10, 27).
  2. 12 saatte 180°: (x, y) → (−x, −y): (−27, −10). Dubhe artık Kutup Yıldızı’nın öbür yanında.

(−10, 27) ve (−27, −10)

Çözümlü örnek

Bir gök küresi modeli gökyüzünü dışarıdan gösterir: haritamızın y eksenine göre yansımasıdır. Mizar haritada (34, −9) noktasındaysa modelde hangi noktadadır? Modelde Kepçe hangi yönde döner?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. y eksenine göre yansıma: (x, y) → (−x, y). Mizar: (−34, −9).
  2. Yansıma dönüş yönünü de çevirir: modelde Kepçe saat yönünde döner. Deneyde “Gök küresinin dışından” görünümünü seçip saatleri ilerlet.

(−34, −9); saat yönünde

Kısa tarih

Üst üste koymaktan simetriye

Öklid · M.Ö. 300 civarı

Elemanlar’ın ilk kitabında iki üçgenin eşliğini, birini taşıyıp öbürünün üstüne koyarak gösterdi: uzunluğu ve açıyı bozmayan bir hareket.

Descartes · 1637

Geometri (La Géométrie) adlı eserinde noktaları sayılarla, eğrileri denklemlerle ifade etti. Dönüşümleri koordinat kuralıyla yazmak bu fikirden doğar.

Felix Klein · 1872

Erlangen Programı’nda bir geometriyi, belli dönüşümler altında değişmeyen özelliklerin incelenmesi olarak tanımladı.

Emmy Noether · 1918

Doğa yasalarındaki her sürekli simetrinin bir korunum yasası verdiğini kanıtladı: dönmeye göre simetri açısal momentumun korunmasını verir.

Öklid’in Elemanlar’ı · Descartes ve koordinat sistemi · Emmy Noether: simetri ve korunum

Özet

Tek bakışta

(x + a, y + b)(a, b) ötelemesi: her nokta aynı yönde, aynı uzaklıkta kayar.
(x, −y)x eksenine göre simetri: apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir.
(−x, y)y eksenine göre simetri: ordinat aynı kalır, apsis işaret değiştirir.
(−x, −y)Orijine göre simetri; orijin çevresinde 180° dönmeyle aynı.
(y, x) ve (−y, −x)y = x ve y = −x doğrularına göre simetri.
(2a − x, y)x = a doğrusuna göre simetri; y = b için (x, 2b − y).
(2a − x, 2b − y)M(a, b) noktasına göre simetri: M, PP′ parçasının orta noktası.
(−y, x)Orijin çevresinde 90° dönme; saatin tersi yönü pozitif.
(y, −x)270° dönme, yani saat yönünde 90° (−90°).
korunanlarUzunluk, açı ve alan korunur; doğruya göre yansıma köşelerin sırasını tersine çevirir.
art ardaKurallar sırayla uygulanır, sıra önemlidir. İki yansıma bir dönme ya da öteleme verir.
Kepçe’nin saatiGök küresi saatte ≈ 15° döner: 6 saatte 90°, (x, y) → (−y, x).

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. A(3, −2) noktası (−4, 5) ötelemesiyle hangi noktaya gider?
2. A(2, −5) noktasının x eksenine göre simetriği hangisidir?
3. P(4, −1) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği hangisidir?
4. A(3, 5) noktası orijin çevresinde pozitif yönde 90° döndürülürse hangi noktaya gider?
5. B(−2, 6) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği hangisidir?
6. A(1, 4) noktasının M(3, −1) noktasına göre simetriği hangisidir?
7. P(−3, 2) noktası önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra (1, −4) kadar öteleniyor. Son görüntü hangisidir?
8. P(2, 5) noktası orijin çevresinde saat yönünde 90° döndürülürse hangi noktaya gider?
9. Bir noktayı önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtmak hangi tek dönüşüme eşittir?
10. Kutup Yıldızı’nı orijin alan bir gök haritasında bir yıldız (20, 12) noktasında. Gökyüzü saatte yaklaşık 15° döndüğüne göre 6 saat sonra yıldız hangi noktadadır?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Öteleme, dönme ve simetri altında bir noktanın görüntüsü.
  • Öteleme, dönme ve simetrinin art arda uygulandığı soruları çözmek.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Dönüşüm Geometrisi: sık sorulanlar

Dönüşüm Geometrisi kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Dönüşümler” ünitesinde, “Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler” adıyla yer alır.

Dönüşüm Geometrisi TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 13 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları