Ana içeriğe atla

AYT · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Denklemler Konu Anlatımı

Bilinmeyen üste ya da logaritmanın içinde. Logaritmayla üssü aşağı indir, eşitsizlikte tabana bak, tanım kümesini unutma. Nüfusun ikiye katlanma süresi, bir kemiğin yaşı ve bir yıldızın uzaklığı böyle bulunur.

  • 2ˣ = 5x = log₂ 5 ≈ 2,32
  • t = 2ˣ > 0negatif t elenir
  • 0 < a < 1eşitsizlikte yön döner
  • x = −3 ✗tanım kümesinde değil

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde doğruyu kaydır, tabanı değiştir, bir yıldızı uzaklaştır ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Üstel ve Logaritmik Denklemler nedir?

Üstel denklemde bilinmeyen üstte, logaritmik denklemde logaritmanın içindedir. Tabanlar eşitlenebiliyorsa üsler eşitlenir; eşitlenemiyorsa iki tarafın logaritması alınır. Logaritmik denklemde bulunan kökler, logaritmanın tanımlı olma koşulunu sağlamalıdır. Eşitsizliklerde taban 0 ile 1 arasındaysa eşitsizliğin yönü değişir. Nüfus artışı, yarı ömür ve pH gibi durumlar da bu denklemlerle modellenir.

MEB konusu
Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Üstel denklemler

Üs bilinmeyince

Logaritma dersinde aʸ = x ⇔ y = logₐ x eşitliğini gördük. Şimdi onu bir denklem çözme aracı olarak kullanacağız: bilinmeyen üsteyse logaritma onu aşağı indirir. Grafikte her çözüm, iki grafiğin kesiştiği noktanın apsisidir.

−2−112345−22468xy y = 8 x = 3 y = 5 x ≈ 2,32 y = −1: kesişim yok y = 2ˣ y = 3ˣ y = 2ˣ⁺¹ y = (3/2)ˣ y = 2 x ≈ 1,71
  1. Tabanlar eşitlenebiliyorsa üsler eşitlenir: 2ˣ = 8 = 2³ olduğundan x = 3. Grafikte bu, y = 2ˣ eğrisinin y = 8 doğrusunu kestiği noktanın apsisidir. Üstel fonksiyon bire bir olduğu için başka kesişim yok.
  2. 8 yerine 5 gelirse? 5, 2’nin tam kuvveti değil: 2² = 4 < 5 < 8 = 2³, kesişim 2 ile 3 arasında. Logaritmanın tanımı bu sayıya bir ad verir: 2ˣ = 5 ⇔ x = log₂ 5 ≈ 2,32.
  3. Tabanlar eşitlenemiyorsa iki tarafın logaritmasını al; üsler çarpan olarak aşağı iner: 3ˣ = 2ˣ⁺¹ → x · log 3 = (x + 1) · log 2 → x = log 2 ÷ (log 3 − log 2) ≈ 1,71. İki eğri tam bu apsiste kesişiyor.
  4. Başka bir yol: iki tarafı 2ˣ’e böl. (3/2)ˣ = 2, yani x = log3/2 2. Eğriler değişti ama kesişimin apsisi aynı kaldı (kesikli çizgi): denklemi denk bir denkleme dönüştürmek çözümü değiştirmez.
  5. aˣ her zaman pozitiftir. 2ˣ = −1 (ya da 2ˣ = 0) denkleminde doğru eğriyi hiç kesmez: çözüm yok, Ç = ∅. aˣ = b denkleminin çözümü ancak b > 0 iken vardır.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

5x − 1 = 7 denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 7, 5’in tam kuvveti değil. Tanıma göre x − 1 = log₅ 7.
  2. x = 1 + log₅ 7 (hesap makinesiyle ≈ 2,21).

x = 1 + log₅ 7

Çözümlü örnek

32x = 5 ise 9x + 1 kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 32x = (3²)ˣ = 9ˣ, yani 9ˣ = 5. x’i ayrıca bulmaya gerek yok.
  2. 9x + 1 = 9ˣ · 9 = 5 · 9 = 45.

45

Deney

İki taraf, iki grafik

Denklemin sol tarafını seç, sağ taraftaki doğruyu kaydır. Grafikler kaç kez kesişiyor? Hangi denklemde kökü cebirle bulabiliyoruz, hangisinde yalnız grafikle?

Sol taraf
Hazır

2ˣ = 6 − x

Kesişim sayısı
—
Çözüm
—
Cebirle
—

Çözümlü örnek

2ˣ = 6 − x denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x hem üste hem dışarıda: tabanları eşitleyerek ya da logaritmayla x’i yalnız bırakamayız.
  2. Sol taraf artan, sağ taraf azalan: grafikler en çok bir kez kesişir, yani en çok bir kök var.
  3. Deneyelim: x = 2 için 2² = 4 ve 6 − 2 = 4 ✓. Ç = {2}.

Ç = {2}

2 · Yeni değişken

t = aˣ ve kaybolan kök

4ˣ, 9ˣ, 2x + 1 gibi terimler aynı tabanın kuvvetleriyle yazılabiliyorsa denklem, t = aˣ dönüşümüyle ikinci dereceden bir denkleme döner. Ama t’nin her değeri bir x’e geri dönmez.

−2−1123456−8−6−4−2246ty
y = t² − 3t − 4, t = 2ˣ (t > 0)
−5−4−3−2−1123−8−6−4−2246xy
y = 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4
  1. 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0 denkleminde 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². t = 2ˣ dersek denklem t² − 3t − 4 = 0 olur. Soldaki mor parabol bu ikinci dereceden ifadenin grafiği.
  2. Çarpanlarına ayıralım: (t − 4)(t + 1) = 0. Kökler t = 4 ve t = −1: parabol t eksenini bu iki noktada kesiyor.
  3. Ama t = 2ˣ ve 2ˣ her zaman pozitif: t > 0. t ≤ 0 bölgesi yasak (kırmızı). t = −1 bu bölgede kaldığı için hiçbir x’e karşılık gelmez: elenir.
  4. t = 4 kalır: 2ˣ = 4 = 2² → x = 2. Sağda asıl fonksiyon y = 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4: x eksenini yalnız bir kez, x = 2’de kesiyor. Solda iki kök vardı, sağda bir tane: Ç = {2}.
  5. Eşitsizlik de aynı yolla: 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 < 0 → (t − 4)(t + 1) < 0 → −1 < t < 4. t > 0 ile birlikte 0 < t < 4, yani 2ˣ < 2² → x < 2. Sağdaki grafik tam x < 2 iken x ekseninin altında.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 9ˣ = (3ˣ)². t = 3ˣ > 0 dersek t² − 4t + 3 = 0.
  2. (t − 1)(t − 3) = 0 → t = 1 ya da t = 3. İkisi de pozitif.
  3. 3ˣ = 1 → x = 0; 3ˣ = 3 → x = 1. Ç = {0, 1}.

Ç = {0, 1}

Çözümlü örnek

9ˣ − 10 · 3ˣ + 9 ≤ 0 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. t = 3ˣ > 0: t² − 10t + 9 ≤ 0 → (t − 1)(t − 9) ≤ 0.
  2. Parabol kökler arasında negatif: 1 ≤ t ≤ 9. Bu aralıktaki t’ler zaten pozitif.
  3. 3⁰ ≤ 3ˣ ≤ 3². Taban 3 > 1 olduğundan yön korunur: 0 ≤ x ≤ 2.

Ç = [0, 2]

3 · Logaritmik denklemler

Sahte kök nereden geliyor?

Bilinmeyen logaritmanın içindeyse tanımı ters yönde kullanırız: logₐ f(x) = c ⇔ f(x) = aᶜ. Ama logaritma yalnız pozitif sayılar için tanımlı; bu koşulu atlayan bir çözümde fazladan bir kök belirebilir.

−6−5−4−3−2−1123456−3−2−112345xy x = −3 x = 3 y = 3 tanımsız
  1. Denklem: log₂ (x − 1) + log₂ (x + 1) = 3. Önce tanım kümesi: iki logaritmanın içi de pozitif olmalı. x − 1 > 0 ve x + 1 > 0, yani x > 1 (yeşil bant). Sol tarafın grafiği (mavi) yalnız bu bölgede var.
  2. Toplamı çarpımın logaritmasına çevirelim: log₂ ((x − 1)(x + 1)) = log₂ (x² − 1). Bu yeni ifadenin grafiği (turuncu) sağda maviyle çakışıyor, ama solda yeni bir kolu var: x < −1 iken de x² − 1 pozitif.
  3. Denklemi çözelim: log₂ (x² − 1) = 3 → x² − 1 = 2³ = 8 → x² = 9 → x = 3 ya da x = −3. y = 3 doğrusu turuncu grafiği iki noktada kesiyor.
  4. Tanım kümesiyle karşılaştır: x = −3 yeni koldaki nokta. Asıl denklemde log₂ (−3 − 1) = log₂ (−4) tanımsız. x = −3 sahte kök: elenir.
  5. x = 3 için denetim: log₂ 2 + log₂ 4 = 1 + 2 = 3 ✓. Ç = {3}. Özellikleri uygulamak tanım kümesini genişletebilir; bu yüzden önce tanım kümesini yaz, sonunda her kökü onunla karşılaştır.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

log₂ x + log₂ (x − 2) = 3 denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Tanım kümesi: x > 0 ve x − 2 > 0, yani x > 2.
  2. log₂ (x(x − 2)) = 3 → x² − 2x = 8 → x² − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0.
  3. x = 4 tanım kümesinde; x = −2 değil (log₂ (−2) tanımsız), elenir. Ç = {4}.

Ç = {4}

Çözümlü örnek

(log₂ x)² − log₂ x − 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Tanım kümesi x > 0. t = log₂ x dersek t² − t − 2 = 0; burada t negatif de olabilir.
  2. (t − 2)(t + 1) = 0 → t = 2 ya da t = −1.
  3. log₂ x = 2 → x = 4; log₂ x = −1 → x = 1/2. İkisi de pozitif: Ç = {1/2, 4}.

Ç = {1/2, 4}

4 · Eşitsizlikler

Yön ne zaman döner?

Tabanı 1’in iki yanında gezdir. Eğrinin turuncu çizginin üstünde kalan kısmı hangi tarafa geçiyor? Logaritmik eşitsizlikte çözüm neden 0’da duruyor?

Denklemde tabana bakmadan üsleri eşitleyebiliyorduk. Eşitsizlikte ise tabanın 1’den büyük ya da küçük olması her şeyi değiştirir: artan fonksiyon sırayı korur, azalan fonksiyon sırayı ters çevirir.

Fonksiyon
—
Yön
—
Çözüm kümesi
—

Çözümlü örnek

(1/3)x − 2 > 9 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 9 = (1/3)⁻² olduğundan (1/3)x − 2 > (1/3)⁻².
  2. Taban 1/3 < 1: üslere geçerken yön döner. x − 2 < −2.
  3. x < 0, yani Ç = (−∞, 0).

x < 0

Çözümlü örnek

2x² − x ≤ 4 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 4 = 2²: 2x² − x ≤ 2². Taban 2 > 1, yön korunur: x² − x ≤ 2.
  2. x² − x − 2 ≤ 0 → (x − 2)(x + 1) ≤ 0.
  3. Kökler arasında: −1 ≤ x ≤ 2, Ç = [−1, 2].

Ç = [−1, 2]

Çözümlü örnek

log1/2 (x − 2) ≥ −2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Tanım kümesi: x − 2 > 0, yani x > 2.
  2. −2 = log1/2 4, çünkü (1/2)⁻² = 4. Eşitsizlik: log1/2 (x − 2) ≥ log1/2 4.
  3. Taban 1’den küçük, yön döner: x − 2 ≤ 4 → x ≤ 6.
  4. Tanım kümesiyle kesişim: 2 < x ≤ 6, Ç = (2, 6].

Ç = (2, 6]

5 · Modelleme

Kaç yıl sonra?

Nüfus, bakteri, radyoaktif madde: sabit oranla büyüyen ya da azalan her büyüklük üstel bir modele uyar. “Ne zaman?” sorusu bir üstel denklem, “ne zamandan sonra?” sorusu bir üstel eşitsizlik olur; ikisini de logaritma çözer.

2040608012345tN ÷ N₀ t ≈ 35 t ≈ 70
Nüfus: N(t) = N₀ · 1,02ᵗ, t: yıl
5.00010.00015.00020406080100tkalan (%) t ≈ 9950
Karbon-14: kalan = (1/2)t ÷ 5730, t: yıl
  1. Bir şehrin nüfusu her yıl %2 artıyor (örnek bir model): her yıl bir öncekinin 1,02 katı. t yıl sonra N(t) = N₀ · 1,02ᵗ. Grafik N ÷ N₀ oranını gösteriyor: başta 1, sonra katlanarak büyüyor.
  2. Nüfus kaç yılda iki katına çıkar? 1,02ᵗ = 2 bir üstel denklem. İki tarafın logaritması: t · log 1,02 = log 2 → t = log 2 ÷ log 1,02 ≈ 35 yıl.
  3. Dört katına çıkması için 1,02ᵗ = 4 = 2² → t = 2 · log 2 ÷ log 1,02 ≈ 70 yıl. İkiye katlanma süresi sabit: nüfus her 35 yılda bir iki katına çıkıyor.
  4. Azalan bir model: karbon-14’ün yarı ömrü 5730 yıl; t yıl sonra kalan oran (1/2)t ÷ 5730. Bir kemikte başlangıçtakinin %30’u kalmışsa (1/2)t ÷ 5730 = 0,3 → t = 5730 · log₂ (10/3) ≈ 9950 yıl.
  5. Genel kural: yarı ömrü T olan bir maddenin N₀’dan N’ye inmesi için geçen süre t = T · log₂ (N₀ ÷ N). Soru eşitsizlik de olabilir: kalan %30’dan azsa (1/2)t ÷ 5730 < 0,3. Taban 1’den küçük olduğu için üslere geçerken yön döner: t > 9950 (yeşil).

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Sağlıklı bir insanın kan pH’ı 7,35 ile 7,45 arasındadır. Kandaki [H⁺] hangi aralıktadır? (100,55 ≈ 3,55 ve 100,65 ≈ 4,47)

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 7,35 ≤ −log [H⁺] ≤ 7,45 → −7,45 ≤ log [H⁺] ≤ −7,35.
  2. Taban 10 > 1, yön korunur: 10−7,45 ≤ [H⁺] ≤ 10−7,35.
  3. 10−7,45 = 100,55 · 10⁻⁸ ≈ 3,55 · 10⁻⁸ ve 10−7,35 = 100,65 · 10⁻⁸ ≈ 4,47 · 10⁻⁸.
  4. 3,55 · 10⁻⁸ ≤ [H⁺] ≤ 4,47 · 10⁻⁸ mol/L. pH büyüdükçe [H⁺] küçülür: sınırlar yer değiştirdi.

3,55 · 10⁻⁸ ile 4,47 · 10⁻⁸ mol/L arası

Çözümlü örnek

Bir bakteri kolonisinde t dakika sonraki bakteri sayısı N(t) = 500 · 3t ÷ 20 olsun (örnek model). Sayı kaç dakikada 13.500 olur? Kaçıncı dakikadan sonra 40.500’ü geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 500 · 3t ÷ 20 = 13.500 → 3t ÷ 20 = 27 = 3³ → t ÷ 20 = 3 → t = 60 dakika.
  2. 500 · 3t ÷ 20 > 40.500 → 3t ÷ 20 > 81 = 3⁴. Taban 3 > 1, yön korunur: t ÷ 20 > 4 → t > 80.

60 dakikada; 80. dakikadan sonra

Karbon-14 yarı ömrü ≈ 5730 yıl. Kan pH’ı aralığı 7,35–7,45. Nüfus ve bakteri modellerindeki oranlar örnektir.

6 · Gökyüzünde uzaklık

Kadirden uzaklığa

Logaritma dersinde yıldızların gökyüzündeki parlaklığını görünür kadir (m) ile ölçtük. Ama sönük görünen bir yıldız ya gerçekten zayıftır ya da çok uzaktadır. Gökbilimciler ikisini ayırmak için mutlak kadiri (M) kullanır: yıldız 10 parsek uzakta olsaydı görünecek kadiri. (1 parsek ≈ 3,26 ışık yılı.)

Işık uzaklığın karesiyle zayıfladığı için uzaklık 10 katına çıkınca parlaklık 100 kat azalır, yani kadir 5 artar. Buradan m − M = 5 · log (d ÷ 10) çıkar (d parsek). m ile M biliniyorsa bu logaritmik denklemden d bulunur. “Yıldız çıplak gözle görülür mü?” sorusu ise bir eşitsizliktir: m ≤ 6.

m = 4,83 + 5 · log (10 ÷ 10) = 4,83

Çıplak gözle
—
Görünme sınırı
—
Gerçek kadirinden
—

Çözümlü örnek

Sirius’un görünür kadiri −1,46, mutlak kadiri 1,42’dir. Sirius kaç parsek uzaktadır? (10−0,576 ≈ 0,265)

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. m − M = 5 · log (d ÷ 10): −1,46 − 1,42 = −2,88 = 5 · log (d ÷ 10).
  2. log (d ÷ 10) = −2,88 ÷ 5 = −0,576 → d ÷ 10 = 10−0,576 ≈ 0,265.
  3. d ≈ 2,65 parsek ≈ 8,6 ışık yılı. Ölçülen uzaklık 2,64 parsek: sonuç çok yakın.

≈ 2,65 parsek

Çözümlü örnek

Güneş’in mutlak kadiri 4,83’tür. Güneş en çok kaç parsek uzakta olsaydı çıplak gözle (m ≤ 6) görülebilirdi? (100,234 ≈ 1,71)

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 4,83 + 5 · log (d ÷ 10) ≤ 6 → 5 · log (d ÷ 10) ≤ 1,17 → log (d ÷ 10) ≤ 0,234.
  2. Taban 10 > 1, yön korunur: d ÷ 10 ≤ 100,234 ≈ 1,71.
  3. d ≤ yaklaşık 17 parsek (≈ 56 ışık yılı). Daha uzaktaki Güneş benzeri yıldızları çıplak gözle göremeyiz.

d ≤ yaklaşık 17 parsek

Kadirler V bandında: Güneş m = −26,74 ve M = 4,83; Sirius −1,46 ve 1,42 (uzaklık 2,64 pc); Vega 0,03 ve 0,58 (7,68 pc); Arktürüs −0,05 ve −0,30 (11,26 pc); Proxima Centauri 11,13 ve 15,53 (1,30 pc). 1 pc ≈ 3,26 ışık yılı.

Kısa tarih

Ölçmek için logaritma

Friedrich Bessel · 1838

61 Cygni yıldızının ıraklık açısını (paralaksını) ölçerek Güneş dışındaki bir yıldızın uzaklığını ilk kez doğrudan buldu.

Søren Sørensen · 1909

Kopenhag’daki Carlsberg Laboratuvarı’nda asitliği hidrojen iyonu derişiminin logaritmasıyla veren pH ölçeğini tanıttı.

Henrietta Leavitt · 1912

Küçük Macellan Bulutu’ndaki sefeid değişen yıldızlarında kadirin, parlaklık değişim süresinin logaritmasıyla doğrusal ilişkili olduğunu gösterdi. Bu ilişki gökadaların uzaklığını ölçmenin anahtarı oldu.

Willard Libby · 1949

Karbon-14’ün bozunmasına dayanan radyokarbon yaş tayinini geliştirdi; bu çalışmayla 1960 Nobel Kimya Ödülü’nü aldı.

Karbon-14 ile yaş tayini · Matematiksel modelleme nedir?

Özet

Tek bakışta

aˣ = bb > 0 ise x = logₐ b; b ≤ 0 ise çözüm yok.
aᶠ = aᵍTabanlar eşitse üsler eşit: f(x) = g(x).
iki tarafın logaritmasıaf(x) = bg(x) ⇒ f(x) · log a = g(x) · log b.
grafikle çözümÇözümler, iki tarafın grafiklerinin kesişimlerinin apsisleri.
t = aˣYeni değişken hep pozitif: t ≤ 0 kökleri elenir.
tanım kümesiLogaritmanın içi > 0; taban > 0 ve ≠ 1. Önce yaz, sonunda denetle.
sahte köklogₐ f + logₐ g = logₐ (f · g) dönüşümü tanım kümesini genişletebilir.
a > 1Üslere ya da logaritmanın içine geçerken yön korunur.
0 < a < 1Üslere ya da logaritmanın içine geçerken yön döner.
t = T · log₂ (N₀ ÷ N)Yarı ömrü T olan maddenin N₀’dan N’ye inme süresi.
pH = −log [H⁺]pH 1 azalınca hidrojen iyonu derişimi 10 katına çıkar.
m − M = 5 · log (d ÷ 10)Kadirlerden yıldızın uzaklığı (parsek).

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. 2x − 1 = 5 ise x kaçtır?
2. 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
3. Karbon-14’ün yarı ömrü 5730 yıldır. Bir örnekte başlangıçtaki karbon-14’ün %10’u kalmışsa yaklaşık kaç yıl geçmiştir? (log 2 ≈ 0,3)
4. (1/2)x − 3 > 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
5. log₃ x + log₃ (x − 8) = 2 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?
6. logₓ (x + 6) = 2 ise x kaçtır?
7. log1/3 (x − 1) > −2 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
8. 2ˣ = 5 − x denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
9. pH’ı 3 olan bir çözeltideki [H⁺], pH’ı 5 olanınkinin kaç katıdır?
10. Mutlak kadiri 5 olan bir yıldız 100 parsek uzaktadır. Görünür kadiri kaçtır?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Bilinmeyeni üste ya da logaritmanın içinde olan denklem ve eşitsizliklerin çözümünü bulmak.
  • Üstel ve logaritmik fonksiyonlarla modelleme (nüfus, yarı ömür, pH vb.).

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Üstel ve Logaritmik Denklemler: sık sorulanlar

Üstel ve Logaritmik Denklemler kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar” ünitesinde, “Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler” adıyla yer alır.

Üstel ve Logaritmik Denklemler TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları