Ana içeriğe atla

AYT · Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

İkinci Dereceden Denklem Sistemleri Konu Anlatımı

Bir doğru bir parabolü kaç noktada keser? Ay’da vurulan top yamacın neresine değer? Cevap, iki denklemi birden sağlayan (x, y) ikililerinde.

  • ortak noktasistemin çözümü
  • Δ = 0doğru teğet
  • t² − st + p = 0toplam ve çarpım
  • en çok 4ortak çözüm

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde doğrunun eğimini, parabollerin katsayılarını ve atışın hızını değiştir, ortak noktaların nasıl değiştiğini gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

İkinci Dereceden Denklem Sistemleri nedir?

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminde denklemlerden en az birinde x², y² ya da xy gibi ikinci dereceden bir terim bulunur. Genellikle bir bilinmeyen bir denklemden çekilip öbürüne yazılır ve tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Çözümler, iki eğrinin kesişim noktalarının koordinatlarıdır.

MEB konusu
İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Sistem ve çözüm

İki eğri, ortak noktalar

Önceki derste ax² + bx + c = 0 gibi tek bilinmeyenli denklemleri çözdük. Şimdi iki bilinmeyen ve iki denklem var; ikisi birlikte sağlanmalı. Önce grafiğe bakalım.

−3−2−11234−4−22468xy y = x² − 1 y = x + 1 y = x² − x − 2 (−1, 0)(2, 3)
  1. y = x² − 1 denkleminde iki bilinmeyen var ve x’in karesi geçiyor: ikinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem. Onu sağlayan ikililer sonsuz çok: (0, −1), (1, 0), (2, 3)… Hepsi birlikte bir parabol çizer.
  2. İkinci denklem y = x + 1. Onu sağlayan ikililer de sonsuz çok: (0, 1), (2, 3), (−1, 0)… Bu kez bir doğru.
  3. Sistem, iki denklemi birden sağlayan ikilileri ister: iki grafiğin ortak noktaları. Burada iki tane var: (−1, 0) ve (2, 3).
  4. Hesapla bulalım. İki denklemde de y yalnız; y’leri eşitleyelim: x² − 1 = x + 1, yani x² − x − 2 = 0. Tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem! Kökleri −1 ve 2. Mor kesikli y = x² − x − 2 parabolü de x eksenini tam bu noktalarda kesiyor.
  5. Her x için y’yi doğrunun denkleminden bulalım: x = −1 → y = 0; x = 2 → y = 3. Ç = {(−1, 0), (2, 3)}. Sağlama: 3 = 2² − 1 ve 3 = 2 + 1.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

y = x² − 2x ve y = x + 4 sisteminin çözüm kümesini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. y’ler eşit: x² − 2x = x + 4 → x² − 3x − 4 = 0.
  2. (x − 4)(x + 1) = 0 → x = 4 ya da x = −1.
  3. y = x + 4’ten: x = 4 → y = 8; x = −1 → y = 3. Ç = {(−1, 3), (4, 8)}.

{(−1, 3), (4, 8)}

Çözümlü örnek

x² + y = 10 ve x − y = 2 sisteminin çözüm kümesini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İkinci denklemden y = x − 2. Birincide yerine koyalım: x² + x − 2 = 10.
  2. x² + x − 12 = 0 → (x + 4)(x − 3) = 0 → x = −4 ya da x = 3.
  3. y = x − 2: x = −4 → y = −6; x = 3 → y = 1. Ç = {(−4, −6), (3, 1)}.

{(−4, −6), (3, 1)}

2 · Yerine koyma

Doğrudan çek, eğriye koy

Denklemlerden biri birinci dereceden ise en kısa yol, ondan bir bilinmeyeni çekip öbür denklemde yerine koymaktır.

−6−4−2246−6−4−2246xy 5 (x, 1 − x) (−3, 4) (4, −3)
  1. Sistem: x + y = 1 ve x² + y² = 25. Birincisi bir doğru. İkincisini sağlayan her noktanın orijine uzaklığı √(x² + y²) = 5 (Pisagor): grafiği merkezi orijin, yarıçapı 5 olan bir çember.
  2. Birinci dereceden denklemden bir bilinmeyeni çekelim: y = 1 − x. Doğrunun her noktası (x, 1 − x) biçiminde. Bunu ikinci denklemde yerine koyalım: x² + (1 − x)² = 25.
  3. Açınca 2x² − 2x + 1 = 25, yani x² − x − 12 = 0. (x − 4)(x + 3) = 0: x = 4 ya da x = −3. y = 1 − x’ten y = −3 ya da y = 4. Ç = {(−3, 4), (4, −3)}.
  4. Başka bir sistem: x + y = 1 ve xy = −12. Toplamı 1, çarpımı −12 olan iki sayı, önceki derste gördüğümüz gibi t² − t − 12 = 0 denkleminin kökleridir: −3 ve 4. xy = −12’nin grafiği (turuncu) de aynı iki noktadan geçiyor.
  5. Neden aynı noktalar? x² + y² = (x + y)² − 2xy = 1 − 2 · (−12) = 25. Toplam ve çarpım bilinince kareler toplamı da bilinir: üç eğri aynı iki noktada buluşur.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Çevresi 34 cm, köşegeni 13 cm olan dikdörtgenin kenarları kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kenarlar x ve y: 2(x + y) = 34 → x + y = 17. Pisagor’dan x² + y² = 169.
  2. y = 17 − x: x² + (17 − x)² = 169 → 2x² − 34x + 120 = 0 → x² − 17x + 60 = 0.
  3. (x − 5)(x − 12) = 0: x = 5 ise y = 12, x = 12 ise y = 5. Kenarlar 5 cm ve 12 cm (alan 60 cm²).

5 cm ve 12 cm

Çözümlü örnek

x + y = 5 ve xy = −14 sisteminin çözüm kümesini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Toplam 5, çarpım −14: x ile y, t² − 5t − 14 = 0 denkleminin kökleri.
  2. (t − 7)(t + 2) = 0 → t = 7 ya da t = −2.
  3. x = 7 ise y = −2; x = −2 ise y = 7. Ç = {(−2, 7), (7, −2)}.

{(−2, 7), (7, −2)}

Çözümlü örnek

x² + y² = 13 ve xy = 6 ise x + y kaç olabilir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (x + y)² = x² + y² + 2xy = 13 + 12 = 25.
  2. x + y = 5 ya da x + y = −5.
  3. İkisi de gerçekleşir: 2 ile 3 (toplam 5) ve −2 ile −3 (toplam −5) iki denklemi de sağlar. x + y = ±5.

5 ya da −5

3 · Kesişim sayısı

Doğru kaydıkça ortak noktalar

Bir doğru bir parabolü kaç noktada keser? Cevap, yerine koyunca çıkan denklemin diskriminantında.

−3−2−11234−4−2246810xy
  1. y = x² parabolü ile y = 2x + 3 doğrusu. Yerine koyunca x² = 2x + 3, yani x² − 2x − 3 = 0. Δ = 4 + 12 = 16 > 0: iki kök, iki ortak nokta: (−1, 1) ve (3, 9).
  2. Doğruyu eğimini değiştirmeden aşağı kaydıralım: y = 2x + n. Denklem x² − 2x − n = 0 ve Δ = 4 + 4n. n = 0 iken Δ = 4: noktalar (0, 0) ve (2, 4); birbirine yaklaştılar.
  3. n = −1 iken Δ = 0: iki kök çakışır, doğru parabole yalnız (1, 1) noktasında değer. Parabolü kesip geçmeden ona tek noktada değen bu doğruya parabolün teğeti denir.
  4. n = −3 iken Δ = 4 − 12 = −8 < 0: gerçek kök yok. Doğru parabolün altından geçer, ortak nokta yok: Ç = ∅.
  5. Yerine koyunca çıkan tek bilinmeyenli denklemin diskriminantı kesişim sayısını söyler: Δ > 0 iki nokta, Δ = 0 teğet (tek nokta), Δ < 0 ortak nokta yok.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

y = mx doğrusu y = x² + 4 parabolüne teğet ise m kaçtır? Değme noktaları nerededir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² + 4 = mx → x² − mx + 4 = 0.
  2. Teğet için Δ = 0: m² − 16 = 0 → m = 4 ya da m = −4.
  3. Çift kök x = m ÷ 2: m = 4 için (2, 8), m = −4 için (−2, 8).

m = 4 ya da m = −4

Çözümlü örnek

y = 2x + n doğrusu y = x² − 4x + 5 parabolünü iki noktada kesiyorsa n için ne söylenebilir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² − 4x + 5 = 2x + n → x² − 6x + 5 − n = 0.
  2. İki nokta için Δ > 0: 36 − 4(5 − n) > 0 → 16 + 4n > 0.
  3. n > −4. (n = −4 iken doğru teğet, n < −4 iken ortak nokta yok.)

n > −4

Çözümlü örnek

y = x² − x ve y = x − 2 sisteminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² − x = x − 2 → x² − 2x + 2 = 0.
  2. Δ = 4 − 8 = −4 < 0: gerçek kök yok.
  3. Doğru parabolün altından geçer: Ç = ∅.

∅

Deney

Doğruyu çevir, kaydır

Bir parabol seç; doğrunun eğimini ve y eksenini kestiği yeri değiştir. Doğru ne zaman iki noktada kesiyor, ne zaman teğet, ne zaman hiç değmiyor? Δ ile karşılaştır.

y = x² ve y = 2x + 3

Yerine koyunca
—
Diskriminant
—
Kesişim
—
Çözüm kümesi
—

4 · Yok etme

Dört çözümlü bir sistem

İki denklem de ikinci dereceden olunca yerine koymak zorlaşabilir. Kareli terimleri toplayıp çıkararak bir bilinmeyeni yok edebiliriz.

−6−4−2246−6−4−2246xy (−4, −3)(−4, 3)(4, −3)(4, 3)
  1. Bu sistemde iki denklem de ikinci dereceden: x² + y² = 25 (çember) ve x² − y² = 7. İkincisinin grafiği iki koldan oluşan bir eğri (hiperbol). Birinci dereceden denklem olmadığı için bir bilinmeyeni çekmek zahmetli.
  2. İki denklemde de y² var ve işaretleri zıt. Denklemleri taraf tarafa toplayalım: y²’ler yok olur, 2x² = 32 kalır. Buna yok etme yöntemi denir.
  3. x² = 16 → x = 4 ya da x = −4. İki işareti de almalıyız: çözümler bu iki dikey doğrunun üzerinde.
  4. x² = 16’yı birinci denklemde yerine koyalım: 16 + y² = 25, y² = 9, y = 3 ya da y = −3. Her x için iki y var: dört ortak nokta.
  5. Ç = {(−4, −3), (−4, 3), (4, −3), (4, 3)}. İki ikinci dereceden denklemin sistemi en çok dört çözüm verebilir; bir doğru ile bir parabol ise en çok iki noktada kesişir.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

x² + 2y² = 22 ve 3x² − y² = 3 sistemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İkinci denklemi 2 ile çarpalım: 6x² − 2y² = 6. Birinciyle toplayınca y²’ler yok olur: 7x² = 28.
  2. x² = 4 → x = ±2. Birinci denklemden 4 + 2y² = 22 → y² = 9 → y = ±3.
  3. Her x için iki y: Ç = {(−2, −3), (−2, 3), (2, −3), (2, 3)}.

Dört ikili: (±2, ±3)

Çözümlü örnek

x² − 5xy + 6y² = 0 ve x + y = 12 sistemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Birinci denklem çarpanlarına ayrılır: (x − 2y)(x − 3y) = 0 → x = 2y ya da x = 3y.
  2. x = 2y: 3y = 12 → y = 4, x = 8. x = 3y: 4y = 12 → y = 3, x = 9.
  3. Ç = {(8, 4), (9, 3)}.

{(8, 4), (9, 3)}

Çözümlü örnek

x − y = 2 ve x² − y² = 16 ise x ve y kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² − y² = (x − y)(x + y) → 2(x + y) = 16 → x + y = 8.
  2. x − y = 2 ile x + y = 8 taraf tarafa toplanınca 2x = 10.
  3. x = 5 ve y = 3.

x = 5 ve y = 3

Deney

İki parabol kaç noktada kesişir?

İkinci parabolün katsayılarını değiştir. y’ler eşitlenince hangi denklem çıkıyor? a = 1 yapınca ne oluyor?

y = x² − 3 ve y = −x² + 2x + 1

y’leri eşitle
—
Denklem
—
Çözüm kümesi
—

Çözümlü örnek

y = x² − 3 ve y = −x² + 2x + 1 parabollerinin ortak noktalarını bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. y’leri eşitleyelim: x² − 3 = −x² + 2x + 1 → 2x² − 2x − 4 = 0 → x² − x − 2 = 0.
  2. (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 ya da x = −1.
  3. y = x² − 3’ten y = 1 ve y = −2. Ç = {(−1, −2), (2, 1)}.

{(−1, −2), (2, 1)}

5 · Ay’da bir atış

Top yamacın neresine değer?

1971’de Apollo 14 astronotu Alan Shepard, Ay’da iki golf topuna vurdu; Ay yüzeyinde golf oynayan ilk kişi oldu. Biz de hayalî sayılarla bir atış kuralım. Top 45° açıyla vurulsun: yatay ve düşey hızı eşit, u = 9 m/s olsun. Ay’da hava yok; t saniye sonra x = ut ve y = ut − (g ÷ 2)t². t = x ÷ u yazınca topun yolu y = x − (g ÷ 2u²)x² olur: bir parabol.

Ay’da g ≈ 1,62 m/s², dolayısıyla g ÷ 2u² = 1,62 ÷ 162 = 0,01 ve yol y = x − 0,01x². Top, eğimi k olan düz bir yamacın dibinden vuruluyor; yamaç y = kx doğrusu. Top yamacın neresine değer? Parabol ile doğrunun ortak noktasına!

y = x − 0,01x² ve y = 0,4x

Yerine koyunca
—
Kökler
—
Yamaca değdiği yer
—
Havada kalma
—

Çözümlü örnek

Ay’da topun yolu y = x − 0,01x², yamaç y = 0,4x ise top yamaca nerede değer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x − 0,01x² = 0,4x → 0,01x² − 0,6x = 0 → x(0,01x − 0,6) = 0.
  2. x = 0 atış noktası; öbür kök x = 0,6 ÷ 0,01 = 60.
  3. y = 0,4 · 60 = 24: top (60, 24) noktasına, yamaç boyunca ≈ 64,6 m ötede değer. Havada 60 ÷ 9 ≈ 6,67 s kalır.

(60, 24)

Çözümlü örnek

Aynı atış (u = 9 m/s) aynı yamaçta Dünya’da (g ≈ 9,81 m/s²) yapılsa top nereye değer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. g ÷ 2u² = 9,81 ÷ 162 ≈ 0,0606: yol y ≈ x − 0,0606x².
  2. Yerine koyunca x(0,0606x − 0,6) = 0 → x = 0,6 · 162 ÷ 9,81 ≈ 9,91 m.
  3. Ay’dakinin yaklaşık 6’da biri: değme noktası g ile ters orantılı (9,81 ÷ 1,62 ≈ 6,06).

x ≈ 9,91 m

Kısa tarih

Kil tabletten uydulara

Babil · M.Ö. 1800–1600

Kil tabletlerde (ör. YBC 6967) çarpımı 60, farkı 7 olan iki sayı aranır: bugünkü yazımla xy = 60 ve x − y = 7. Cevap 12 ve 5.

Diofantos · 3. yüzyıl

Aritmetika’nın ilk kitabında toplamı 20, çarpımı 96 olan iki sayıyı arar. Sayıları 10 + x ve 10 − x seçer: 100 − x² = 96, x = 2; sayılar 12 ve 8.

Ömer Hayyam · 1070 civarı

Üçüncü dereceden denklemlerin pozitif köklerini, bir parabol ile bir çemberin kesişim noktası olarak buldu.

GPS · 1995

Tam olarak çalışır hâle gelen GPS’te alıcı, uydulara olan uzaklıklardan kürelerin ortak noktasını hesaplar: ikinci dereceden denklemlerden oluşan bir sistem.

Diofantos ve Aritmetika · Ömer Hayyam ve kübik denklemler · GPS konumu nasıl bulur? · Galileo ve parabol

Özet

Tek bakışta

ikinci dereceden denklemİçinde x², y² ya da xy terimi olan, derecesi 2 olan iki bilinmeyenli denklem.
çözüm kümesiİki denklemi birden sağlayan (x, y) sıralı ikilileri.
grafikÇözümler, iki denklemin grafiklerinin ortak noktalarıdır.
yerine koymaBirinci dereceden denklemden bir bilinmeyeni çek, öbür denklemde yerine yaz.
tek bilinmeyenYerine koyunca ax² + bx + c = 0 çıkar; kökleri, ortak noktaların apsisleridir.
Δ > 0Doğru parabolü iki noktada keser.
Δ = 0Doğru parabole teğettir: tek ortak nokta.
Δ < 0Ortak nokta yok: Ç = ∅.
t² − st + p = 0x + y = s ve xy = p ise x ile y bu denklemin kökleridir.
özdeşliklerx² + y² = (x + y)² − 2xy ve x² − y² = (x − y)(x + y).
yok etmeKareli terimleri toplayıp çıkararak bir bilinmeyeni yok et; x² = 16 ise x = ±4.
en çok 4İki ikinci dereceden denklemin en çok 4 ortak çözümü olur; doğru ile parabolün en çok 2.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. Aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir?
2. y = x² ve y = 2x + 3 sisteminin çözüm kümesi hangisidir?
3. x + y = 9 ve xy = 20 ise x² + y² kaçtır?
4. y = 2x + n doğrusu y = x² + 2 parabolüne teğet ise n kaçtır?
5. y = x² − 4x parabolü ile y = −5 doğrusu kaç noktada kesişir?
6. x² + y² = 20 ve x² − y² = 12 sisteminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
7. x − y = 3 ve x² − y² = 33 ise xy kaçtır?
8. Alanı 48 cm², çevresi 28 cm olan dikdörtgenin köşegeni kaç cm’dir?
9. y = x² + 1 ve y = x² + 2x − 3 parabolleri kaç noktada kesişir?
10. Ay’da topun yolu y = x − 0,01x², aşağı inen yamaç y = −0,25x ise top yamaca hangi yatay uzaklıkta (x) değer?

Bu konuda neler öğrendin?

  • İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümü.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

İkinci Dereceden Denklem Sistemleri: sık sorulanlar

İkinci Dereceden Denklem Sistemleri kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri” ünitesinde, “İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri” adıyla yer alır.

İkinci Dereceden Denklem Sistemleri TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları