Ana içeriğe atla

AYT · Fonksiyonlarda Uygulamalar

Fonksiyonların Dönüşümleri Konu Anlatımı

Bir grafiği bilen, onun bütün akrabalarını bilir: kaydır, aynala, genişlet. Her hareket formülde küçük bir değişikliktir.

  • f(x) + kyukarı, aşağı
  • f(x − h)sağa, sola
  • −f(x), f(−x)simetri
  • a · f(bx)genişlet, daralt

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle; grafik gözünün önünde kayacak, dönecek, genişleyecek. Deneylerde katsayıları oynat ve hedef grafiği yakala. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Fonksiyonların Dönüşümleri nedir?

Bir fonksiyonun grafiği biliniyorsa benzer fonksiyonların grafikleri yeniden çizilmeden elde edilir. y = f(x) + k grafiği k birim yukarı, y = f(x − h) grafiği h birim sağa kayar. y = −f(x) grafiği x eksenine, y = f(−x) grafiği y eksenine göre yansır. Katsayılar grafiği dikeyde ya da yatayda genişletir veya daraltır.

MEB konusu
Fonksiyonların Dönüşümleri
Bu derste
5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Öteleme

Kaydır: grafiği taşımak

Bir fonksiyonun grafiğini biliyorsan, ona bir sayı ekleyince ya da x’in yerine x − 3 yazınca ne olacağını çizmeden söyleyebilirsin. İlk dönüşüm en basiti: grafiği biçimini bozmadan taşımak.

−6−5−4−3−2−112345678−6−5−4−3−212345 ABCD
  1. Bu dersin temel grafiği f: A(−3, −2), B(−1, 2), C(2, −1) ve D(4, 1) noktalarını birleştiren kırık bir çizgi. Tanım kümesi [−3; 4], görüntü kümesi [−2; 2]. Kesikli kopyası hep yerinde kalacak.
  2. y = f(x) + 2: her çıktıya 2 eklenir, her nokta 2 birim yukarı çıkar. Grafik 2 birim yukarı kayar; biçimi hiç değişmez.
  3. y = f(x) − 3: her nokta 3 birim aşağı iner. Fonksiyonun dışına eklenen sayı grafiği dikey kaydırır.
  4. y = f(x − 3): grafik 3 birim sağa kayar. Neden sağa? Yeni fonksiyon B’nin yüksekliğine (2) ancak x − 3 = −1, yani x = 2 olunca ulaşır.
  5. y = f(x + 2): grafik 2 birim sola kayar. Fonksiyonun içine eklenen sayı grafiği yatay kaydırır ve işareti ters çalışır.
  6. İkisi birlikte: y = f(x − 3) + 2. Her nokta 3 birim sağa ve 2 birim yukarı gider: (x, y) → (x + 3, y + 2). Bütün oklar aynı uzunlukta ve aynı yönde.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

y = f(x) grafiği (2, 5) noktasından geçiyor. y = f(x + 1) − 4 grafiği hangi noktadan geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İçeride +1: grafik 1 birim sola, dışarıda −4: 4 birim aşağı. Kural (x, y) → (x − 1, y − 4).
  2. (2, 5) → (2 − 1, 5 − 4) = (1, 1). Denetim: x = 1 için f(1 + 1) − 4 = f(2) − 4 = 5 − 4 = 1.

(1, 1)

Çözümlü örnek

y = x² grafiği 3 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Sağa öteleme içeride: x yerine x − 3.
  2. Aşağı öteleme dışarıda: −2. Sonuç y = (x − 3)² − 2.

y = (x − 3)² − 2

Çözümlü örnek

f’nin tanım kümesi [−2; 5], görüntü kümesi [1; 6] olsun. y = f(x + 4) − 3 fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x + 4, [−2; 5] içinde olmalı: −2 ≤ x + 4 ≤ 5 → −6 ≤ x ≤ 1. Tanım kümesi [−6; 1] (4 birim sola kaydı).
  2. Her çıktıdan 3 çıkar: görüntü kümesi [−2; 3].

[−6; 1] ve [−2; 3]

2 · Simetri

Aynala: eksenlere göre yansıma

Formülde bir eksi işaretinin yeri grafiği aynaya tutar: işaret dışarıdaysa ayna x ekseni, içerideyse y ekseni olur. Bazı grafikler aynada hiç değişmez; onlar tek ve çift fonksiyonlardır.

−6−5−4−3−2−1123456−5−4−3−212345 ABCD
  1. Şimdi eksenleri ayna gibi kullanacağız. Başlangıç yine f; B(−1, 2) noktasını izle.
  2. y = −f(x): her çıktının işareti değişir, (x, y) → (x, −y). Grafik x eksenine göre yansır. x eksenindeki noktalar (kökler) yerinde kalır.
  3. y = f(−x): x yerine −x yazılır, (x, y) → (−x, y). Grafik y eksenine göre yansır. y eksenini kestiği (0, 1) noktası yerinde kalır.
  4. y = −f(−x): iki yansıma art arda, (x, y) → (−x, −y). Grafik orijine göre yansır; bu, orijin çevresinde 180° dönmekle aynıdır.
  5. g(x) = x² − 3 için g(−x) = (−x)² − 3 = g(x). y eksenine göre yansıyan grafik kendi üzerine düşer. Böyle fonksiyonlara çift fonksiyon denir.
  6. p(x) = x³ − 3x için p(−x) = −x³ + 3x, yani −p(−x) = p(x). Orijine göre yansıyan grafik kendi üzerine düşer: tek fonksiyon.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

f(x) = x² − 4x olsun. y = f(−x) ve y = −f(x) fonksiyonlarını yazın. Grafikleri f’nin grafiğinden nasıl elde edilir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f(−x) = (−x)² − 4(−x) = x² + 4x: y eksenine göre simetri.
  2. −f(x) = −x² + 4x: x eksenine göre simetri.

x² + 4x ve −x² + 4x

Çözümlü örnek

y = f(x) grafiği (3, −5) noktasından geçiyor. y = −f(−x) grafiği hangi noktadan geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Orijine göre simetri: (x, y) → (−x, −y).
  2. (3, −5) → (−3, 5). Denetim: x = −3 için −f(3) = −(−5) = 5.

(−3, 5)

Çözümlü örnek

f çift, f(3) = 7; g tek, g(2) = −5 ve g, 0’da tanımlı. f(−3), g(−2) ve g(0) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çift: f(−3) = f(3) = 7.
  2. Tek: g(−2) = −g(2) = 5.
  3. g(0) = −g(0) → 2g(0) = 0 → g(0) = 0.

7, 5 ve 0

3 · Katsayı değişimi

Genişlet ve daralt

Fonksiyonu bir sayıyla çarpmak ya da x’i bir sayıyla çarpmak grafiği esnetir. Dışarıdaki katsayı grafiği dikey, içerideki yatay yönde değiştirir.

−7−6−5−4−3−2−1123456789−5−4−3−212345 ABCD
  1. Katsayılar grafiği bir lastik gibi çeker ya da sıkıştırır. Yine f ve B(−1, 2) ile başlayalım.
  2. y = 2f(x): her çıktı 2 katına çıkar, (x, y) → (x, 2y). Grafik dikey 2 kat genişler. x eksenindeki noktalar kıpırdamaz, çünkü 2 · 0 = 0.
  3. y = ½f(x): her çıktı yarıya iner. Grafik dikey 2 kat daralır; görüntü kümesi [−1; 1] olur.
  4. y = f(2x): (x, y) → (x ÷ 2, y). Grafik yatay 2 kat daralır: f’nin x = −1’deki değerine artık x = −0,5’te ulaşılır. y eksenindeki nokta yerinde kalır.
  5. y = f(½x): (x, y) → (2x, y). Grafik yatay 2 kat genişler; tanım kümesi [−6; 8] olur. İçerideki katsayı da ters çalışır.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

y = f(x) grafiği (4, 6) noktasından geçiyor. y = 3f(x), y = f(2x) ve y = ½f(½x) grafikleri hangi noktalardan geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 3f(x): (x, y) → (x, 3y), (4, 18).
  2. f(2x): (x, y) → (x ÷ 2, y), (2, 6).
  3. ½f(½x): (x, y) → (2x, ½y), (8, 3).

(4, 18), (2, 6) ve (8, 3)

Çözümlü örnek

Dersin f fonksiyonunun kökleri −2, 1 ve 3’tür. y = 5f(x) ve y = f(3x) fonksiyonlarının kökleri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 5f(x) = 0 ⇔ f(x) = 0: kökler değişmez, −2, 1 ve 3.
  2. f(3x) = 0 ⇔ 3x ∈ {−2, 1, 3}: kökler −2/3, 1/3 ve 1. Grafik yatay 3 kat daraldı.

−2, 1, 3 ve −2/3, 1/3, 1

Çözümlü örnek

Dersin f fonksiyonu için y = f(2x) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 2x, f’nin tanım kümesi [−3; 4] içinde olmalı: −3 ≤ 2x ≤ 4.
  2. −1,5 ≤ x ≤ 2: tanım kümesi [−1,5; 2].

[−1,5; 2]

Deney

Dönüşüm makinesi

Temel grafiği seç, a, b, h ve k’yi oynat. Hangi kaydırıcı grafiği yatay, hangisi dikey değiştiriyor? a ya da b negatif olunca ne oluyor?

y = f(x)

−8−7−6−5−4−3−2−112345678−6−5−4−3−2123456xy
Nokta kuralı
—
Yatay (b, h)
—
Dikey (a, k)
—
Tanım kümesi
—
Görüntü kümesi
—

Kesikli çizgi temel grafik, mavi çizgi dönüşmüş grafik. Kutudan taşan kısımlar kesilir. Önce yalnız bir kaydırıcıyı oynat, sonra birleştir.

4 · Birleşik dönüşüm

Sırayla uygula

Sınavlarda dönüşümler çoğu zaman bir arada gelir. Bütün hepsini tek bir kalıpta toplarız: y = a · f(b(x − h)) + k. İçeridekiler x’e, dışarıdakiler y’ye dokunur.

−4−3−2−1123456−3−212345 ABCD
  1. Hedef: y = −f(2x − 4) + 2 grafiğini f’den adım adım elde etmek. Önce içeriyi düzenleyelim: 2x − 4 = 2(x − 2).
  2. İçteki çarpan: y = f(2x). Grafik yatay 2 kat daralır: (x, y) → (x ÷ 2, y).
  3. İçteki öteleme: y = f(2(x − 2)) = f(2x − 4). Grafik 2 birim sağa kayar, 4 değil! Kayma miktarı parantezdeki x’in yanındaki sayıdır.
  4. Dıştaki eksi: y = −f(2x − 4). Grafik x eksenine göre yansır.
  5. Dıştaki ekleme: y = −f(2x − 4) + 2. Grafik 2 birim yukarı çıkar. Hepsi tek kuralda: (x, y) → (x ÷ 2 + 2, −y + 2). Örneğin A(−3, −2) → (0,5; 4).

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

y = f(x) grafiği (6, 4) noktasından geçiyor. y = 2f(3x − 6) + 1 grafiği hangi noktadan geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İçeride 3x − 6 = 6 olmalı: x = 4.
  2. Dışarıda: 2 · f(6) + 1 = 2 · 4 + 1 = 9. Nokta (4, 9).

(4, 9)

Çözümlü örnek

Dersin f fonksiyonu için y = −f(2x − 4) + 2 fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. −3 ≤ 2x − 4 ≤ 4 → 1 ≤ 2x ≤ 8 → 0,5 ≤ x ≤ 4: tanım kümesi [0,5; 4].
  2. f(…) ∈ [−2; 2] → −f(…) ∈ [−2; 2] → +2 ile [0; 4].

[0,5; 4] ve [0; 4]

Çözümlü örnek

y = f(x) grafiği önce 3 birim sola ötelenip sonra x eksenine göre yansıtılıyor, en son 1 birim yukarı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir? Yukarı öteleme yansımadan önce yapılsaydı ne olurdu?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 3 sola: f(x + 3). Yansıma: −f(x + 3). 1 yukarı: y = −f(x + 3) + 1.
  2. Önce yukarı: f(x + 3) + 1. Sonra yansıma bütün ifadeyi çevirir: −(f(x + 3) + 1) = −f(x + 3) − 1. Sıra değişince grafik değişti.

−f(x + 3) + 1 ve −f(x + 3) − 1

Deney

Hedefi yakala

Turuncu grafik f’nin bir dönüşümü. Hamle düğmeleriyle mavi grafiği onun üstüne getir. Her hamle o anki grafiğe uygulanır: sıra değişince formül nasıl değişiyor?

Hedef 1 / 7

−8−7−6−5−4−3−2−112345678−6−5−4−3−2123456xy

y = f(x)

Hamle yok. Turuncu köşelere bak: A, B, C ve D nereye gitmiş?

5 · Uzayda bir dönüşüm

Mars’ta aynı atış

Mars’ta çekim Dünya’dakinin yaklaşık üçte biri kadar. Aynı hızla atılan bir taşın yükseklik–zaman grafiği Mars’ta nasıl olur? Yeni bir formül çözmeye gerek yok: Dünya’daki grafiği iki yönde genişletmek yeter.

123456789101112102030405060t (s)y (m)
  1. Dünya’da bir taşı 20 m/s hızla dik yukarı atalım (hava direnci yok sayılır). Yüksekliği d(t) = 20t − 4,905t² metre: ≈ 2,04 s’de ≈ 20,4 m’ye çıkar, ≈ 4,08 s’de yere döner.
  2. Mars’ta çekim ivmesi 3,72 m/s², Dünya’dakinin (9,81 m/s²) r = 9,81 ÷ 3,72 ≈ 2,64’te biri. Önce zamanı r kat uzatalım: y = d(t ÷ r). Ağır çekim bir video gibi: aynı yükseklik, 2,64 kat uzun süre.
  3. Sonra yüksekliği r kat genişletelim: y = r · d(t ÷ r). Grafik hem yatay hem dikey 2,64 kat büyüdü.
  4. Mars’taki atışın formülü m(t) = 20t − 1,86t² ile çizilen turuncu kesikli eğri tam üstüne oturuyor: m(t) = r · d(t ÷ r). Taş ≈ 54 m’ye çıkar ve ≈ 10,8 s havada kalır.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

Dünya’da 20 m/s hızla dik yukarı atılan taş ≈ 2,04 s’de ≈ 20,4 m’ye çıkıp ≈ 4,08 s’de yere dönüyor. Aynı atış Mars’ta yapılırsa (r ≈ 2,64) taş kaçıncı saniyede, kaç metreye çıkar ve kaç saniye havada kalır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Grafik yatay ve dikey r kat genişler: (t, y) → (r · t, r · y).
  2. Tepe: 2,04 · 2,64 ≈ 5,4 s ve 20,4 · 2,64 ≈ 54 m.
  3. Havada kalma: 4,08 · 2,64 ≈ 10,8 s.

≈ 5,4 s’de ≈ 54 m; ≈ 10,8 s havada

Çözümlü örnek

Ay’da çekim ivmesi 1,62 m/s². Aynı atışta taş Ay’da yaklaşık kaç metreye çıkar ve kaç saniye havada kalır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. r = 9,81 ÷ 1,62 ≈ 6,06.
  2. Yükseklik: 20,4 · 6,06 ≈ 124 m. Süre: 4,08 · 6,06 ≈ 24,7 s.

≈ 124 m ve ≈ 24,7 s

Kısa tarih

Eğriden gösterime

Descartes · 1637

La Géométrie’de cebirle geometriyi birleştirdi: bir denklem artık düzlemde bir eğri olarak çizilebiliyordu.

Galileo · 1638

İki Yeni Bilim kitabında, atılan bir cismin yolunun bir parabol olduğunu gösterdi.

Euler · 1734

f(x) gösterimini kullandığı ilk yazılarından birinde f(x ÷ a + c) yazdı: içi ölçeklenmiş ve kaydırılmış bir fonksiyon, yani bir dönüşüm.

Apollo 15 · 1971

Astronot David Scott Ay’da bir çekiç ile bir tüyü aynı anda bıraktı. Hava olmadığı için ikisi birlikte, Dünya’dakinden yavaş düştü.

Koordinat sistemi nasıl doğdu? · Galileo ve parabol

Özet

Tek bakışta

f(x) + kk > 0 ise k birim yukarı, k < 0 ise aşağı öteleme.
f(x − h)h > 0 ise h birim sağa, h < 0 ise sola. İçerideki işaret ters çalışır.
−f(x)x eksenine göre simetri: (x, y) → (x, −y).
f(−x)y eksenine göre simetri: (x, y) → (−x, y).
−f(−x)Orijine göre simetri: (x, y) → (−x, −y), yani 180° dönme.
çift fonksiyonf(−x) = f(x): grafik y eksenine göre simetrik.
tek fonksiyonf(−x) = −f(x): grafik orijine göre simetrik.
a · f(x)Dikey a kat genişleme (a > 1); kökler yerinde kalır.
f(bx)Yatay b kat daralma (b > 1); y eksenindeki nokta yerinde kalır.
nokta kuralıy = a · f(b(x − h)) + k: (x, y) → (x ÷ b + h, a · y + k).
f(2x − 4)Önce parantez: f(2(x − 2)). Öteleme 4 değil, 2 birim.
Mars’ta atışm(t) = r · d(t ÷ r), r ≈ 2,64: hem 2,64 kat yüksek hem 2,64 kat uzun.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. y = f(x) grafiği 3 birim sola ve 2 birim yukarı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?
2. y = f(x) grafiği (4, −1) noktasından geçiyor. y = f(x − 2) + 5 grafiği hangi noktadan geçer?
3. y = f(−x) grafiği, y = f(x) grafiğinden nasıl elde edilir?
4. Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiyondur?
5. f tek bir fonksiyon ve f(2) = 6 ise f(−2) kaçtır?
6. f’nin tanım kümesi [−4; 6] ise y = f(2x) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
7. f’nin görüntü kümesi [−1; 3] ise y = −2f(x) + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
8. y = (x + 1)² − 4 grafiği, y = x² grafiğinden nasıl elde edilir?
9. y = f(x) grafiği (6, 2) noktasından geçiyor. y = 3f(2x − 4) grafiği hangi noktadan geçer?
10. Dünya’da zıplayan bir astronot 0,5 s havada kalıyor. Aynı zıplamayla Mars’ta yaklaşık kaç saniye havada kalır? (Dünya’daki çekim ivmesi Mars’takinin ≈ 2,64 katı; hava direnci yok sayılır.)

Bu konuda neler öğrendin?

  • Öteleme, simetri ve katsayı değişimiyle bir grafikten yeni fonksiyon grafikleri elde etme.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Fonksiyonların Dönüşümleri: sık sorulanlar

Fonksiyonların Dönüşümleri kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Fonksiyonlarda Uygulamalar” ünitesinde, “Fonksiyonların Dönüşümleri” adıyla yer alır.

Fonksiyonların Dönüşümleri TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları