Ana içeriğe atla

AYT · Fonksiyonlarda Uygulamalar

Parabol Konu Anlatımı: İkinci Dereceden Fonksiyonlar

Havaya atılan topun yolu, bir çanak antenin kesiti, en büyük bahçe: hepsi bir parabol. Tepesini, eksenini ve kesişimlerini okumayı öğrenelim.

  • x = −b ÷ 2asimetri ekseni
  • T(r, f(r))tepe noktası
  • a(x − r)² + ktepe biçimi
  • Δ = 0doğru teğet

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde katsayıları, doğruyu ve atış hızını değiştir, grafiğin nasıl değiştiğini gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Parabol nedir?

İkinci dereceden fonksiyonun grafiği paraboldür: f(x) = ax² + bx + c. a pozitifse kollar yukarı, negatifse aşağı açılır. Tepe noktasının apsisi −b ÷ 2a’dır ve parabol bu noktadan geçen dikey doğruya göre simetriktir. Parabolün x eksenini kestiği noktalar f(x) = 0 denkleminin kökleridir; y eksenini (0, c) noktasında keser.

MEB konusu
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

Sınavda bu konu: 2018–2026

AYT · “Parabol” satırı · toplam 7 soru, yılda ortalama 0,7†

AYT Parabol: yıllara göre soru sayısı
201820192020202120222023202420252026*
11†10†101

Geçici veri: eğitim sitelerinin yayımladığı konu dağılımı tablolarından derlendi; ÖSYM resmî dağılım yayımlamaz. * 2026 ön değerlendirme. † 2020 ve 2023 sınavlarında 12. sınıf ikinci dönem konuları sorulmadı; ortalamaya katılmadı. Bütün konular: AYT soru dağılımı.

1 · Parabol

Parabolün aynası

Önceki derste ax² + bx + c = 0 denklemini çözdük. Şimdi aynı ifadeyi bir fonksiyon olarak ele alıyoruz: her x’e bir y = ax² + bx + c değeri karşılık geliyor. Grafiği, her zaman aynı aileden bir eğridir.

xf(x)
03
10
2−1
30
43
−2−1123456−2−1123456xy x = 2 T(2, −1) (0, 3)
  1. f(x) = x² − 4x + 3 bir ikinci dereceden fonksiyon. Birkaç x için değerini hesaplayıp noktaları işaretleyelim ve birleştirelim: grafiği parabol denen bir eğri.
  2. Tabloya dikkat: aynı değer iki kez çıkıyor. f(0) = f(4) = 3 ve f(1) = f(3) = 0. Eşit değerli noktaları birleştiren parçaların orta noktası hep x = 2’de.
  3. Grafiği x = 2 doğrusu boyunca katlayalım: sol yarı sağ yarının tam üstüne oturuyor. x = 2 doğrusu parabolün simetri eksenidir.
  4. Simetri ekseni parabolü tepe noktasında keser: T(2, −1). Kollar yukarı açıldığı için bu, grafiğin en alçak noktası: f’nin en küçük değeri −1.
  5. Eksenlerle kesişim: x = 0 için y = 3, yani parabol y eksenini (0, c) = (0, 3) noktasında keser. f(x) = 0’ın kökleri 1 ve 3: x eksenini (1, 0) ve (3, 0) noktalarında keser. Simetri yüzünden tepenin apsisi köklerin tam ortası: (1 + 3) ÷ 2 = 2.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = x² − 6x + 8 parabolünün eksenleri kestiği noktaları ve tepe noktasını bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. y ekseni: f(0) = 8, yani (0, 8).
  2. x ekseni: x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) = 0 → (2, 0) ve (4, 0).
  3. Tepenin apsisi köklerin ortası: r = (2 + 4) ÷ 2 = 3; k = f(3) = 9 − 18 + 8 = −1. T(3, −1).

(0, 8); (2, 0) ve (4, 0); T(3, −1)

Çözümlü örnek

f(x) = ax² + bx + c için f(−1) = f(7) ise parabolün simetri ekseni nedir? f(0) hangi değere eşittir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Eşit değerli iki x, eksenden eşit uzaklıktadır: eksen ikisinin ortasından geçer.
  2. r = (−1 + 7) ÷ 2 = 3: simetri ekseni x = 3.
  3. 0, eksenin 3 birim solunda; 3 birim sağındaki 6’da da aynı değer var: f(0) = f(6).

x = 3 ve f(0) = f(6)

Çözümlü örnek

x eksenini −1 ve 3’te, y eksenini (0, −6) noktasında kesen parabolün denklemini yazın.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kökleri −1 ve 3 olan parabol: y = a(x + 1)(x − 3).
  2. (0, −6) noktasını yerine koyalım: −6 = a · 1 · (−3) → a = 2.
  3. y = 2(x + 1)(x − 3) = 2x² − 4x − 6.

y = 2x² − 4x − 6

2 · Tepe noktası

Kareye tamamla, tepeyi bul

Tepe noktası doğrudan katsayılardan bulunabilir. Araç tanıdık: kareye tamamlama.

y = 2x² − 8x + 5

y = 2(x² − 4x) + 5

y = 2(x² − 4x + 4) − 8 + 5

y = 2(x − 2)² − 3

(x − 2)² ≥ 0  ⇒  y ≥ −3

r = −b ÷ 2a = 8 ÷ 4 = 2
k = f(2) = −3

−3−2−112345−4−224681012xy T(2, −3)
  1. y = 2x² − 8x + 5’in tepe noktasını tablo yapmadan bulalım. İlk iki terimde 2’yi paranteze alalım: y = 2(x² − 4x) + 5.
  2. Parantezin içini kareye tamamlayalım: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Parantezin içine 4 eklemek y’ye 2 · 4 = 8 eklemek demek; dengelemek için 8 çıkarırız: y = 2(x − 2)² − 3.
  3. (x − 2)² bir kare: hiçbir zaman negatif olmaz, en küçük değeri x = 2’de 0’dır. Öyleyse y’nin en küçük değeri −3: tepe noktası T(2, −3), simetri ekseni x = 2.
  4. Grafikte: y = 2x² parabolünü 2 birim sağa, 3 birim aşağı kaydırınca tam bu parabol çıkıyor. a aynı kaldığı için açıklık da aynı; yalnız tepe (0, 0)’dan (2, −3)’e taşındı.
  5. Aynı işlem ax² + bx + c’ye yapılırsa y = a(x − r)² + k biçimi çıkar: r = −b ÷ 2a ve k = f(r). Burada r = 8 ÷ 4 = 2 ve k = f(2) = 8 − 16 + 5 = −3.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = −x² + 4x + 1 fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. a = −1 < 0: kollar aşağı, tepe en yüksek nokta.
  2. r = −4 ÷ (2 · (−1)) = 2.
  3. f(2) = −4 + 8 + 1 = 5.

5

Çözümlü örnek

Tepe noktası T(1, 4) olan ve (0, 3) noktasından geçen parabolün denklemini yazın.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Tepe biçimi: y = a(x − 1)² + 4.
  2. (0, 3) noktası: 3 = a · 1 + 4 → a = −1.
  3. y = −(x − 1)² + 4 = −x² + 2x + 3.

y = −x² + 2x + 3

Çözümlü örnek

f(x) = x² − 6x + 5 fonksiyonunun [0, 4] aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Tepe: r = 6 ÷ 2 = 3, aralığın içinde; f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.
  2. Uçlar: f(0) = 5 ve f(4) = 16 − 24 + 5 = −3.
  3. En küçük değer −4 (x = 3), en büyük değer 5 (x = 0).

En küçük −4; en büyük 5

Deney

a, b ve c ne yapıyor?

Katsayıları tek tek değiştir. Hangisi kolları çeviriyor, hangisi tepeyi kaydırıyor, hangisi yalnız y eksenindeki noktayı taşıyor?

y = x² − 2x − 3

Tepe noktası
—
Simetri ekseni
—
Kollar
—
Eksenleri kestiği yerler
—
İşaretler
—

Çözümlü örnek

y = ax² + bx + c parabolünün kolları aşağı açılıyor, tepe noktası y ekseninin sağında; parabol y eksenini pozitif tarafta, x eksenini iki noktada kesiyor. a, b, c ve Δ’nın işaretleri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kollar aşağı: a < 0. y eksenini pozitif tarafta kesiyor: c > 0.
  2. Tepe sağda: r = −b ÷ 2a > 0. a negatif olduğundan 2a negatif; bölümün pozitif olması için −b de negatif olmalı: b > 0.
  3. x eksenini iki noktada kesiyor: Δ > 0.

a < 0; b > 0; c > 0; Δ > 0

3 · Doğru ve parabol

Kaç ortak nokta?

Bir doğru bir parabolü en çok iki noktada kesebilir. Kaç noktada kestiğini çizmeden, diskriminantla bulacağız.

−4−3−2−11234−4−224681012xy
  1. y = x² parabolü ile y = 2x + 3 doğrusu. Ortak bir noktada ikisinin y’si aynıdır: x² = 2x + 3. Ortak noktaları bulmak bu denklemi çözmek demek.
  2. Her şeyi bir tarafa toplayalım: x² − 2x − 3 = 0. Δ = 4 + 12 = 16 > 0, kökler x = −1 ve x = 3. Doğru parabolü iki noktada keser: (−1, 1) ve (3, 9).
  3. Doğruyu aşağı kaydıralım: y = 2x − 1. x² − 2x + 1 = 0, yani (x − 1)² = 0. Δ = 0, çift kök x = 1. Doğru parabole yalnız (1, 1)’de değiyor: doğru parabole teğet.
  4. Biraz daha aşağı: y = 2x − 3. x² − 2x + 3 = 0’da Δ = 4 − 12 = −8 < 0: gerçek kök yok. Doğru ile parabolün ortak noktası yok.
  5. Genel yol: parabolü ve doğruyu eşitle, bir tarafta topla, çıkan ikinci dereceden denklemin Δ’sına bak. Δ > 0 iki ortak nokta, Δ = 0 teğet, Δ < 0 ortak nokta yok.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

y = x² − 3x + 2 parabolü ile y = x − 1 doğrusunun ortak noktalarını bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² − 3x + 2 = x − 1 → x² − 4x + 3 = 0.
  2. (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 ya da x = 3.
  3. y = x − 1’den: (1, 0) ve (3, 2).

(1, 0) ve (3, 2)

Çözümlü örnek

y = x² + 1 parabolüne y = 2x + n doğrusu teğet ise n kaçtır? Değme noktası nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² + 1 = 2x + n → x² − 2x + (1 − n) = 0.
  2. Teğet için Δ = 0: 4 − 4(1 − n) = 4n = 0 → n = 0.
  3. x² − 2x + 1 = 0 → x = 1 ve y = 2 · 1 = 2: değme noktası (1, 2).

n = 0; (1, 2)

Deney

Doğruyu kaydır, çevir

Bir parabol seç; doğrunun eğimini ve y eksenini kestiği yeri değiştir. İki ortak nokta ne zaman birleşip teğet noktası oluyor?

y = 2x + 3

Ortak nokta denklemi
—
Diskriminant
—
Durum
—

4 · Modelleme

40 metre çitle en büyük bahçe

Gerçek bir durumu ikinci dereceden bir fonksiyonla yazabilirsek “en çok” ve “en az” soruları tepe noktasını bulmaya dönüşür.

4 m 32 m duvar

A = 4 · 32 = 128 m²

2468101214161820224080120160200240x (m)A (m²) T(10, 200)
  1. Bir duvarın önüne 40 m çitle dikdörtgen bir bahçe yapacağız; duvar tarafına çit gerekmiyor. Duvara dik kenar x ise duvara paralel kenar 40 − 2x. x = 4 için alan 4 · 32 = 128 m².
  2. x = 10 alalım: 10 · 20 = 200 m². Alan büyüdü.
  3. x = 16: 16 · 8 = 128 m², x = 4’teki alanın aynısı! Alan önce artıp sonra azalıyor; 4 ile 16, aynı değeri veren iki x.
  4. Alanı x’in fonksiyonu olarak yazalım: A(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x, 0 < x < 20. Grafiği kolları aşağı bir parabol. x’i 2’den 18’e taradığımızda nokta parabolün üzerinde gidiyor.
  5. En büyük alan tepe noktasında: r = −40 ÷ (2 · (−2)) = 10 ve A(10) = 200 m². Bahçe 10 m × 20 m olmalı. (4 ile 16’nın ortası da 10.)

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Toplamları 20 olan iki gerçek sayının çarpımı en çok kaç olabilir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Sayılar x ve 20 − x: çarpım P(x) = x(20 − x) = −x² + 20x.
  2. a = −1 < 0; tepe r = −20 ÷ (2 · (−1)) = 10.
  3. P(10) = 10 · 10 = 100: sayılar 10 ve 10.

100

Çözümlü örnek

Bir fırında tanesi 10 TL’den günde 80 simit satılıyor. Fiyatın her 1 TL artışında günlük satış 4 simit azalıyor (örnek veriler). Günlük gelirin en büyük olması için fiyat kaç TL olmalı, gelir kaç TL olur?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Fiyat x TL artarsa fiyat 10 + x, satış 80 − 4x olur. Gelir G(x) = (10 + x)(80 − 4x) = −4x² + 40x + 800.
  2. Tepe: r = −40 ÷ (2 · (−4)) = 5. Fiyat 10 + 5 = 15 TL.
  3. G(5) = 15 · 60 = 900 TL (artıştan önce 800 TL).

Fiyat 15 TL; gelir 900 TL

Çözümlü örnek

Parabol biçimli bir kemerin yerdeki açıklığı 40 m, en yüksek noktası 10 m’dir. Kemerin ortasından 10 m uzaktaki yüksekliği kaç m’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Orijini kemerin ortasına, yere koyalım: tepe (0, 10), kökler −20 ve 20. Kemer: y = ax² + 10.
  2. (20, 0) noktası: 0 = 400a + 10 → a = −1/40.
  3. x = 10: y = −100 ÷ 40 + 10 = −2,5 + 10 = 7,5 m.

7,5 m

5 · Uzayda parabol

Ay’da bir top atışı

1971’de Apollo 14 astronotu Alan Shepard, Ay’da bir örnek toplama aletinin sapına taktığı golf sopası başlığıyla iki golf topuna vurdu. Ay’da hava yok ve çekim Dünya’dakinin yaklaşık altıda biri: atılan bir cisim çok daha uzun bir yol çizer.

Hava direnci yok sayılırsa yerden 45° açıyla v hızıyla atılan bir topun yolu y = x − (g ÷ v²)x² parabolüdür (x yatay uzaklık, y yükseklik, metre; g çekim ivmesi). Bu formül fizikten gelir; biz parabolün özelliklerini kullanacağız: kökler atış ve düşme noktası, tepe en yüksek nokta.

y = x − 0,0245x²

Katsayılar
—
Tepe noktası
—
Kökler
—
Aynı atış
—

Çözümlü örnek

Ay’da (g ≈ 1,62 m/s²) 45° açıyla 20 m/s hızla atılan topun yörüngesi y = x − 0,00405x²’dir. Top en çok kaç metre yükselir, kaç metre ötede yere düşer?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. a = −1,62 ÷ 400 = −0,00405 ve b = 1.
  2. Tepe: r = −1 ÷ (2 · (−0,00405)) ≈ 123,5 m; k = f(r) ≈ 61,7 m.
  3. Kökler: x(1 − 0,00405x) = 0 → x = 0 ya da x = 1 ÷ 0,00405 ≈ 246,9 m. (Dünya’da aynı atış ≈ 40,8 m ötede yere düşer.)

En çok ≈ 61,7 m; ≈ 246,9 m ötede

odak 4 m 0,5 m

Çözümlü örnek

Kesiti y = ax² parabolü olan bir çanak antenin ağzı 4 m genişliğinde, derinliği 0,5 m’dir (örnek değerler). a kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Dip orijinde; ağzın ucu (2; 0,5) noktasında.
  2. 0,5 = a · 2² → a = 0,5 ÷ 4 = 0,125.
  3. Bu çanağın odağı dipten 1 ÷ 4a = 2 m yukarıda: alıcı oraya konur.

a = 0,125

Kısa tarih

Koniden yörüngeye

Apollonius · M.Ö. 200 civarı

Pergeli matematikçi Konikler’de bir koniyi düzlemlerle keserek elips, parabol ve hiperbolü birlikte inceledi; bu adları eğriler için sistemli olarak ilk o kullandı.

Descartes · 1637

La Géométrie’de eğrileri denklemlerle anlatmanın yolunu açtı. Bir parabolü y = ax² + bx + c diye yazabilmemiz bu fikre dayanır.

Galileo · 1638

İki Yeni Bilim’de, hava direnci yok sayılırsa atılan bir cismin yolunun parabol olduğunu gösterdi.

Apollo 14 · 1971

Alan Shepard Ay’da golf topuna vurdu. Havasız ve çekimi zayıf Ay’da top, Dünya’dakinden çok daha uzun bir parabol çizer.

Apollonius ve konikler · Descartes ve koordinat sistemi · Galileo ve parabol · Matematiksel modelleme

Özet

Tek bakışta

parabolf(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) fonksiyonunun grafiği.
kollara > 0 ise yukarı, a < 0 ise aşağı; |a| büyüdükçe parabol daralır.
tepe noktasıT(r, k): r = −b ÷ 2a, k = f(r).
simetri eksenix = r doğrusu; f(r − t) = f(r + t).
tepe biçimif(x) = a(x − r)² + k; tepe (r, k).
en küçük / en büyüka > 0 ise k en küçük değer, a < 0 ise en büyük değer.
y ekseniParabol y eksenini (0, c) noktasında keser.
x eksenif(x) = 0’ın kökleri; sayısını Δ söyler. Tepenin apsisi kökler ortası.
a(x − x₁)(x − x₂)Kökleri x₁ ve x₂ olan parabol; a bir noktadan bulunur.
doğru ile parabolEşitle, bir tarafta topla: Δ > 0 iki nokta, Δ = 0 teğet, Δ < 0 ortak nokta yok.
kapalı aralıkUç değerler ve (aralıktaysa) tepe değeri karşılaştırılır.
modellemeBüyüklüğü x cinsinden yaz; “en çok / en az” sorusu tepe noktasıdır. 45° atışta y = x − (g ÷ v²)x².

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. y = x² − 8x + 12 parabolünün tepe noktası hangisidir?
2. y = 2x² − 12x + 7 parabolünün simetri ekseni hangisidir?
3. f(x) = −x² + 6x − 5 fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
4. y = 3(x + 1)² − 2 parabolünün tepe noktası hangisidir?
5. y = ax² + bx + c parabolünün kolları yukarı açılıyor, tepe noktası y ekseninin solunda ve parabol y eksenini negatif tarafta kesiyor. Hangisi doğrudur?
6. Tepe noktası (2, 1) olan ve (0, 5) noktasından geçen parabol hangisidir?
7. y = x² parabolü ile y = 4x − 4 doğrusu için hangisi doğrudur?
8. y = x² + 4 parabolü ile y = mx doğrusunun ortak noktası yoksa m hangi aralıktadır?
9. 60 m telle dört kenarı çevrilecek dikdörtgen bir alanın en büyük değeri kaç m²’dir?
10. Ay’da 45° açıyla atılan bir topun yörüngesi y = x − 0,01x²’dir (x, y metre). Top en çok kaç metre yükselir ve kaç metre ötede yere düşer?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Parabolün tepe noktası, eksen kesişimleri, simetri ekseni; doğru ile parabolün durumu.
  • Gerçek durumları y = ax² + bx + c ile modelleyip soruları bu modelle yanıtlamak.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Parabol: sık sorulanlar

Parabol kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Fonksiyonlarda Uygulamalar” ünitesinde, “İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri” adıyla yer alır.

Parabol TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları