Ana içeriğe atla

AYT · Fonksiyonlarda Uygulamalar

Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama ve Değişim Hızı

Bir roketin yükselişi, bir günün sıcaklığı, Mars’ın Güneş’e uzaklığı: grafiğe bakıp neyin ne zaman arttığını, en çok nereye ulaştığını ve ne kadar hızlı değiştiğini okumak.

  • x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)artan fonksiyon
  • [f(b) − f(a)] ÷ (b − a)ortalama değişim hızı
  • 206,7 → 249,3Mars’ın Güneş’e uzaklığı (milyon km)
  • 2.000 cm³30 cm’lik kartondan en büyük kutu

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde noktayı grafik üzerinde yürüt, iki nokta seç, kutuyu büyütüp küçült ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama nedir?

Bir fonksiyonun grafiği, girdi ile çıktı arasındaki ilişkiyi tek bakışta gösterir. x büyüdükçe f(x) de büyüyorsa fonksiyon o aralıkta artan, küçülüyorsa azalandır. [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı (f(b) − f(a)) ÷ (b − a) oranıdır ve grafikte iki noktayı birleştiren doğrunun eğimine eşittir.

MEB konusu
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
Bu derste
4 adım adım sahne, 11 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Artan, azalan, sabit

Grafiği soldan sağa oku

Bir fonksiyonun grafiğine bakınca ilk soru şudur: x büyüdükçe değer ne yapıyor? Artıyor mu, azalıyor mu, yerinde mi sayıyor? Bunu grafiği soldan sağa okuyarak görürüz.

−5−4−3−2−11234567−3−2−112345xy
  1. Grafik, tanım kümesi [−4, 6] olan bir f fonksiyonunu gösteriyor. Turuncu noktayı grafik üzerinde soldan sağa yürütelim ve yüksekliğine bakalım.
  2. x büyürken f(x) de büyüyor: nokta yokuş yukarı çıkıyor. f, (−4, −1) aralığında artan. Bu aralık x ekseninde mavi şeritle gösterildi.
  3. x büyüdüğü hâlde f(x) hep 4: nokta yatay yürüyor. f, (−1, 2) aralığında sabit.
  4. x büyürken f(x) küçülüyor: nokta yokuş aşağı iniyor. f, (2, 5) aralığında azalan.
  5. Son parçada yeniden artan. Özet: f, (−4, −1) ve (5, 6) aralıklarında artan; (−1, 2) aralığında sabit; (2, 5) aralığında azalan. Aralıklar hep x ekseninden okunur.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Bir bahar günü ölçülen sıcaklıklar: saat 06.00’da 8 °C, 09.00’da 12 °C, 12.00’de 17 °C, 15.00’te 19 °C, 18.00’de 15 °C ve 21.00’de 11 °C. Ölçümler arasında sıcaklığın düzgün değiştiğini kabul edelim. Sıcaklık hangi saatler arasında artan, hangi saatler arasında azalandır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Tabloyu soldan sağa oku: 8, 12, 17, 19 değerleri büyüyor; sonra 15 ve 11 küçülüyor.
  2. Sıcaklık saat 6 ile 15 arasında artan: (6, 15).
  3. Saat 15 ile 21 arasında azalan: (15, 21). En yüksek ölçüm saat 15.00’te, 19 °C.

(6, 15) aralığında artan ve (15, 21) aralığında azalan

Çözümlü örnek

f(x) = −2x + 5 fonksiyonunun her yerde azalan olduğunu tanımla gösterin.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x₁ < x₂ olsun. Eşitsizliği −2 ile çarpınca yön değişir: −2x₁ > −2x₂.
  2. İki yana 5 ekleyelim: −2x₁ + 5 > −2x₂ + 5, yani f(x₁) > f(x₂).
  3. Küçük x’e büyük değer düşüyor: f her yerde azalan. Örneğin f(1) = 3 ve f(4) = −3.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂): azalan

2 · En büyük ve en küçük değer

Yatay doğruyla ara

Bir fonksiyonun alabildiği en büyük ve en küçük değer, grafiğin en yüksek ve en alçak noktasındadır. Ama en yüksek nokta her zaman ilk göze çarpan tepe değildir.

−4−3−2−1123456−3−2−1123456xy en büyük: 5 en küçük: −2 g(3) = 4 < 5
  1. g fonksiyonu [−3, 5] aralığında tanımlı; iki ucu da dahil. Grafiğin en yüksek ve en alçak noktası nerede? Yukarıdan ve aşağıdan birer yatay doğru getirelim.
  2. Üstteki doğruyu indirelim: grafiğe ilk değdiği yer (−1, 5). g’nin en büyük değeri (maksimumu) 5; x = −1’de alınır.
  3. Alttaki doğruyu kaldıralım: ilk değdiği yer (5, −2), grafiğin sağ ucu. En küçük değer (minimum) −2; x = 5’te alınır.
  4. x = 3’teki tepe çevresindeki noktalardan yüksek, ama en büyük değer değil: g(3) = 4 < 5. En büyük değeri bulmak için bütün tepeleri ve iki ucu karşılaştırmak gerekir.
  5. g, −2 ile 5 arasındaki her değeri alıyor: görüntü kümesi [−2, 5]. Kesintisiz çizilen bir grafikte görüntü kümesi, en küçük değerle en büyük değer arasındaki aralıktır.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Sahnedeki g fonksiyonu için g(x) = 3 ve g(x) = 6 denklemlerinin kaçar çözümü vardır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çözümler, y = 3 doğrusunun grafiği kestiği noktaların x değerleridir.
  2. y = 3 doğrusu grafiği dört kez keser: ilk çıkışta, inişte, ikinci çıkışta ve son inişte. g(x) = 3 denkleminin 4 çözümü var.
  3. En büyük değer 5; 6 > 5 olduğu için y = 6 doğrusu grafiğe hiç değmez: g(x) = 6 denkleminin çözümü yok.

4 ve 0

Çözümlü örnek

f(x) = 2x − 1 fonksiyonunun [−1, 3] aralığındaki en büyük ve en küçük değeri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Eğim 2 > 0: f artan. x büyüdükçe değer büyür.
  2. En küçük değer sol uçta: f(−1) = −3. En büyük değer sağ uçta: f(3) = 5.
  3. Görüntü kümesi [−3, 5].

En büyük 5, en küçük −3

Deney

Noktayı yürüt

Bir grafik seç, noktayı baştan sona yürüt. Hangi parçalar mavi, hangileri turuncu oluyor? Bütün grafiği gezmeden “en büyük değer bu” diyebilir misin?

f(x)
—
Bu noktada
—
En büyük (görülen)
—
En küçük (görülen)
—

3 · Ortalama değişim hızı

İki noktayı birleştir

Bir büyüklüğün ne kadar hızlı değiştiğini ölçmek için iki anı karşılaştırırız: değer ne kadar değişti, bu değişim ne kadar sürede oldu? İkisinin oranı ortalama değişim hızıdır.

12345620406080100t (s)h (m) Δt = 2 Δh = 32 Δt = 2 Δh = 64 A B
t (s)012345
h (m)04163664100
  1. Basitleştirilmiş bir model roket, kalkıştan sonraki ilk 5 saniyede h(t) = 4t² metre yükseliyor. Tablodan ve grafikten okunuyor: eğri gittikçe dikleşiyor, roket hızlanıyor.
  2. Birinci ve üçüncü saniye arasına bakalım: A(1, 4) ve B(3, 36). Geçen süre Δt = 3 − 1 = 2 s; yükseklikteki değişim Δh = 36 − 4 = 32 m.
  3. Ortalama değişim hızı = Δh ÷ Δt = 32 ÷ 2 = 16 m/s. Grafikte A ile B’yi birleştiren doğrunun eğimidir.
  4. Üçüncü ve beşinci saniye arası: (100 − 36) ÷ (5 − 3) = 64 ÷ 2 = 32 m/s. Süre aynı, ortalama hız iki katı: grafik dikleştikçe ortalama değişim hızı büyür.
  5. Bütün uçuş için: (100 − 0) ÷ (5 − 0) = 20 m/s. Roket 5 saniye boyunca sabit 20 m/s hızla gitseydi yine 100 m’ye çıkardı.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = x² + 1 fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f(1) = 2 ve f(4) = 17.
  2. [f(4) − f(1)] ÷ (4 − 1) = 15 ÷ 3 = 5.

5

Çözümlü örnek

Saat 06.00’da 8 °C olan hava 14.00’te 20 °C’ye çıkıyor, 22.00’de 12 °C’ye iniyor. İki zaman aralığındaki ortalama değişim hızları nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 06.00–14.00: (20 − 8) ÷ (14 − 6) = 12 ÷ 8 = 1,5 °C/saat.
  2. 14.00–22.00: (12 − 20) ÷ (22 − 14) = (−8) ÷ 8 = −1 °C/saat.
  3. Eksi işareti düşüşü gösterir: akşam hava ortalamada saatte 1 °C soğumuş.

1,5 °C/saat ve −1 °C/saat

Çözümlü örnek

Doğrusal bir f fonksiyonunun grafiği (2, 7) ve (6, 19) noktalarından geçiyor. Ortalama değişim hızı nedir? f(10) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Doğrusal fonksiyonda her aralıkta ortalama değişim hızı aynıdır ve eğime eşittir: (19 − 7) ÷ (6 − 2) = 12 ÷ 4 = 3.
  2. x, 6’dan 10’a 4 artınca değer 3 · 4 = 12 artar: f(10) = 19 + 12 = 31.

3 ve 31

Deney

İki noktayı seç

Bir durum seç, a ve b’yi kaydır. Ortalama değişim hızı ne zaman pozitif, ne zaman negatif, ne zaman sıfır oluyor? Turuncu doğrunun eğimine bak.

(36 − 4) ÷ (3 − 1) = 16 m/s

Δx = b − a
—
Δy = f(b) − f(a)
—
Ortalama değişim hızı
—

4 · Gökyüzünde bir fonksiyon

Mars’ın Güneş’e uzaklığı

Gezegenler Güneş’in çevresinde elips biçimli yörüngelerde dolanır ve Güneş elipsin merkezinde değil, odaklarından birindedir. Bu yüzden bir gezegenin Güneş’e uzaklığı zamanın bir fonksiyonudur: r(t). Çizim gerçek oranlarda; Mars’ın yörüngesi Dünya’nınkinden basık olsa da neredeyse çember gibi görünüyor, yalnız Güneş merkezden biraz kaymış.

Güneş günberi günöte Mars 100200300400500600700200210220230240250260t (gün)r (milyon km) en büyük ≈ 249,3 en küçük ≈ 206,7
  1. Mars Güneş’in çevresinde yaklaşık 687 günde bir tur atar. Yörüngesi elips; Güneş merkezde değil, bir odakta. Mars şimdi Güneş’e en yakın noktada, günberide: r ≈ 206,7 milyon km.
  2. Mars yörüngede ilerledikçe Güneş’ten uzaklaşıyor. Yaklaşık 343,5 gün boyunca r(t) artan: grafik yükseliyor.
  3. En uzak nokta günöte. Sonra Mars yeniden yaklaşıyor: ikinci yarıda r(t) azalan. 687. günde başladığı yere döner; grafik kendini tekrarlar.
  4. En küçük değer günberide ≈ 206,7, en büyük değer günötede ≈ 249,3 milyon km. Fark ≈ 42,6 milyon km: Dünya ile Ay arasındaki uzaklığın yüz katından fazla.
  5. Günberiden günöteye ortalama değişim hızı: (249,3 − 206,7) ÷ 343,5 ≈ 0,124 milyon km/gün. Mars bu yarım turda Güneş’ten günde ortalama yaklaşık 124 bin km uzaklaşır.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Dünya’nın Güneş’e uzaklığı günberide ≈ 147,1, günötede ≈ 152,1 milyon km; ikisi arası yaklaşık 182,6 gün. Günberiden günöteye ortalama değişim hızı nedir? Mars’ınkiyle karşılaştırın.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (152,1 − 147,1) ÷ 182,6 = 5 ÷ 182,6 ≈ 0,027 milyon km/gün, yani günde yaklaşık 27 bin km.
  2. Mars’ta ≈ 0,124 milyon km/gün: Dünya’nınkinin yaklaşık 4,5 katı. Mars’ın yörüngesi daha basık olduğu için uzaklığı daha çok değişir.

≈ 0,027 milyon km/gün; Mars’ınki yaklaşık 4,5 katı

Çözümlü örnek

Mars günöteden günberiye dönerken (yaklaşık 343,5 günde) Güneş’e uzaklığının ortalama değişim hızı nedir? İşareti neden eksi?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (206,7 − 249,3) ÷ 343,5 = (−42,6) ÷ 343,5 ≈ −0,124 milyon km/gün.
  2. Bu yarıda r(t) azalan: son değer ilk değerden küçük, bu yüzden Δr negatif.

≈ −0,124 milyon km/gün

5 · Gerçek hayattan model

En büyük kutu

Gerçek bir durumu fonksiyonla anlatmaya modelleme denir. Kenarı 30 cm olan kare bir kartonun köşelerinden eşit kareler kesip kenarları katlayarak üstü açık bir kutu yapalım. Kesilen karenin kenarı x cm ise kutunun yüksekliği x, tabanı kenarı (30 − 2x) cm olan bir kare olur: V(x) = x · (30 − 2x)². Hangi x en büyük hacmi verir? Kaydırıcıyla dene.

Taban
—
Yükseklik
—
Hacim V(x)
—
Görülen en büyük
—

Çözümlü örnek

V(x) = x · (30 − 2x)² için x = 1, 2, …, 8 değerlerinin tablosunu yapın. En büyük hacim hangi x’te?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. V(1) = 784; V(2) = 1.352; V(3) = 1.728; V(4) = 1.936; V(5) = 2.000; V(6) = 1.944; V(7) = 1.792; V(8) = 1.568 (cm³).
  2. Tablo x = 5’e kadar artıyor, sonra azalıyor: V, (0, 5) aralığında artan, (5, 15) aralığında azalan. Grafik de aynısını gösteriyor.
  3. En büyük hacim x = 5 cm’de: 5 · 20² = 2.000 cm³. Kutunun tabanı 20 cm × 20 cm, yüksekliği 5 cm.

x = 5 cm; 2.000 cm³

Çözümlü örnek

Bir tiyatro 100 TL’lik biletten 120 tane satıyor. Her 10 TL indirimde 20 bilet daha satılacağı tahmin ediliyor. n indirim yapılınca gelir G(n) = (100 − 10n) · (120 + 20n) TL. n = 0, 1, 2, 3, 4 için tablo yapın; gelir en çok hangi fiyatta olur?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. G(0) = 100 · 120 = 12.000; G(1) = 90 · 140 = 12.600; G(2) = 80 · 160 = 12.800; G(3) = 70 · 180 = 12.600; G(4) = 60 · 200 = 12.000.
  2. Gelir n = 2’ye kadar artıyor, sonra azalıyor.
  3. En çok gelir bilet 80 TL olunca: 12.800 TL.

80 TL; 12.800 TL

Kısa tarih

Değişimi ölçmek

Kepler · 1609

Astronomia Nova’da, Tycho Brahe’nin Mars gözlemlerinden yola çıkarak gezegenin yörüngesinin elips olduğunu ve Güneş’e yaklaştıkça hızlandığını gösterdi.

Fermat · 1630’lar

Pierre de Fermat, bir niceliğin en büyük ve en küçük değerini bulmak için bir yöntem geliştirdi. Bugün türevle yapılan hesabın öncülerindendir.

Leibniz · 1684

Kalkülüsü ilk kez yayımladığı makalenin adı “En büyük ve en küçük değerler ile teğetler için yeni bir yöntem” idi. Ortalama değişim hızından anlık değişim hızına geçiş böyle başladı.

Playfair · 1786

William Playfair, zamanla değişen ticaret verilerini çizgi grafikleriyle gösterdi. Bir niceliğin ne zaman artıp ne zaman azaldığını bir bakışta görmek böyle yaygınlaştı.

Kepler yasaları · Newton, Leibniz ve kalkülüs · Matematiksel modelleme nedir?

Özet

Tek bakışta

artanx₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂): grafik soldan sağa yükselir.
azalanx₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂): grafik soldan sağa alçalır.
sabitAralıktaki her x için aynı değer: yatay parça.
aralıklarx ekseninden okunur, y değerleri yazılmaz.
en büyük değerGrafiğin en yüksek noktasının y’si (maksimum).
en küçük değerGrafiğin en alçak noktasının y’si (minimum).
tepe ≠ en büyükBütün tepeleri ve iki ucu karşılaştır.
f(x) = kÇözüm sayısı: y = k doğrusunun grafiği kestiği nokta sayısı.
ortalama değişim hızı[f(b) − f(a)] ÷ (b − a) = Δy ÷ Δx.
kiriş eğimi(a, f(a)) ile (b, f(b)) noktalarını birleştiren doğrunun eğimi.
işaret ve birimPozitif: sonda daha büyük; negatif: daha küçük. Birim: y birimi ÷ x birimi.
modellemeDeğişkeni seç, fonksiyonu yaz, tanım kümesini belirle, tablo ve grafikle incele, yorumla.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. f(x) = −3x + 7 fonksiyonu için hangisi doğrudur?
2. Bir fonksiyonun tablosu: f(1) = 2; f(2) = 5; f(3) = 7; f(4) = 7; f(5) = 3. Grafik bu noktaları doğru parçalarıyla birleştiriyorsa f hangi aralıkta sabittir?
3. f(x) = x² − 2x fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
4. Bir araç yolculuğun 2. saatinde 150. kilometrede, 5. saatinde 375. kilometredeydi. Bu aralıkta ortalama hızı saatte kaç kilometredir?
5. [−2, 6] aralığında tanımlı, grafiği kesintisiz bir f fonksiyonu (−2, 1) aralığında artan, (1, 4) aralığında azalan, (4, 6) aralığında artandır. f(−2) = −1; f(1) = 5; f(4) = 0; f(6) = 3 ise f’nin en küçük değeri kaçtır?
6. Önceki sorudaki f için f(x) = 2 denkleminin kaç çözümü vardır?
7. Kenarı 20 cm olan kare kartonun köşelerinden kenarı x cm olan kareler kesilip üstü açık kutu yapılıyor. V(x) = x · (20 − 2x)² modelinin tanım kümesi nedir?
8. Bir f fonksiyonunun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı negatifse hangisi kesinlikle doğrudur?
9. Mars, günberiden günöteye yaklaşık 343,5 günde Güneş’ten 206,7 milyon km’den 249,3 milyon km’ye uzaklaşır. Ortalama değişim hızı yaklaşık kaçtır (milyon km/gün)?
10. 40 m telle bir kenarı x m olan dikdörtgen bir bahçe çevriliyor; alanı A(x) = x · (20 − x) m². x = 8, 9, 10, 11, 12 için tablo yapılırsa en büyük alan kaç m² olur?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Grafik ve tablodan fonksiyon problemleri; artan-azalan aralıklar, ortalama değişim hızı.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama: sık sorulanlar

Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Fonksiyonlarda Uygulamalar” ünitesinde, “Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar” adıyla yer alır.

Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 11 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları