Ana içeriğe atla

AYT · Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

İkinci Dereceden Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Parabol x ekseninin neresinde? Bir çarpım ne zaman pozitif? Cevaplar tek bir tabloda: işaret tablosu.

  • + 0 − 0 +a > 0, iki kök
  • a > 0 ve Δ < 0her x için pozitif
  • payda ≠ 0o uç hep açık
  • ∩sistemde ortak çözüm

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde katsayıları, eşitsizlik işaretini, deneme noktasını ve atış hızını değiştir; çözümün nasıl değiştiğini gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

İkinci Dereceden Eşitsizlikler nedir?

İkinci dereceden eşitsizliklerde amaç, ifadenin pozitif ya da negatif olduğu x değerlerini bulmaktır. Önce ifadenin kökleri bulunur; kökler sayı doğrusunu aralıklara ayırır ve her aralıkta işaret sabittir. İşaret tablosu bu aralıkları düzenler. Eşitsizlik sistemlerinde çözüm kümesi, eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir.

MEB konusu
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Grafik ve işaret

Parabol eksenin neresinde?

Birinci dereceden eşitsizliklerde çözümün bir aralık olduğunu gördük. ax² + bx + c > 0 gibi eşitsizliklerde de öyle; yalnız bu kez çözüm iki aralığın birleşimi olabilir. İpucu grafikte: f(x) > 0 demek, y = f(x) grafiğinin x ekseninin üstünde olması demektir.

−3−2−112345−6−4−2246xy −13 + + − − − + 00
  1. f(x) = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3). Grafik x eksenini köklerde keser: x = −1 ve x = 3. Bu iki noktada f(x) = 0.
  2. x < −1 ya da x > 3 iken grafik x ekseninin üstünde: y değerleri pozitif, yani f(x) > 0. Alttaki şeride + yazalım.
  3. −1 < x < 3 iken grafik eksenin altında: f(x) < 0. Şerit artık bir işaret tablosu: + 0 − 0 +.
  4. x² − 2x − 3 ≤ 0 isteniyor: işaretin − ya da 0 olduğu yerler. Ç = [−1, 3]. Kökler dahil (≤ eşitliği de kabul ediyor): köşeli parantez. < 0 olsaydı Ç = (−1, 3).
  5. x² − 2x − 3 > 0 isteniyor: + olan iki parça. Ç = (−∞, −1) ∪ (3, ∞). Kökler dahil değil: normal parantez. ∪ “ya da” demektir.
  6. a negatif olursa parabol ters döner: −x² + 2x + 3 için işaretler − 0 + 0 −. Kural: köklerin dışında a’nın işareti, kökler arasında tersi.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

x² − x − 12 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kökler: x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3) = 0 → x = −3 ya da x = 4.
  2. a = 1 > 0: kökler arasında −. < 0 isteniyor; kökler dahil değil.
  3. Ç = (−3, 4).

(−3, 4)

Çözümlü örnek

2x² − 3x − 2 ≥ 0 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kökler: (2x + 1)(x − 2) = 0 → x = −1/2 ya da x = 2.
  2. a = 2 > 0: köklerin dışında +. ≥ olduğu için kökler de dahil.
  3. Ç = (−∞, −1/2] ∪ [2, ∞).

(−∞, −1/2] ∪ [2, ∞)

Çözümlü örnek

x(6 − x) > 5 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Her şeyi bir tarafa topla: 6x − x² − 5 > 0, yani −x² + 6x − 5 > 0.
  2. İki tarafı −1 ile çarp; yön döner: x² − 6x + 5 < 0 → (x − 1)(x − 5) < 0.
  3. Kökler arasında −: Ç = (1, 5). Tam sayılar 2, 3, 4: 3 tane.

3 tam sayı

Deney

Parabolü oku

a, b, c’yi ve eşitsizlik işaretini değiştir. Yeşil boyanan yerler çözüm: parabol eksenin üstündeyken mi, altındayken mi?

x² − 2x − 3 ≤ 0

Diskriminant
—
Kökler
—
Çözüm kümesi
—

2 · Kök yoksa ya da tekse

Parabolü yukarı kaydır

Kökler, işaretin değişebildiği tek yerlerdir. Peki hiç kök yoksa ya da iki kök çakışırsa? y = x² − 4x + c parabolünü c’yi büyüterek yukarı kaydıralım.

−112345−4−2246xy 13 00 +−+ 2 0 ++ +++ −−−
  1. c = 3: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Δ = 16 − 12 = 4 > 0: iki kök, işaret + 0 − 0 +.
  2. c = 4: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Δ = 0: kökler çakıştı, grafik eksene yalnız x = 2’de değiyor. İşaret + 0 +: 2’de değişmiyor. x² − 4x + 4 > 0 ⇔ x ≠ 2, yani Ç = ℝ − {2}.
  3. c = 5: Δ = 16 − 20 = −4 < 0: kök yok, grafik hep eksenin üstünde. Her x için x² − 4x + 5 > 0: Ç = ℝ. Aynı ifade için < 0’ın çözümü ∅.
  4. Parabolü x eksenine göre yansıtalım: −x² + 4x − 5. a < 0 ve Δ < 0: grafik hep eksenin altında, ifade her x için negatif.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

x² + 6x + 9 > 0 ve x² + 6x + 9 ≤ 0 eşitsizliklerini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x² + 6x + 9 = (x + 3)²: Δ = 0, çift kök −3.
  2. > 0: −3 dışında her yerde pozitif. Ç = ℝ − {−3}.
  3. ≤ 0: yalnız 0 olduğu yerde. Ç = {−3}.

ℝ − {−3} ve {−3}

Çözümlü örnek

Her x gerçek sayısı için x² − 2mx + m + 6 > 0 olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. a = 1 > 0. Her x için pozitif olması için Δ < 0 olmalı.
  2. Δ = 4m² − 4(m + 6) < 0 → m² − m − 6 < 0 → (m − 3)(m + 2) < 0.
  3. Kökler arasında −: −2 < m < 3, yani m ∈ (−2, 3).

m ∈ (−2, 3)

3 · Çarpım ve bölüm

Satır satır işaret tablosu

Birden çok çarpanın çarpımı ya da bölümü sıfırla karşılaştırılınca her çarpanın işaretini ayrı bir satırda bulur, sonra sütun sütun çarparız. Eksi çarpanların sayısı çiftse sonuç +, tekse −. Bölmede de işaret kuralı aynıdır.

x−∞−212+∞
x² − 4+0−−0+
x − 1−−0++
çarpım−0+0−0+
çarpım−0+0−0+
bölüm−0+T−0+
−4−3−2−101234 −4−3−2−101234 −4−3−2−101234
  1. (x² − 4)(x − 1) ≥ 0. Önce bütün çarpanların kökleri: x² − 4 = 0 → x = −2 ya da x = 2; x − 1 = 0 → x = 1. Kökleri küçükten büyüğe tablonun üst satırına yazalım.
  2. x² − 4 satırı: a = 1 > 0; köklerin (−2 ve 2) dışında +, arasında −.
  3. x − 1 satırı: 1’in sağında +, solunda −.
  4. Her sütunda işaretleri çarpalım: (+)(−) = −, (−)(−) = +, … Son satır çarpımın işareti: − 0 + 0 − 0 +.
  5. ≥ 0 isteniyor: + olan sütunlar ve 0 olan kökler (yeşil). Ç = [−2, 1] ∪ [2, ∞).
  6. Bölüm olsaydı: (x² − 4) ÷ (x − 1) ≥ 0. İşaretler aynı; ama x = 1’de payda 0, bölüm tanımsız (T). Ç = [−2, 1) ∪ [2, ∞).

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

(x − 3)(x² − 1) ≤ 0 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kökler: x = −1, 1, 3 (hepsi tek katlı).
  2. En sağda 1 · 1 > 0 → +; sola doğru her kökte değişir. Soldan sağa: − 0 + 0 − 0 +.
  3. ≤ 0: − olan aralıklar ve kökler. Ç = (−∞, −1] ∪ [1, 3].

(−∞, −1] ∪ [1, 3]

Çözümlü örnek

(x − 2) ÷ (x² − 2x − 3) ≥ 0 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Payın kökü 2. Payda (x − 3)(x + 1): kökleri −1 ve 3, bunlar çözüme girmez.
  2. En sağ +, her kökte değişir. Soldan sağa: − T + 0 − T +.
  3. Ç = (−1, 2] ∪ (3, ∞).

(−1, 2] ∪ (3, ∞)

Çözümlü örnek

(x − 1)²(x + 2) ≤ 0 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (x − 1)² hiç negatif olmaz: 1 çift katlı kök, işaret orada değişmez.
  2. En sağ +; 1’de değişmez, −2’de değişir. Soldan sağa: − 0 + 0 +.
  3. ≤ 0: − olan aralık ve ifadenin 0 olduğu noktalar. Ç = (−∞, −2] ∪ {1}. x = 1’i unutma: orada ifade 0.

(−∞, −2] ∪ {1}

Deney

Deneme noktası

Bir ifade seç, deneme noktasını sayı doğrusunda gezdir. İşaret nerede değişiyor, nerede değişmiyor?

(x² − 4)(x − 1) ≥ 0

4 · Eşitsizlik sistemleri

İkisi birden sağlansın

Birden çok eşitsizlik aynı anda istenirse buna eşitsizlik sistemi denir. Her birini ayrı çözer, çözüm kümelerinin kesişimini alırız: ortak çözüm, bütün eşitsizlikleri birden sağlayan sayılardır.

−5−4−3−2−1012345 x² − 5x + 4 ≤ 0 → [1, 4] −5−4−3−2−1012345 x² − 9 > 0 → (−∞, −3) ∪ (3, ∞) −5−4−3−2−1012345 ortak çözüm → (3, 4] −5−4−3−2−1012345 x² > 4 → (−∞, −2) ∪ (2, ∞) −5−4−3−2−1012345 x² ≤ 9 → [−3, 3] −5−4−3−2−1012345 ortak çözüm → [−3, −2) ∪ (2, 3]
  1. Sistem: x² − 5x + 4 ≤ 0 ve x² − 9 > 0. Birincisi: (x − 1)(x − 4) ≤ 0 → [1, 4] (mavi).
  2. İkincisi: (x − 3)(x + 3) > 0 → (−∞, −3) ∪ (3, ∞) (turuncu).
  3. Kritik noktalardan kesikli çizgiler indirelim. İki boyanın üst üste geldiği yer ortak çözüm: (3, 4] (yeşil).
  4. Uçları tek tek dene: x = 3 birincisini sağlar ama ikincisini sağlamaz (9 − 9 = 0 ve 0 > 0 değil): açık. x = 4 ikisini de sağlar (16 − 20 + 4 = 0 ≤ 0 ve 16 − 9 > 0): kapalı.
  5. Çift eşitsizlik de bir sistemdir: 3 < x² − 1 ≤ 8 demek x² − 1 > 3 ve x² − 1 ≤ 8, yani x² > 4 ve x² ≤ 9.
  6. Ortak çözüm iki parçalı: Ç = [−3, −2) ∪ (2, 3].

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

x² − 4x − 5 < 0 ve x² − 3x ≥ 0 sistemini sağlayan tam sayıları bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (x + 1)(x − 5) < 0 → (−1, 5).
  2. x(x − 3) ≥ 0 → (−∞, 0] ∪ [3, ∞).
  3. Kesişim: (−1, 0] ∪ [3, 5). Tam sayılar 0, 3, 4: 3 tane.

0, 3 ve 4

Çözümlü örnek

−3 ≤ x² − 4x ≤ 5 eşitsizliğini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Ayır: x² − 4x ≥ −3 ve x² − 4x ≤ 5.
  2. x² − 4x + 3 ≥ 0 → (x − 1)(x − 3) ≥ 0 → (−∞, 1] ∪ [3, ∞). x² − 4x − 5 ≤ 0 → (x − 5)(x + 1) ≤ 0 → [−1, 5].
  3. Kesişim: Ç = [−1, 1] ∪ [3, 5].

[−1, 1] ∪ [3, 5]

Çözümlü örnek

(x − 1) ÷ (x + 2) < 0 ve x² ≥ 1 sistemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Bölüm: kritik noktalar −2 (payda) ve 1; aralarında −. Çözüm (−2, 1).
  2. x² − 1 ≥ 0 → (−∞, −1] ∪ [1, ∞).
  3. Kesişim: Ç = (−2, −1]. (1 birinci eşitsizliği sağlamaz: bölüm 0, 0 < 0 değil.)

(−2, −1]

5 · Gökyüzünde eşitsizlik

Kamera sondayı kaç saniye görür?

Yerden v₀ hızıyla dik yukarı fırlatılan küçük bir sondanın t saniye sonraki yüksekliği, hava direnci yok sayılırsa h(t) = v₀t − (g ÷ 2)t² metredir. g, gökcisminin yüzeyindeki çekim ivmesidir: Dünya’da yaklaşık 9,81, Mars’ta yaklaşık 3,72, Ay’da yaklaşık 1,62 m/s².

İkinci dereceden denklemler dersinde sondanın bir yüksekliğe çıkıp çıkmadığını sorduk. Şimdi soru bir eşitsizlik: sonda H metrenin üstünde ne kadar kalır? h(t) ≥ H, yani (g ÷ 2)t² − v₀t + H ≤ 0. Bir düşünce deneyi: yerdeki bir kamera yalnızca H₁ ile H₂ yükseklikleri arasındaki bandı görüyor. Sonda görüntüde olsun diye iki eşitsizlik birden sağlanmalı: bir sistem.

——
h ≥ H₁
—
h ≤ H₂
—
İkisi birden
—
Görüntüde
—

Çözümlü örnek

Dünya’da hesabı kolaylaştırmak için g ≈ 10 m/s² alalım. Yerden 30 m/s hızla dik atılan sonda kaç saniye boyunca en az 25 m yüksekte kalır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. h(t) = 30t − 5t² ≥ 25 → 5t² − 30t + 25 ≤ 0 → t² − 6t + 5 ≤ 0.
  2. (t − 1)(t − 5) ≤ 0 → 1 ≤ t ≤ 5.
  3. Sonda 1. saniyede 25 m’yi geçer, 5. saniyede geri iner: 4 saniye.

4 saniye

Çözümlü örnek

Aynı atışta kamera yalnızca 25 m ile 40 m arasını görüyor. Sonda kaç saniye görüntüde kalır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Sistem: 30t − 5t² ≥ 25 ve 30t − 5t² ≤ 40.
  2. Birincisi 1 ≤ t ≤ 5. İkincisi 5t² − 30t + 40 ≥ 0 → t² − 6t + 8 ≥ 0 → (t − 2)(t − 4) ≥ 0 → t ≤ 2 ya da t ≥ 4.
  3. Ortak çözüm [1, 2] ∪ [4, 5]: çıkarken 1 s, inerken 1 s, toplam 2 saniye. 2 < t < 4 iken sonda 40 m’nin üstünde, kadrajın dışında (tepe 45 m).

2 saniye

Çözümlü örnek

Ay’da (g ≈ 1,62 m/s²) aynı sonda 30 m/s hızla atılırsa kaç saniye boyunca en az 25 m yüksekte kalır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 30t − 0,81t² ≥ 25 → 0,81t² − 30t + 25 ≤ 0. Δ = 900 − 4 · 0,81 · 25 = 900 − 81 = 819.
  2. Kökler t = (30 ± √819) ÷ 1,62: t₁ ≈ 0,85 s ve t₂ ≈ 36,18 s.
  3. Süre t₂ − t₁ = √819 ÷ 0,81 ≈ 35,33 s. Dünya’dakinin 8 katından fazla: Ay’ın çekimi zayıf.

≈ 35,33 s

Kısa tarih

İşaretlerin tarihi

Harriot · 1631

< ve > işaretleri ilk kez Thomas Harriot’un ölümünden sonra yayımlanan cebir kitabında görülür. İşaretleri kitabı yayına hazırlayanların koymuş olması da mümkündür.

Descartes · 1637

La Géométrie’de denklemleri eğrilerle birlikte düşündü. Bir eşitsizliği grafiğin eksenin üstünde ya da altında kalmasıyla okumak bu fikre dayanır.

Bouguer · 1734

“Küçük ya da eşit” ve “büyük ya da eşit” için < ve > işaretlerinin altına iki çizgi ekledi. Wallis 1670’te çizgiyi üste koyan benzer işaretler kullanmıştı.

Bolzano · 1817

Bir denklemde zıt işaretli sonuç veren iki değer arasında en az bir kök bulunduğunu gösteren bir kanıt yayımladı. İşaret tablosunun dayanağı budur: işaret ancak bir kökte değişebilir.

Descartes ve koordinatlar · Galileo ve parabol

Özet

Tek bakışta

ikinci dereceden eşitsizlikax² + bx + c > 0 (ya da ≥, <, ≤), a ≠ 0.
grafiklef(x) > 0: grafik x ekseninin üstünde; f(x) < 0: altında.
işaret kuralıKöklerin dışında a’nın işareti, kökler arasında tersi.
≤ ve ≥Kökler çözüme dahil: köşeli parantez, [−1, 3].
< ve >Kökler dahil değil: normal parantez, (−1, 3).
∪İki ayrı parça, “ya da”: (−∞, −1) ∪ (3, ∞).
Δ < 0İfade her x için a’nın işaretinde: çözüm ℝ ya da ∅.
Δ = 0Çift kökte işaret değişmez: (x − 2)² > 0 ⇔ x ≠ 2.
her x içinax² + bx + c > 0 ⇔ a > 0 ve Δ < 0.
çarpım ve bölümHer çarpana bir satır; sütunda işaretleri çarp. En sağda baş katsayılar çarpımının işareti.
paydaPaydayı sıfır yapan değer çözüme hiç girmez; o uç hep açık.
sistemÇözüm kümelerinin kesişimi (∩): hepsini birden sağlayan sayılar.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. x² − 5x + 6 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
2. x² ≥ 16 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
3. −x² + 2x + 8 ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
4. x² − 6x + 9 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
5. Her x gerçek sayısı için x² + 4x + k > 0 ise k hangi aralıktadır?
6. (x + 1)(x − 2)(x − 5) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
7. (x − 3) ÷ (x + 2) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
8. (x² + 1)(x − 4) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
9. x² − 1 > 0 ve x² − 2x − 8 ≤ 0 sisteminin çözüm kümesi hangisidir?
10. g ≈ 10 m/s² alınırsa yerden 20 m/s hızla dik atılan bir sondanın yüksekliği h(t) = 20t − 5t² olur. Sonda kaç saniye boyunca en az 15 m yüksekte kalır?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Çarpım ya da bölüm biçimindeki ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümü.
  • Birden fazla ikinci dereceden eşitsizliğin aynı anda sağlandığı değer aralığını bulmak.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

İkinci Dereceden Eşitsizlikler: sık sorulanlar

İkinci Dereceden Eşitsizlikler kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri” ünitesinde, “İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri” adıyla yer alır.

İkinci Dereceden Eşitsizlikler TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları