AYT · Çember ve Daire
Çember ve Daire Konu Anlatımı: Temel Elemanlar
Kiriş, çap, yay, kesen ve teğet. Bir doğru bir çemberi kaç noktada keser, bir kirişin uzunluğu merkeze uzaklığıyla nasıl değişir? Kırık bir tabağın merkezinden uzay istasyonunun ufkuna.
- d = rteğet
- d < rkesen
- ℓ = 2√(r² − d²)kiriş uzunluğu
- |AH| = |HB|dikme kirişi ortalar
Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde doğruyu kaydır, kırık tabağın kenarındaki noktaları sürükle, gezegenin yolunu değiştir ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.
Çember ve Daire nedir?
Çember, düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir; bu uzaklık yarıçaptır. Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası kiriştir, merkezden geçen kiriş çaptır. Bir doğru çemberi iki noktada kesebilir, ona tek noktada değebilir ya da hiç kesmeyebilir. Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar.
- Sınav
- AYT Matematik
- Sınıf ve ünite
- 11. sınıf · Çember ve Daire
- MEB konusu
- Çemberin Temel Elemanları
- Bu derste
- 4 adım adım sahne, 12 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama
1 · Çemberin elemanları
Pergelden çembere
Çemberle ilgili her soru birkaç temel parçayla kurulur. Önce bu parçalara ad koyalım.
- Pergelin sivri ucunu O noktasına koyup kolunu açık tutarak bir tur döndürelim. Kalemin izi, O’ya uzaklığı hep aynı olan noktalardır: çember. O merkez, bu sabit uzaklık r yarıçaptır.
- Çember bir eğridir, içi boştur. Çember ile iç bölgesinin birleşimine daire denir. Çemberin dışında kalan noktalar dış bölgeyi oluşturur.
- Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir. AB bir kiriştir.
- Merkezden geçen kirişe çap denir. Çap iki yarıçaptan oluşur: |CD| = 2r.
- A ve B noktaları çemberi iki parçaya ayırır; her parça bir yaydır. Kısa olanı AB yayı, uzun olanı üzerindeki bir C noktasıyla ACB yayı diye adlandırılır.
- AB kirişini iki yönde uzatırsak çemberi iki noktada kesen bir doğru elde ederiz: kesen. Kesenin çemberin içinde kalan parçası bir kiriştir.
- Çemberle yalnız bir ortak noktası olan doğruya teğet, ortak noktaya değme noktası denir. Teğet çemberin içine hiç girmez.
Adım 1 / 7
Çözümlü örnek
Bir çemberde merkezden geçen AB kirişinin uzunluğu 18 cm’dir. Çemberin yarıçapı kaç cm’dir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Merkezden geçen kiriş çaptır: 2r = 18.
- r = 9 cm.
9 cm
Çözümlü örnek
Bir çemberin üzerinde 6 nokta işaretleniyor. Her iki nokta birleştirilerek kaç kiriş çizilir? Bu kirişlerden en çok kaçı çap olabilir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Her nokta öbür 5 noktayla bir kiriş oluşturur: 6 · 5 = 30; her kiriş iki kez sayıldı: 30 ÷ 2 = 15 kiriş.
- Çap olması için iki uç merkeze göre karşılıklı olmalı. Her nokta en çok bir çapın ucudur: 6 ÷ 2 = 3 çap.
15 kiriş; en çok 3 çap
2 · Doğru ile çemberin durumları
Kaç ortak nokta?
Bir doğru ile bir çember düzlemde üç biçimde durabilir. Hangisi olduğunu tek bir karşılaştırma söyler: merkezin doğruya uzaklığı d ile yarıçap r.
- Bir doğruyu çemberden uzakta başlatalım. Merkezin doğruya uzaklığı d, yani O’dan doğruya inen dikmenin uzunluğu. d, r’den büyükken doğru çembere hiç değmez: ortak nokta yok.
- Doğru yaklaşıp d = r olunca çembere tek bir T noktasında değer: doğru teğettir. Dikmenin ayağı T’dir; bu yüzden teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir.
- d < r olunca doğru çemberin içine girer ve onu iki noktada keser: kesen. İçte kalan AB parçası bir kiriştir.
- d = 0 iken doğru merkezden geçer; içteki kiriş bir çaptır ve kirişlerin en uzunudur.
Adım 1 / 4
Çözümlü örnek
Yarıçapı 6 cm olan çemberin merkezine uzaklıkları 4 cm, 6 cm ve 8 cm olan üç doğru var. Her biri çembere göre nasıldır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- 4 < 6: kesen (2 ortak nokta).
- 6 = 6: teğet (1 ortak nokta).
- 8 > 6: dışında (ortak nokta yok).
Kesen, teğet, dışında
Çözümlü örnek
Merkezine uzaklığı (2x − 1) birim olan bir doğru, yarıçapı 7 birim olan çembere teğettir. x kaçtır? Doğru kesen olsaydı x hangi aralıkta olurdu?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Teğet: d = r → 2x − 1 = 7 → x = 4.
- Kesen: 0 ≤ d < r → 0 ≤ 2x − 1 < 7 → 1/2 ≤ x < 4. (d uzunluk olduğu için negatif olamaz.)
x = 4; kesen için 1/2 ≤ x < 4
Deney
Doğruyu kaydır
H tutamacını sürükle. d ile r’yi karşılaştır: doğru ne zaman teğet oluyor? Kesen olduğunda kirişin uzunluğu nasıl değişiyor?
Kesen
- Merkeze uzaklık
- —
- d ile r
- —
- Ortak nokta
- —
- Kiriş
- —
Turuncu H noktasını sürükle ya da seçip ok tuşlarıyla taşı. Doğru hep OH’ye dik kalır: d = |OH|. r’yi de değiştir; hangi d değerlerinde doğru teğet oluyor?
3 · Kirişin özellikleri
Merkezden kirişe dikme
Kirişin bütün özellikleri tek bir şekilden çıkar: merkezden kirişe inen dikme ve kirişin uçlarına çizilen iki yarıçap.
- Bir AB kirişi ve çemberin merkezi O. Merkez, kirişe göre nerede durur?
- O’yu kirişin uçlarına birleştirelim: |OA| = |OB| = r. OAB bir ikizkenar üçgendir.
- O’dan AB’ye dikme inelim; ayağı H. İkizkenar üçgende tepeden inen yükseklik tabanı ortalar: |AH| = |HB|. Dikmenin uzantısı AB yayını da K noktasında iki eş yaya ayırır.
- OHA bir dik üçgen: hipotenüs r, dik kenarlar d = |OH| ve ℓ ÷ 2. Pisagor: r² = d² + (ℓ ÷ 2)², yani ℓ = 2√(r² − d²). Örnekte r = 5, d = 3: ℓ ÷ 2 = 4, ℓ = 8.
- Tersi de doğru: bir kirişin orta dikmesi (orta noktasından geçen dik doğru) merkezden geçer. İki kirişin orta dikmeleri çizilirse kesiştikleri nokta merkezdir.
Adım 1 / 5
Çözümlü örnek
Yarıçapı 10 cm olan çemberde merkeze uzaklığı 6 cm olan kirişin uzunluğu kaç cm’dir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Dik üçgen: (ℓ ÷ 2)² = 10² − 6² = 64 → ℓ ÷ 2 = 8.
- ℓ = 16 cm.
16 cm
Çözümlü örnek
Yarıçapı 13 cm olan çemberde 24 cm uzunluğundaki kirişin merkeze uzaklığı kaç cm’dir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Dikme kirişi ortalar: yarısı 12.
- d = √(13² − 12²) = √25 = 5 cm.
5 cm
Çözümlü örnek
Kırık bir tabağın kenarında 8 cm’lik bir kiriş çiziliyor. Kirişin orta noktasından kenara (dik) uzaklık 2 cm. Tabağın yarıçapı kaç cm’dir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Dikmenin uzantısı yayı ortalar ve merkezden geçer: merkezin kirişe uzaklığı r − 2.
- Dik üçgen: 4² + (r − 2)² = r² → 16 + r² − 4r + 4 = r² → 4r = 20.
- r = 5 cm.
5 cm
Deney
Kırık tabağın merkezi
Arkeologlar kırık bir çanağın parçasından bütün çanağın büyüklüğünü böyle bulur. Kenardaki noktaları sürükle: iki orta dikme hep aynı noktada mı kesişiyor?
- Kirişler
- —
- Orta dikmeler
- —
- Tabak
- —
Kenardaki noktaları sürükle. Turuncu kirişin ve mor kirişin orta dikmeleri (kesikli) nerede kesişiyor? 10 piksel = 1 cm.
4 · Kiriş uzunluğu ve merkeze uzaklık
Merkeze yakın olan uzun
ℓ = 2√(r² − d²) formülünde r sabitken yalnız d değişirse kirişe ne olur? Tabloyu adım adım dolduralım.
| d | ℓ = 2√(25 − d²) |
|---|---|
| 0 | 10 |
| 3 | 8 |
| 4 | 6 |
| 5 | 0 |
- Yarıçapı 5 olan çemberde merkezden geçen kiriş, yani çap: d = 0 ve ℓ = 2r = 10. Hiçbir kiriş bundan uzun olamaz.
- Kirişi merkezden 3 birim uzaklaştıralım: ℓ = 2√(25 − 9) = 8.
- d = 4 iken ℓ = 2√(25 − 16) = 6. Merkezden uzaklaştıkça kiriş kısalıyor.
- d = 5 = r olunca kiriş bir noktaya büzülür: doğru artık teğettir.
- Merkeze uzaklığı 3 olan kirişi merkez çevresinde döndürelim: uzunluğu hep 8. Merkeze eşit uzaklıktaki kirişler eşittir; tersine eşit kirişler de merkeze eşit uzaklıktadır.
Adım 1 / 5
Çözümlü örnek
Yarıçapı 13 cm olan çemberde uzunlukları 24 cm ve 10 cm olan paralel iki kiriş var. Kirişler arasındaki uzaklık kaç cm olabilir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- d₁ = √(13² − 12²) = 5; d₂ = √(13² − 5²) = 12.
- Merkezin aynı yanında: 12 − 5 = 7 cm. Farklı yanlarında: 12 + 5 = 17 cm.
7 cm ya da 17 cm
Çözümlü örnek
Yarıçapı 10 cm olan çemberin içinde merkeze 6 cm uzaklıkta bir P noktası var. P’den geçen kirişlerden kaç tanesinin uzunluğu tam sayıdır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- En kısa kiriş OP’ye dik: 2√(100 − 36) = 16. En uzun kiriş P’den geçen çap: 20.
- P’den geçen kirişler 16 ile 20 arasındaki her uzunluğu alır. 16 ve 20 birer tane; 17, 18, 19 ikişer tane (OP’ye göre simetrik iki kiriş).
- 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8.
8
Çözümlü örnek
Yarıçapı 26 cm olan çemberde AB ve CD eşit kirişlerdir. Merkeze uzaklıkları (3x + 1) cm ve (x + 7) cm ise x ve kirişlerin uzunluğu nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Eşit kirişler merkeze eşit uzaklıkta: 3x + 1 = x + 7 → x = 3, d = 10.
- ℓ = 2√(26² − 10²) = 2√576 = 2 · 24 = 48 cm.
x = 3; 48 cm
5 · Gökyüzünde kiriş ve teğet
Ufuk bir teğet, geçiş bir kiriş
Uluslararası Uzay İstasyonu (ISS) yerden yaklaşık 400 km yükseklikte dolanır; Dünya’nın ortalama yarıçapı yaklaşık 6.371 km. Bir astronotun ufka uzanan bakış çizgisi Dünya’ya teğettir: daha aşağı bakarsa bakış çizgisi Dünya’yı keser (kesen), daha yukarı bakarsa uzaya gider.
Çözümlü örnek
ISS yerden yaklaşık 400 km yükseklikte, Dünya’nın yarıçapı yaklaşık 6.371 km. Kırılmayı yok sayarsak istasyondan ufuktaki noktaya uzaklık kaç km’dir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Merkeze uzaklık R + h = 6.371 + 400 = 6.771 km.
- x² = 6.771² − 6.371² = (6.771 − 6.371)(6.771 + 6.371) = 400 · 13.142 = 5.256.800.
- x ≈ 2.293 km: istasyon yalnız 400 km yukarıda ama ufku bunun beş katından da uzakta.
≈ 2.293 km
Uzak bir yıldızın önünden bir gezegen geçtiğinde yıldızın ışığı biraz azalır. Gezegenin yıldız diski üzerindeki yolu bir kiriştir: yol merkeze yaklaştıkça kiriş uzar, geçiş uzun sürer. Kepler Uzay Teleskobu 2009–2018 yılları arasında bu küçük ışık düşüşlerini izleyerek binlerce ötegezegen buldu. Güneş Sistemi’nde de Venüs 2004 ve 2012 yıllarında Güneş diskinin önünden geçti; bir sonraki Venüs geçişi 2117 yılında.
- Yol
- —
- Kiriş
- —
- Geçiş süresi
- —
Sayılar hayalîdir: yıldızın yarıçapı 5 birim, gezegen bir nokta gibi düşünüldü ve saatte 1 birim ilerliyor. Gerçek gökbilimciler aynı ilişkiyi ışıktaki düşüşün süresinden yolu bulmak için kullanır.
Çözümlü örnek
Deneydeki hayalî yıldızın yarıçapı 5 birim ve gezegen saatte 1 birim ilerliyor. Bir geçiş 6 saat sürdüyse gezegenin yolu yıldızın merkezinden kaç birim uzaktan geçmiştir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- 6 saatte 6 birim yol: kiriş ℓ = 6, yarısı 3.
- b = √(5² − 3²) = √16 = 4 birim. (Merkezden geçseydi geçiş 10 saat sürerdi.)
4 birim
Kısa tarih
Pergelden teleskoba
Thales · M.Ö. 6. yüzyıl
Proklos’un aktardığına göre çapın çemberi iki eş parçaya ayırdığını ilk kanıtlayan odur.
Öklid · M.Ö. 300 civarı
Elemanlar’ın III. kitabı bir çemberin merkezini bir kirişin orta dikmesiyle bulur; eşit kirişlerin merkeze eşit uzaklıkta, merkeze yakın kirişin daha uzun olduğunu kanıtlar.
Batlamyus · 150 civarı
Almagest’te, yarıçapı 60 birim olan bir çemberde yarım derece aralıklarla kiriş uzunlukları tablosu verdi. Gökbilimciler yüzyıllarca açıları bu kirişlerle hesapladı.
Kepler Teleskobu · 2009–2018
Yıldızlarının önünden geçen gezegenlerin ışıkta yaptığı küçük düşüşleri izleyerek binlerce ötegezegen buldu.
Özet
Tek bakışta
Kendini dene
10 soru
Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.
Bu konuda neler öğrendin?
- Teğet, kiriş, çap, yay ve kesen; doğru ile çemberin durumları.
- Kirişin özellikleri; kiriş uzunluğu ile merkeze uzaklık ilişkisi.
Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.
Çember ve Daire: sık sorulanlar
Çember ve Daire kaçıncı sınıf konusu?
11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Çember ve Daire” ünitesinde, “Çemberin Temel Elemanları” adıyla yer alır.
Çember ve Daire TYT’de mi, AYT’de mi?
Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.
Bu ders ücretsiz mi?
Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 12 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.
Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et
AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.