Ana içeriğe atla

AYT · Çember ve Daire

Çemberde Açılar Konu Anlatımı

Köşesi merkezde, çemberin üstünde, içinde ya da dışında: bir açının ölçüsü, kollarının çemberden ayırdığı yaylardan hesaplanır.

  • yaymerkez açı
  • yay ÷ 2çevre ve teğet-kiriş açı
  • (x + y) ÷ 2iç açı
  • (x − y) ÷ 2dış açı

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde noktaları çemberin üstünde ya da düzlemde sürükle; açının ve yayların nasıl değiştiğini gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Çemberde Açılar nedir?

Çemberde açılar, gördükleri yayla ölçülür. Köşesi merkezde olan merkez açı gördüğü yayın ölçüsüne eşittir; köşesi çemberin üzerinde olan çevre açı gördüğü yayın yarısıdır. Teğet-kiriş açı da gördüğü yayın yarısıdır. Çemberin içindeki bir açı yayların ortalamasıyla, dışındaki bir açı yayların farkının yarısıyla bulunur.

MEB konusu
Çemberde Açılar
Bu derste
5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Merkez açı

Açı kadar yay

Çemberin temel elemanlarını (yarıçap, kiriş, yay) biliyoruz. Şimdi açıları ölçeceğiz. Hepsinin çıkış noktası, köşesi merkezde olan açı.

80°ABO
  1. Köşesi çemberin merkezinde, kolları yarıçap olan açıya merkez açı denir. AOB açısının kolları arasında kalan AB yayına, bu açının gördüğü yay denir.
  2. Bir yayın ölçüsü, onu gören merkez açının ölçüsüdür: AOB = 80° ise m(AB) = 80°. Yayın ölçüsü derecedir; uzunluğu değildir.
  3. Bütün çember 360°’dir. A ile B çemberi iki yaya ayırır: küçük AB yayı 80°, büyük ACB yayı 360° − 80° = 280°.
  4. Açıyı merkez çevresinde döndürelim: merkez açı 80° kaldıkça yay da 80° kalır, AB kirişi de aynı uzunlukta. Eşit merkez açılar eşit yayları ve eşit kirişleri görür.
  5. Merkez açı 180° olunca [AB] bir çap olur ve çemberi 180°’lik iki yarım çembere böler.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Bir çemberde AOB merkez açısı 64° ise küçük ve büyük AB yayları kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Küçük yay merkez açıya eşit: 64°.
  2. Büyük yay: 360° − 64° = 296°.

64° ve 296°

Çözümlü örnek

Bir çember üç noktayla ölçüleri 2 : 3 : 4 oranında olan üç yaya bölünüyor. En büyük yayı gören merkez açı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Yaylar 2k, 3k, 4k: 9k = 360° → k = 40°.
  2. Yaylar 80°, 120° ve 160°. En büyüğünü gören merkez açı 160°.

160°

2 · Çevre açı

Yayın yarısı

Köşeyi merkezden alıp çemberin üstüne koyalım. Aynı yayı görmeye devam eden açı ne kadar küçülür?

ABC
  1. Köşesi çemberin üstünde, kolları kiriş olan açıya çevre açı denir. ACB açısı, kollarının arasında kalan ve C’yi içermeyen AB yayını görür.
  2. Aynı AB yayını gören merkez açıyla karşılaştıralım: merkez açı 100°, çevre açı 50°. Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır.
  3. Neden? C’den geçen [CD] çapını çizelim. |OA| = |OC| (yarıçap), OAC ikizkenar: A’daki ve C’deki açılar x. AOD, bu üçgenin dış açısı: 2x. Öbür yanda aynı biçimde 2y. AOB = 2x + 2y = 2 · (x + y) = 2 · ACB.
  4. C’yi çemberin üstünde kaydıralım. AB yayının dışında kaldığı sürece açı hep 50°: aynı yayı gören çevre açılar eşittir.
  5. [AB] çap olursa gördüğü yay 180° olur; çevre açı 180° ÷ 2 = 90°. Yarım çemberi gören çevre açı diktir.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

ACB çevre açısı 38° ise gördüğü AB yayı ve AOB merkez açısı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Yay, çevre açının iki katı: 2 · 38° = 76°.
  2. Merkez açı yaya eşit: AOB = 76°.

76° ve 76°

Çözümlü örnek

C ve D noktaları aynı AB yayını görüyor. ACB = 3x − 10° ve ADB = x + 30° ise bu açılar kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Aynı yayı gören çevre açılar eşit: 3x − 10 = x + 30.
  2. 2x = 40 → x = 20. Açılar 3 · 20 − 10 = 50°.

50°

Çözümlü örnek

[AB] çemberin çapı, C çemberin üstünde. CAB açısı 34° ise CBA açısı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çapı gören ACB açısı 90°.
  2. ABC üçgeninde: 180° − 90° − 34° = 56°.

56°

Deney

Çevre açıyı sürükle

A, B, C ve D’yi çemberin üstünde sürükle. C’yi kaydırınca açı değişiyor mu? D’yi AB’nin öbür yanına geçirince ne oluyor?

ABCD60°60°120°120°
C’nin gördüğü yay
—
Merkez açı
—
Çevre açı ACB
—
Çevre açı ADB
—

3 · Teğet-kiriş açı

Kiriş teğete dönünce

Çevre açının bir kolu kiriş olmaktan çıkıp çembere teğet olursa ne olur? Açının köşesini kaydırarak görelim.

teğetOAB
  1. Çembere yalnız bir noktada değen doğruya teğet denir; teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Teğet ile değme noktasından çizilen AB kirişi arasındaki açıya teğet-kiriş açı denir. Açının içinde kalan AB yayını görür.
  2. Aynı AB yayını (110°) gören bir çevre açı çizelim: ACB = 110° ÷ 2 = 55°.
  3. C’yi A’ya doğru kaydıralım. C yaklaştıkça CA kirişi teğete döner, CB kirişi AB’ye yaklaşır; açı hiç değişmez. Sonunda çevre açı teğet-kiriş açıya dönüşür: 55°.
  4. Merkezden bakalım: AOB = 110°. |OA| = |OB| olduğundan OAB ikizkenar, taban açıları (180° − 110°) ÷ 2 = 35°. OA teğete dik: teğet-kiriş açı 90° − 35° = 55° = 110° ÷ 2.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

A noktasında çembere teğet olan doğru ile AB kirişi arasındaki açı 62°. Bu açının gördüğü yay kaç derecedir? Aynı yayı gören çevre açı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Yay, teğet-kiriş açının iki katı: 2 · 62° = 124°.
  2. Aynı yayı gören çevre açı 124° ÷ 2 = 62°: teğet-kiriş açıya eşit.

124° ve 62°

Çözümlü örnek

AB kirişinin küçük yayı 150°. A’dan çizilen teğet ile AB kirişi iki açı oluşturur. Bu açılar kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Küçük yayı gören teğet-kiriş açı: 150° ÷ 2 = 75°.
  2. Öbür açı büyük yayı (360° − 150° = 210°) görür: 210° ÷ 2 = 105°. Toplamları 180°, çünkü teğet bir doğru.

75° ve 105°

4 · İç açı ve dış açı

Köşe içeride, köşe dışarıda

Köşe ne merkezde ne de çemberin üstünde olabilir. Köşeyi içeriden dışarıya doğru kaydıralım ve her durumda açıyı çevre açılara bölerek bulalım.

100°140°60°ABCDP
  1. [AC] ve [BD] kirişleri çemberin içinde P’de kesişiyor. APB açısına iç açı denir. İki yay görür: kendi kolları arasındaki AB yayı ve ters açısının gördüğü CD yayı. İç açı = (140° + 60°) ÷ 2 = 100°.
  2. Neden? [BC]’yi çizelim. APB, PBC üçgeninin dış açısıdır, yani öbür iki iç açının toplamı. ACB, AB yayını gören çevre açı (70°); DBC, CD yayını gören çevre açı (30°). 70° + 30° = 100°.
  3. P’yi aşağı kaydıralım. P çemberin üstüne gelince C ile D, P ile çakışır; CD yayı 0° olur. Açı artık AB yayını gören çevre açı: 140° ÷ 2 = 70°.
  4. P çemberin dışına çıktı: kollar çemberi ikişer noktada kesen iki kesen. APB’ye dış açı denir. Uzak yay AB, yakın yay CD: dış açı = (140° − 40°) ÷ 2 = 50°.
  5. Neden? [AD]’yi çizelim. ADB açısı, PAD üçgeninin D’deki dış açısı: ADB = P + PAD. ADB, AB yayını gören çevre açı (70°); PAD (yani CAD), CD yayını gören çevre açı (20°). P = 70° − 20° = 50°.
  6. Kesenler teğet olunca da aynı kural geçerli. P’den çizilen iki teğet çembere A ve B’de değiyor: (260° − 100°) ÷ 2 = 80°. Kısa yol: PAOB dörtgeninde A ve B’deki açılar 90°, yani P + AOB = 180°.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

[AC] ve [BD] kirişleri çemberin içinde P’de kesişiyor. m(AB) = 100° ve m(CD) = 60° ise APB ve BPC açıları kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İç açı: APB = (100° + 60°) ÷ 2 = 80°.
  2. BPC, APB’nin komşu bütünleri: 180° − 80° = 100°.

80° ve 100°

Çözümlü örnek

Çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki kesen, çemberden 130°’lik ve 40°’lik yaylar ayırıyor. P’deki açı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Dış açı = (büyük yay − küçük yay) ÷ 2.
  2. (130° − 40°) ÷ 2 = 45°.

45°

Çözümlü örnek

P’den çembere çizilen iki teğet arasındaki açı 64°. Değme noktaları arasındaki küçük ve büyük yaylar kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Açı + küçük yay = 180°: küçük yay 180° − 64° = 116°.
  2. Büyük yay 360° − 116° = 244°. Denetim: (244° − 116°) ÷ 2 = 64°.

116° ve 244°

Deney

Tepe noktasını taşı

P’yi merkeze, içeriye, çemberin üstüne ve dışarıya sürükle. Açının adı ve kuralı nasıl değişiyor? Kural hep ölçülen açıyı veriyor mu?

PAB79,2°CD110°48,4°

İç açı

P’nin yeri
—
Yaylar
—
Açı APB
—

5 · Çevrel çember

Köşeler çemberin üstünde

Üçgenin kenar orta dikmeleri, üç köşeye eşit uzak bir O noktasında kesişir; O merkezli çember üç köşeden geçer. Bu çemberde üçgenin açıları birer çevre açıdır.

120°140°100°60°70°50°ABCO
  1. Üçgenin üç köşesinden geçen çembere çevrel çember denir. Köşeler çemberin üstünde olduğu için her iç açı bir çevre açıdır: A açısı BC yayını görür, 120° ÷ 2 = 60°. B = 140° ÷ 2 = 70°, C = 100° ÷ 2 = 50°.
  2. Bu yayları gören merkez açılar O çevresinde tam bir tur oluşturur: 120° + 140° + 100° = 360°. Yarıları toplanınca A + B + C = 180°: üçgenin açılar toplamı bir kez daha.
  3. A açısı 90° olursa gördüğü BC yayı 180° olur: [BC] bir çaptır. Dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır; R = hipotenüs ÷ 2.
  4. A açısı geniş (110°) olursa gördüğü yay 220° olur, 180°’den büyük. O, BC kirişinin öbür yanında, yani üçgenin dışında kalır. Dar açılı üçgende O içeridedir.
  5. Dört köşesi de bir çemberin üstünde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Karşı açılar (A ile C, B ile D) birlikte bütün çemberi görür: 360° ÷ 2 = 180°. Burada 110° + 70° ve 80° + 100°.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve A açısı 72°. BC yayı ve BOC açısı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. A, BC yayını gören çevre açı: yay = 2 · 72° = 144°.
  2. BOC aynı yayı gören merkez açı: 144°.

144° ve 144°

Çözümlü örnek

ABCD kirişler dörtgeninde A = 2x + 10° ve C = 3x − 5° ise A ve C kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Karşı açılar toplamı 180°: 5x + 5 = 180 → x = 35.
  2. A = 2 · 35 + 10 = 80°, C = 3 · 35 − 5 = 100°.

80° ve 100°

6 · Uzaydan bakış

Uydudan Dünya

Uzaydaki bir uydudan Dünya’ya bakınca görüş alanının iki ucu, uydudan Dünya’ya çizilen iki teğettir. Aralarındaki açı α, Dünya’nın uydudan görünen açısı. Değme noktaları arasındaki yay, uydunun görebildiği bölge. İki teğet kuralı ikisini bağlar: α + θ = 180°. Uydu yükseldikçe Dünya daha küçük görünür, ama daha büyük bir bölümü görülür.

αθuyduDünya
Merkeze uzaklık
—
α: Dünya’nın görünen açısı
—
θ: görülen yayın merkez açısı
—
İki teğet kuralı
—
Görülen yay
—

Çizim ölçekli; Dünya küre sayıldı (yarıçap ≈ 6.371 km). Yeşil yay, uydunun bir meridyen boyunca görebildiği bölüm.

Çözümlü örnek

Yerdurağan bir uydudan Dünya ≈ 17,4°’lik bir açıyla görünür (iki teğet arasındaki açı). Uydunun ekvator boyunca gördüğü yayın ölçüsü kaç derecedir? Eşit aralıklı üç uydu bütün ekvatoru görebilir mi?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İki teğet kuralı: α + θ = 180°.
  2. θ = 180° − 17,4° = 162,6°.
  3. 3 · 162,6° = 487,8° > 360°: evet, üçü birlikte bütün ekvatoru görür.

162,6°; evet

Çözümlü örnek

Ay’dan bakınca Dünya ≈ 1,9°’lik bir açıyla görünür. Ay’dan Dünya’nın görülen yayı kaç derecedir? Bu, Dünya’nın yarısından çok mu az mı?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. θ = 180° − 1,9° = 178,1°.
  2. Yarım çember 180°: Ay’dan Dünya’nın yarısından biraz azı görülür. Gözlemci uzaklaştıkça görülen yay 180°’ye yaklaşır ama ulaşmaz.

178,1°; yarısından biraz az

Kısa tarih

Yarım çemberden yörüngeye

Thales · MÖ 6. yüzyıl

Geleneğe göre yarım çemberi gören çevre açının dik olduğunu ilk gösteren odur. Bilgi, yüzyıllar sonra yazan Diogenes Laertios’un aktarımıyla bize ulaştı.

Öklid · MÖ 300 civarı

Elemanlar’ın III. kitabında merkez açının çevre açının iki katı olduğunu, aynı yayı gören açıların eşitliğini, kirişler dörtgenini ve teğet-kiriş açıyı kanıtladı.

Ptolemaios · 2. yüzyıl

Almagest’te yarım derece aralıklarla bir kiriş tablosu verdi: merkez açısı bilinen yayın kirişi. Gökbilim hesaplarını bu tabloyla yaptı.

Clarke · 1945, Syncom 3 · 1964

Clarke üç yerdurağan uyduyla Dünya’yı kaplamayı önerdi. İlk yerdurağan uydu Syncom 3, 1964’te fırlatıldı; Tokyo Olimpiyatları’nın görüntülerini Pasifik’in öbür yakasına iletti.

Thales · Öklid’in Elemanlar’ı · Eratosthenes ve merkez açı

Özet

Tek bakışta

merkez açıKöşesi merkezde; ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit.
çevre açıKöşesi çemberin üstünde, kolları kiriş; gördüğü yayın yarısı.
aynı yayAynı yayı gören çevre açılar eşit.
yarım çemberÇapı gören çevre açı 90°.
teğetDeğme noktasındaki yarıçapa dik.
teğet-kiriş açıGördüğü yayın yarısı: aynı yayı gören çevre açıya eşit.
iç açı(x + y) ÷ 2: açının ve ters açısının gördüğü yayların ortalaması.
dış açı(büyük yay − küçük yay) ÷ 2; kesenler, kesen ve teğet, iki teğet.
iki teğetAradaki açı + küçük yayın merkez açısı = 180°.
çevrel çemberÜçgenin her açısı karşı yayın yarısı; dik üçgende hipotenüs çap.
kirişler dörtgeniKöşeleri bir çemberin üstünde; karşı açılar toplamı 180°.
uydudan DünyaYerdurağan uydudan ≈ 17,4°; gördüğü yay ≈ 162,6°.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. Bir çemberde AOB merkez açısı 110° ise büyük AB yayı kaç derecedir?
2. Bir çevre açı 35° ise gördüğü yay kaç derecedir?
3. [AB] bir çap, C çemberin üstünde ve CAB açısı 40° ise CBA açısı kaç derecedir?
4. Bir teğet-kiriş açı 48° ise gördüğü yay kaç derecedir?
5. İki kiriş çemberin içinde kesişiyor. Bir açının ve ters açısının gördüğü yaylar 100° ve 40° ise açı kaç derecedir?
6. Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki kesenin arasındaki açı 130° ve 50°’lik yayları görüyor. Açı kaç derecedir?
7. Dış bir noktadan çizilen iki teğet arasındaki açı 70° ise değme noktaları arasındaki küçük yay kaç derecedir?
8. ABCD kirişler dörtgeninde A açısı 75° ise C açısı kaç derecedir?
9. Çevrel çemberinin merkezi üçgenin dışında kalan üçgen hangisidir?
10. Yerdurağan bir uydudan bakınca Dünya’ya çizilen iki teğet arasındaki açı ≈ 17,4°. Değme noktaları arasındaki (uydunun gördüğü) yayın merkez açısı kaç derecedir?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Merkez, çevre, iç, dış ve teğet-kiriş açılar; çevrel çember.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Çemberde Açılar: sık sorulanlar

Çemberde Açılar kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Çember ve Daire” ünitesinde, “Çemberde Açılar” adıyla yer alır.

Çemberde Açılar TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları