AYT · Çember ve Daire

Çemberde Teğet Konu Anlatımı

Dışarıdaki bir noktadan çembere çizilen iki teğet parçası her zaman eşittir. Bu tek kural teğetler dörtgenini, üçgenin iç ve dış teğet çemberlerini, hatta bir Güneş tutulmasının anlarını açıklar.

|PA| = |PB|teğet parçaları
a + c = b + dteğetler dörtgeni
u − aiç teğet çember
d = r₁ + r₂dıştan teğet çemberler

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde P noktasını sürükle, üçgenin kenarlarını değiştir, Ay’ı Güneş’in önünden geçir ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Çemberde Teğet nedir?

Teğet, çembere yalnızca bir noktada değen doğrudur ve değme noktasındaki yarıçapa diktir. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere iki teğet çizilebilir; bu noktadan değme noktalarına kadar olan teğet parçaları eşittir. Bu eşitlik, üçgenin iç ve dış teğet çemberlerinde ve teğetler dörtgeninde uzunlukları bulmayı sağlar.

Sınav: AYT Matematik
Sınıf ve ünite: 11. sınıf · Çember ve Daire
MEB konusu: Çemberde Teğet
Bu derste: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Teğet parçaları

Bir noktadan iki teğet

Teğetin değme noktasındaki yarıçapa dik olduğunu biliyoruz. Şimdi çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki teğete bakalım: aralarında çok basit bir ilişki var.

Çemberin dışındaki bir P noktasından çembere iki teğet çizilebilir. Değme noktaları A ve B; [PA] ve [PB] doğru parçalarına teğet parçaları denir.
Önceki dersten biliyoruz: teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. OA ⊥ PA ve OB ⊥ PB.
[OP]’yi çizelim. OAP ve OBP dik üçgenlerinde hipotenüs OP ortak ve |OA| = |OB| = r. Pisagor: |PA|² = |OP|² − r² = |PB|². Demek ki |PA| = |PB|; iki dik üçgen eştir.
Sayılarla: r = 6 ve |OP| = 10 ise |PA| = √(10² − 6²) = √64 = 8. |PB| de 8.
Eş üçgenlerin karşılıklı açıları da eşit: OP, hem APB hem de AOB açısının açıortayıdır. Şekil OP’ye göre simetrik; bu yüzden OP, AB kirişine dik ve onu H’de ortalar.
P’yi kaydıralım. Teğet parçaları uzar, kısalır ama birbirine hep eşit kalır.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

Yarıçapı 6 cm olan çemberin merkezine 10 cm uzaklıktaki P noktasından çizilen teğetler çembere A ve B’de değiyor. |PA| ve PAOB dörtgeninin alanı nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

OA ⊥ PA: |PA| = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm; |PB| de 8 cm.
PAOB, eş iki dik üçgenden oluşur: 2 · (6 · 8 ÷ 2) = 48 cm².

8 cm ve 48 cm²

Çözümlü örnek

P’den çembere çizilen teğetler A ve B’de değiyor. |PA| = 3x − 2 ve |PB| = x + 8 ise |PA| kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Teğet parçaları eşit: 3x − 2 = x + 8.
2x = 10, x = 5. |PA| = 3 · 5 − 2 = 13.

Çözümlü örnek

Yarıçapı 5 cm olan çembere P’den çizilen iki teğet arasındaki açı 60°. |OP| ve |PA| kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

OP açıortay: OPA = 30°. OAP dik üçgeninde A’daki açı 90°.
30°’nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır: |OP| = 2 · 5 = 10 cm.
|PA| = √(10² − 5²) = √75 = 5√3 cm.

10 cm ve 5√3 cm

Deney

P’yi sürükle

P’yi ızgarada sürükle, yarıçapı değiştir. İki teğet parçası hiç birbirinden farklı oluyor mu? P çemberin üstüne ya da içine girince ne oluyor?

Yarıçap: r = 4

P’nin yeri: —
|OP|: —
Teğet parçası: —
Çizimde ölçülen: —
Açılar: —

2 · Teğetler dörtgeni

Karşılıklı kenarlar

Bir dörtgenin dört kenarı da aynı çembere teğet olsun. Her köşe, çembere iki teğet çizilen bir dış nokta gibi davranır.

Dört kenarı da aynı çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Çember, dörtgenin iç teğet çemberidir; kenarlara K, L, M ve N’de değer.
Her köşe, çembere iki teğet çizilen bir dış nokta. Bu yüzden her köşeden çıkan iki teğet parçası eşit: A’dan x, B’den y, C’den z, D’den t.
Her kenar iki parçadan oluşur: |AB| = x + y, |BC| = y + z, |CD| = z + t, |DA| = t + x.
Karşılıklı kenarları toplayalım: |AB| + |CD| = x + y + z + t ve |BC| + |DA| = y + z + t + x. İkisi aynı: |AB| + |CD| = |BC| + |DA|.
Sayılarla: x = 9, y = 4, z = 6, t = 6. Kenarlar 13, 10, 12 ve 15: 13 + 12 = 25 = 10 + 15.
Çember aynı kalsın, kenarlar ona teğet kalarak dönsün. Kenar uzunlukları değişir ama iki toplam hep eşit kalır.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

ABCD teğetler dörtgeninde |AB| = 7, |BC| = 9 ve |CD| = 11. |DA| ve dörtgenin çevresi nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

|AB| + |CD| = |BC| + |DA|: 7 + 11 = 9 + |DA|, |DA| = 9.
Çevre = 2 · 18 = 36.

|DA| = 9; çevre 36

Çözümlü örnek

Tabanları 4 cm ve 16 cm olan ikizkenar yamuğun iç teğet çemberi var. Yan kenarları, yüksekliği ve iç teğet çemberin yarıçapı kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Teğetler dörtgeni: iki yan kenarın toplamı 4 + 16 = 20. İkizkenar yamukta her yan kenar 10 cm.
Üst köşeden inen dikme bir dik üçgen oluşturur; tabanlar farkının yarısı (16 − 4) ÷ 2 = 6. Yükseklik √(10² − 6²) = 8 cm.
Çemberin çapı yüksekliğe eşit: 2r = 8, r = 4 cm.

10 cm; 8 cm; 4 cm

3 · Üçgenin iç teğet çemberi

Köşeden çıkan eşit parçalar

Üçgenin iç açıortaylarının iç teğet çemberin merkezinde (I) kesiştiğini gördük. Şimdi teğet parçalarının eşitliğini bu çembere uygulayalım: kenar uzunlukları bilinince değme noktalarının yeri bulunur.

Üçgenin üç kenarına da teğet olan çembere iç teğet çember denir. Merkezi I, iç açıortayların kesiştiği noktadır; I üç kenara eşit uzaklıktadır. Değme noktaları D, E ve F.
I’dan kenarlara inen dikler çemberin yarıçaplarıdır: |ID| = |IE| = |IF| = r. Her kenar, değme noktasındaki yarıçapa dik.
Her köşe, çembere iki teğet çizilen bir dış nokta: A’dan çıkan iki teğet parçası eşit (x), B’den çıkanlar eşit (y), C’den çıkanlar eşit (z).
Kenarlar bu parçalardan oluşur: c = x + y, a = y + z, b = z + x. Üçünü toplayınca 2(x + y + z) = a + b + c = 2u, yani x + y + z = u. Buradan x = u − a, y = u − b, z = u − c.
Sayılarla: a = 14, b = 15, c = 13. u = 42 ÷ 2 = 21; x = 21 − 14 = 7, y = 21 − 15 = 6, z = 21 − 13 = 8. Denetim: 7 + 6 = 13 = c.
I’yı köşelere birleştirelim: üçgen, yükseklikleri r olan üç üçgene ayrılır. Alan = r · a ÷ 2 + r · b ÷ 2 + r · c ÷ 2 = r · u. Bu üçgenin alanı 84 (taban 14, yükseklik 12): 84 = r · 21, r = 4.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

ABC üçgeninde a = 7, b = 8, c = 9. İç teğet çember BC’ye D’de değiyor. |BD| ve |DC| kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

u = (7 + 8 + 9) ÷ 2 = 12.
|BD|, B’den çıkan teğet parçası: u − b = 12 − 8 = 4.
|DC|, C’den çıkan teğet parçası: u − c = 12 − 9 = 3. Denetim: 4 + 3 = 7 = a.

|BD| = 4; |DC| = 3

Çözümlü örnek

Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Hipotenüs √(6² + 8²) = 10.
r = (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2 cm.
Denetim: alan 6 · 8 ÷ 2 = 24, u = 12; r = 24 ÷ 12 = 2.

2 cm

Çözümlü örnek

Çevresi 30 cm, alanı 45 cm² olan bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Yarı çevre u = 30 ÷ 2 = 15.
Alan = r · u: 45 = r · 15, r = 3 cm.

3 cm

4 · Dış teğet çember

Bir kenar ve iki uzantı

Bir çember, üçgenin dışında kalıp da üç kenar doğrusuna birden teğet olabilir. Teğet parçaları burada da eşit; bu kez köşeden çıkan parça yarı çevrenin kendisi çıkıyor.

Üçgenin bir kenarına ve öbür iki kenarın uzantılarına teğet olan çembere dış teğet çember denir. Bu çember BC’ye ve AB ile AC’nin uzantılarına teğet: A’nın karşısındaki dış teğet çember. Merkezi I_A, A’daki iç açıortay ile B ve C’deki dış açıortayların kesişimidir.
Yine her köşe bir dış nokta. A’dan |AN| = |AL| (mavi), B’den |BK| = |BN| = m (turuncu), C’den |CK| = |CL| = n (yeşil).
|AN| = c + m ve |AL| = b + n. Toplarsak |AN| + |AL| = b + c + m + n. m + n = |BK| + |KC| = a olduğu için toplam a + b + c = 2u. İki parça eşit: |AN| = |AL| = u.
Sayılarla: a = 3, b = 4, c = 5; u = 6. A’dan dış teğet çembere 6. B’den m = 6 − 5 = 1, C’den n = 6 − 4 = 2; 1 + 2 = 3 = a.
Aynı üçgenin iç teğet çemberini de çizelim: A’dan ona u − a = 3. A’dan iki çembere çizilen parçaların farkı a = 3. Alan iki yoldan: r · u = 1 · 6 = 6 ve r_a · (u − a) = 2 · 3 = 6.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

ABC üçgeninde a = 6, b = 7, c = 5. A’nın karşısındaki dış teğet çember BC’ye K’de, AB’nin uzantısına N’de değiyor. |AN| ve |BK| kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

u = (6 + 7 + 5) ÷ 2 = 9.
A’dan dış teğet çembere: |AN| = u = 9.
|BK| = |BN| = |AN| − c = 9 − 5 = 4. C’den: 9 − 7 = 2; 4 + 2 = 6 = a.

|AN| = 9; |BK| = 4

Çözümlü örnek

ABC üçgeninde b = 7 ve c = 5. İç teğet çember BC’ye D’de, A’nın karşısındaki dış teğet çember BC’ye K’de değiyor. |DK| kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

İç teğet çember: |BD| = u − b.
Dış teğet çember: |BK| = u − c.
|DK| = (u − c) − (u − b) = b − c = 7 − 5 = 2. a’yı bilmeden de bulunur.

Deney

Kenarları seç

a, b ve c’yi değiştir. Köşelerden çıkan eşit parçalar hep u − a, u − b ve u − c mi? Dış teğet çemberi açınca A’dan çıkan parçalar ne oluyor? Bir kenarı öbür ikisinin toplamı kadar yapmayı dene.

a = |BC|: 14b = |CA|: 15c = |AB|: 13

Yarı çevre u: —
Teğet parçaları: —
Denetim: —
Alan ve r: —
Dış teğet çember: —

5 · Birbirine teğet çemberler

Dıştan ve içten teğet

İki çemberin birbirine göre durumu, doğru ile çemberde olduğu gibi tek bir uzunlukla anlaşılır: merkezler arası uzaklık d. Aşağıdaki sayı doğrusu d’nin hangi aralıkta olduğunu gösteriyor.

Yarıçapları r₁ = 5 ve r₂ = 3 olan iki çember; merkezler arası uzaklık d. d = 11 > 5 + 3 iken çemberlerin ortak noktası yoktur.
Küçük çemberi yaklaştıralım. d = r₁ + r₂ = 8 olunca tek bir T noktasında değerler: çemberler dıştan teğettir. T, merkezleri birleştiren doğrunun üstündedir.
d = 5 iken r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂: çemberler iki noktada kesişir.
d = r₁ − r₂ = 2 olunca küçük çember büyüğe içeriden T’de değer: içten teğet. T yine O₁O₂ doğrusunun üstünde.
d = 1 < r₁ − r₂: küçük çember büyüğün içinde kalır, ortak nokta yoktur. (d = 0 olsaydı çemberler eş merkezli olurdu.)

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Merkezleri arası uzaklık 10 cm olan iki çemberden birinin yarıçapı 3 cm. Çemberler dıştan teğetse öbür çemberin yarıçapı kaç cm’dir? İçten teğet olsalardı kaç cm olurdu?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Dıştan teğet: 3 + r = 10, r = 7 cm.
İçten teğet: |r − 3| = 10. r = −7 olamaz; r = 13 cm.

7 cm; 13 cm

Çözümlü örnek

Kenarları |AB| = 5, |BC| = 6 ve |CA| = 7 olan ABC üçgeninin köşeleri merkez olmak üzere üç çember çiziliyor; her ikisi dıştan teğet. Yarıçaplar kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Dıştan teğet çemberlerde merkezler arası uzaklık, yarıçaplar toplamıdır: r_A + r_B = 5, r_B + r_C = 6, r_C + r_A = 7.
Toplayınca 2 · (r_A + r_B + r_C) = 18, yani toplam 9.
r_A = 9 − 6 = 3, r_B = 9 − 7 = 2, r_C = 9 − 5 = 4. Tıpkı u − a gibi: çemberler, üçgenin iç teğet çemberinin değme noktalarında birbirine değer.

3, 2 ve 4

6 · Gökyüzünde teğet çemberler

Tutulmanın dört teması

Güneş tutulmasında Ay, gökyüzünde Güneş’in önünden geçer. İkisi de gökyüzünde bir disk, yani bir çember gibi görünür. Gökbilimciler tutulmayı dört anla anlatır ve dördü de iki çemberin teğet olduğu anlardır: 1. temasta diskler dıştan teğettir, tutulma başlar. 2. temasta içten teğettir, tam (ya da halkalı) evre başlar. 3. temasta yine içten teğettir, bu evre biter. 4. temasta yine dıştan teğettir, tutulma biter.

Gökyüzünde uzunluk yerine açı ölçülür. Disklerin görünür yarıçapları yay dakikasıyla (1° = 60′) verilir; merkezler arası uzaklık d de öyle.

Zaman: 1. temastan 20 dk sonra

Merkezler arası d: —
Yarıçaplar: —
Durum: —
Temas anları: —

Basitleştirilmiş model: Ay’ın yolu Güneş’in merkezinden geçiyor ve Ay, Güneş’e göre dakikada 0,5′ (saatte 30′) kayıyor. Gerçek süreler gözlem yerine ve Dünya’nın dönmesine göre değişir.

Çözümlü örnek

Bir tutulmada Güneş’in görünür yarıçapı 16′, Ay’ınki 15′. 1. ve 2. temas anlarında merkezler arası uzaklık kaç yay dakikasıdır? Ay, Güneş’e göre saatte 30′ kayarsa ve yolu Güneş’in merkezinden geçerse 1. temastan 2. temasa kaç dakika geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle

1. temas, dıştan teğet: d = 16′ + 15′ = 31′.
2. temas, içten teğet: d = 16′ − 15′ = 1′.
Ay 31′ − 1′ = 30′ yol alır; saatte 30′ hızla 60 dakika.

31′ ve 1′; 60 dakika

Çözümlü örnek

Aynı tutulmada 2. ve 3. temas arasında ne görülür ve bu evre kaç dakika sürer?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Ay’ın görünür yarıçapı (15′) Güneş’inkinden (16′) küçük: Ay Güneş’in içine sığar. Ortada Ay’ın çevresinde 1′ genişliğinde parlak bir halka kalır: halkalı tutulma.
2. temasta Ay’ın merkezi Güneş’inkinin 1′ sağında, 3. temasta 1′ solunda: 2′ yol. Saatte 30′ hızla 2 ÷ 30 saat = 4 dakika.

Halkalı tutulma; 4 dakika

Kısa tarih

Öklid’den Pitot’ya

Öklid · MÖ 300 civarı

Elemanlar’ın III. kitabı teğetin değme noktasındaki yarıçapa dik olduğunu kanıtlar ve dışarıdaki bir noktadan çembere teğet çizmeyi gösterir. IV. kitap bir üçgenin içine teğet çember çizer.

Apollonios · MÖ 3. yüzyıl

Pergeli Apollonios’un Teğetler adlı kitabı, verilen üç çembere (ya da doğruya, noktaya) teğet bir çember çizme problemini ele aldı. Kitap kayboldu; içeriğini İskenderiyeli Pappos’un aktarımından biliyoruz.

Heron · 1. yüzyıl

İskenderiyeli Heron, Metrika’da üçgenin alanını kenarlarından veren formülü kanıtladı. Kanıtı iç teğet çembere dayanır: alan = r · u ve köşelerden çıkan teğet parçaları u − a, u − b, u − c.

Pitot · 1725

Fransız mühendis Henri Pitot, teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar toplamlarının eşit olduğunu kanıtladı; tersini 1846’da Jakob Steiner gösterdi. Uçakların hız ölçümünde kullanılan Pitot tüpü de onun buluşudur.

Öklid’in Elemanlar’ı · Apollonios

Özet

Tek bakışta

teğet ⊥ yarıçapTeğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir.

|PA| = |PB|Dışarıdaki bir noktadan çizilen iki teğet parçası eşittir.

|PA|² = |OP|² − r²OAP dik üçgeninde Pisagor.

OP açıortayAPB ve AOB açılarını ortalar; AB kirişine diktir.

a + c = b + dTeğetler dörtgeninde karşılıklı kenar toplamları eşittir.

h = 2rİç teğet çemberi olan yamukta yükseklik, çemberin çapıdır.

u − aİç teğet çembere A’dan çizilen teğet parçası; u yarı çevre.

alan = r · uİç teğet çemberin yarıçapı: r = alan ÷ u.

r = (a + b − c) ÷ 2Dik üçgende iç teğet yarıçapı (c hipotenüs).

uA’nın karşısındaki dış teğet çembere A’dan çizilen teğet parçası.

d = r₁ + r₂Dıştan teğet çemberler; içten teğette d = |r₁ − r₂|.

dört temasTutulmada diskler 1. ve 4. temasta dıştan, 2. ve 3. temasta içten teğet.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. Yarıçapı 8 cm olan çemberin merkezine 17 cm uzaklıktaki P noktasından çembere çizilen teğet parçası kaç cm’dir?

2. Yarıçapı 4 cm olan çembere P’den çizilen iki teğet arasındaki açı 60° ise |OP| kaç cm’dir?

3. ABCD teğetler dörtgeninde |AB| = 8, |BC| = 11, |CD| = 9 ise |DA| kaçtır?

4. Çevresi 36 cm olan ABCD teğetler dörtgeninde |AB| = 10 cm ise |CD| kaç cm’dir?

5. Aşağıdaki dörtgenlerden hangisinin her zaman iç teğet çemberi vardır?

6. Kenarları a = 5, b = 6, c = 7 olan ABC üçgeninde iç teğet çembere A’dan çizilen teğet parçası kaçtır?

7. Kenarları 5, 12 ve 13 cm olan dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç cm’dir?

8. Kenarları a = 6, b = 8, c = 10 olan ABC üçgeninde A’nın karşısındaki dış teğet çembere A’dan çizilen teğet parçası kaçtır?

9. Yarıçapları 7 cm ve 3 cm olan iki çember içten teğettir. Merkezleri arası uzaklık kaç cm’dir?

10. Bir tutulmada Güneş’in görünür yarıçapı 16′, Ay’ınki 15′. 1. temas anında (diskler dıştan teğet) merkezler arası açısal uzaklık kaç yay dakikasıdır?

Bu konuda neler öğrendin?

Teğet parçalarının eşitliği; iç ve dış teğet çemberler.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Çemberde Teğet: sık sorulanlar

Çemberde Teğet kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Çember ve Daire” ünitesinde, “Çemberde Teğet” adıyla yer alır.

Çemberde Teğet TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları