Ana içeriğe atla

AYT · Çember ve Daire

Dairenin Alanı, Çevresi ve Daire Dilimi

Bir tekerleği yuvarla, bir daireyi dilimle, bir dilimi yeniden diz: çevre, alan, yay ve dilim aynı fikirden çıkar. Gökyüzünde Ay’ın yolu ve radyo teleskoplarının çanakları da bu kurallara uyar.

  • 2πrçevre
  • πr²alan
  • 2πr · α ÷ 360yay uzunluğu
  • l · r ÷ 2dilim alanı

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde çokgenin kenar sayısını, dilimin açısını ve yarıçapını değiştir; ne değişiyor, ne değişmiyor gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Dairenin Alanı ve Çevresi nedir?

Yarıçapı r olan çemberin uzunluğu 2πr, dairenin alanı πr²’dir; π, bir çemberin çevresinin çapına oranıdır ve yaklaşık 3,14’tür. Merkez açısı α derece olan yayın uzunluğu çevrenin α/360’ı, daire diliminin alanı da dairenin alanının α/360’ıdır. İç içe iki dairenin arasındaki halkanın alanı, alanların farkıdır.

MEB konusu
Dairenin Çevresi ve Alanı
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Çevre ve π

Tekerleği bir tur yuvarla

Çemberin çevresini cetvelle ölçemeyiz, ama onu düz bir çizgiye açabiliriz. Tekerleği bir tur yuvarlamak tam da bunu yapar.

d bir tur = çevre d d d ≈ 0,14d Ç = π · d
  1. Çapı d olan bir tekerlek. Kenarındaki kırmızı nokta şu an yere değiyor.
  2. Tekerleği kaymadan bir tam tur yuvarlayalım. Kırmızı nokta yeniden yere değdiğinde yerdeki iz, çemberin çevresi kadardır: çevre düz bir çizgiye açıldı.
  3. İzin altına çap uzunluğunda çubuklar dizelim: 3 çap ve biraz daha sığıyor. Artan parça çapın yaklaşık 0,14’ü.
  4. Tekerlek büyük de olsa küçük de olsa çevre ÷ çap hep aynı sayıdır: π ≈ 3,14. Buradan Ç = π · d = 2πr.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

Yarıçapı 7 cm olan çemberin çevresi kaç cm’dir? (π ≈ 22/7)

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Ç = 2πr = 2π · 7 = 14π.
  2. 14 · 22/7 = 44 cm.

14π ≈ 44 cm

Çözümlü örnek

Bir çemberin çapı 4 cm artırılırsa çevresi kaç cm artar?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çap d iken çevre πd, d + 4 iken π(d + 4) = πd + 4π.
  2. Fark 4π cm: ilk çap kaç olursa olsun aynı.

4π cm

Çözümlü örnek

Hayalî bir deney: Dünya’nın ekvatoruna sıkıca bir ip sarılmış. İpi 1 m uzatıp her yerden yere eşit uzaklıkta tutarsak ip yerden kaç cm yükselir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çevre 1 m arttı: 2π · Δr = 1 → Δr = 1 ÷ (2π) m.
  2. 1 ÷ (2π) ≈ 0,159 m ≈ 16 cm. Altından bir kedi geçebilir!
  3. Şaşırtıcı olan: Dünya’nın yarıçapı hiç kullanılmadı. Bir futbol topuna sarılı ipi 1 m uzatsak da ip 16 cm yükselir.

≈ 16 cm, çemberin büyüklüğünden bağımsız

Deney

π’yi iki çokgen arasına sıkıştır

Çapı 1 birim olan çemberin çevresi tam π. İçteki çokgenin çevresi ondan kısa, dıştakininki uzun. Kenar sayısını artır: π hangi iki sayının arasına sıkışıyor?

İçteki çokgen
—
Dıştaki çokgen
—
π nerede?
—

2 · Alan

Daireyi dilimle, dikdörtgen yap

Dairenin alanını bildiğimiz bir şekle, dikdörtgene çevireceğiz. Dilim sayısı arttıkça yaklaşım kusursuzlaşır.

r πr πr πr πr r
  1. Yarıçapı r olan bir daire. Çevresinin üst yarısı mavi, alt yarısı turuncu: her biri πr uzunluğunda.
  2. Daireyi 8 eş dilime keselim. Mavi dilimleri tepesi aşağı, turuncu dilimleri tepesi yukarı gelecek biçimde yan yana dizelim: dalgalı bir paralelkenar çıktı. Parçalar aynı, alan değişmedi.
  3. Daha ince kesince (16 dilim) kenarlar düzleşiyor, yan kenarlar dikleşiyor.
  4. 32 dilimde neredeyse bir dikdörtgen: uzun kenarı yarım çevre πr, kısa kenarı yarıçap r. Alan = πr · r = πr².

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

Alanı 49π cm² olan dairenin çevresi kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. πr² = 49π → r² = 49 → r = 7.
  2. Ç = 2π · 7 = 14π cm.

14π cm

Çözümlü örnek

Bir dairenin yarıçapı %20 artırılırsa alanı yüzde kaç artar?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Yeni yarıçap 1,2r; yeni alan π(1,2r)² = 1,44 · πr².
  2. Alan 1,44 katına çıktı: artış %44. (%40 değil: alan yarıçapın karesiyle büyür.)

%44

3 · Yay ve daire dilimi

Bütünün bir kesri

İki yarıçap ve aralarındaki yayın sınırladığı bölgeye daire dilimi denir. Merkez açısı α ise dilim, dairenin α/360’ı kadardır.

120° l l ÷ 2 l ÷ 2 r
  1. Daireyi merkezden çıkan üç yarıçapla 3 eş dilime ayıralım. Her dilimin merkez açısı 360° ÷ 3 = 120°.
  2. Üstteki dilimin yayı çevrenin üçte biri: l = 2πr · 120 ÷ 360. Genel olarak merkez açısı α olan yayın uzunluğu l = 2πr · α ÷ 360.
  3. Dilimin alanı da dairenin üçte biri. Genel olarak A = πr² · α ÷ 360: yay da alan da merkez açıyla doğru orantılı.
  4. Daireye yaptığımızı dilime yapalım: 8 ince dilime kesip ters-düz dizelim. Tabanı l ÷ 2, yüksekliği r olan bir paralelkenara yaklaşıyor: A = l · r ÷ 2.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

Yarıçapı 12 cm, merkez açısı 135° olan daire diliminin yay uzunluğunu ve alanını bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 135 ÷ 360 = 3/8.
  2. l = 2π · 12 · 3/8 = 9π cm.
  3. A = π · 144 · 3/8 = 54π cm². Denetim: l · r ÷ 2 = 9π · 12 ÷ 2 = 54π.

9π cm ve 54π cm²

Çözümlü örnek

Yarıçapı 6 cm olan bir daire diliminin yay uzunluğu 5π cm’dir. Merkez açısı kaç derece, alanı kaç cm²’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çevre 2π · 6 = 12π. α ÷ 360 = 5π ÷ 12π = 5/12 → α = 360° · 5/12 = 150°.
  2. A = l · r ÷ 2 = 5π · 6 ÷ 2 = 15π cm².

150° ve 15π cm²

Çözümlü örnek

Alanı 24π cm², yay uzunluğu 4π cm olan daire diliminin yarıçapı ve merkez açısı nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. A = l · r ÷ 2: 24π = 4π · r ÷ 2 → r = 12 cm.
  2. Çevre 24π. α ÷ 360 = 4π ÷ 24π = 1/6 → α = 60°.

12 cm ve 60°

Çözümlü örnek

Yarıçapı 9 cm, merkez açısı 80° olan daire diliminin çevresi kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. l = 2π · 9 · 80 ÷ 360 = 18π · 2/9 = 4π.
  2. Çevre = 2r + l = 18 + 4π cm ≈ 30,57 cm. Yalnız yayı yazmak sık yapılan hatadır.

18 + 4π cm

Deney

Dilimi büyüt

Açıyı ve yarıçapı değiştir. Açıyı 2 katına çıkarınca yay ve alan ne oluyor? Yarıçapı 2 katına çıkarınca?

Dairedeki payı
—
Yay uzunluğu
—
Dilim alanı
—
l · r ÷ 2
—
Dilimin çevresi
—

4 · Halka ve bileşik şekiller

Ekle, çıkar, sadeleştir

Karmaşık görünen şekillerin çoğu dairelerden, dilimlerden ve çokgenlerden eklenerek ya da çıkarılarak kurulur. Yöntem hep aynı: parçala, bildiğin alanları topla ya da çıkar.

R = 5 r = 3 90° 4π A B C 8π 4,5π 12,5π ay ay 24
  1. İç içe iki daire: yarıçaplar R = 5 ve r = 3. Aradaki halkanın alanı, büyük daireden küçüğü çıkararak bulunur: π · 5² − π · 3² = 16π.
  2. Aynı merkez açılı iki dilimin farkı bir halka dilimidir. 90°’lik halka dilimi, halkanın dörtte biri: 16π ÷ 4 = 4π.
  3. Başka bir bileşik şekil: dik kenarları 6 ve 8, hipotenüsü 10 olan dik üçgenin her kenarına dışa doğru yarım daire çizelim. Alanları 4,5π, 8π ve 12,5π: küçük ikisinin toplamı büyüğe eşit (Pisagor’un yarım daireli hâli).
  4. Büyük yarım daireyi üçgenin üstüne çevirelim: C köşesi bu yarım dairenin üzerinde. Küçük yarım dairelerden dışarı taşan iki ayın toplam alanı 4,5π + 8π + 24 − 12,5π = 24: üçgenin alanı. π tamamen sadeleşti!

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

İç yarıçapı 3 cm, dış yarıçapı 7 cm olan halkanın 90°’lik diliminin alanını ve çevresini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Alan: π(7² − 3²) ÷ 4 = 40π ÷ 4 = 10π cm².
  2. Yaylar: 2π · 7 ÷ 4 = 3,5π ve 2π · 3 ÷ 4 = 1,5π; toplam 5π.
  3. İki düz kenar 7 − 3 = 4’er cm. Çevre = 5π + 8 cm.

10π cm² ve 5π + 8 cm

Çözümlü örnek

Kenarı 4 cm olan bir karenin içine kenarlarına değen bir daire çiziliyor. Karenin köşelerinde, dairenin dışında kalan bölgelerin toplam alanı kaç cm²’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Dairenin çapı karenin kenarı: r = 2, alan 4π.
  2. Kare − daire = 16 − 4π cm² ≈ 3,43 cm².

16 − 4π cm²

Çözümlü örnek

Yarıçapı 6 cm olan bir dairede 60°’lik merkez açının gördüğü kiriş ile yay arasında kalan bölgenin (daire parçasının) alanı kaç cm²’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Dilim: π · 36 ÷ 6 = 6π.
  2. İki yarıçap ve kiriş eşkenar üçgen oluşturur (iki kenar 6, aradaki açı 60°): alanı 6² · √3 ÷ 4 = 9√3.
  3. Daire parçası = 6π − 9√3 cm² ≈ 3,26 cm².

6π − 9√3 cm²

5 · Gökyüzünde daireler

Ay’ın yolu, dev çanaklar

Ay, Dünya’nın çevresinde ortalama 384.400 km uzaklıkta döner ve yıldızlara göre yaklaşık 27,3 günde bir tur atar. Yörüngeyi çember sayarsak Ay her gün 360° ÷ 27,3 ≈ 13,2°’lik bir yay çizer. Yönlü Açılar dersinde bu açıyı gökyüzünde görmüştük; şimdi yayın uzunluğunu bulalım.

Radyo teleskopları uzaydan gelen zayıf sinyalleri dev çanaklarla toplar; ne kadar çok sinyal toplanacağını çanağın ağız dairesinin alanı belirler. Çin’deki FAST’in çanağının çapı 500 m; Porto Riko’daki Arecibo teleskobununki 305 m’ydi (Arecibo 2020’de çöktü). Aşağıda çanakların bütün ağız dairesini hesaplıyoruz; FAST gözlem yaparken bir anda bunun yaklaşık 300 m çaplı bir bölümünü kullanır.

Dünya 1 gün ≈ 13,2°
Ay’ın yörüngesi (ölçeksiz): yarıçap ≈ 384.400 km, bir tur ≈ 27,3 gün.
FAST · 500 m Arecibo · 305 m futbol sahası
İki çanağın ağız daireleri ve 105 m × 68 m’lik bir futbol sahası, aynı ölçekte.

Çözümlü örnek

Ay’ın yörüngesini yarıçapı 384.400 km olan bir çember sayalım. Ay bir günde yörüngesinde kaç km yol alır? Saniyede kaç km eder?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Bir günde merkez açı 360° ÷ 27,3; yay, çevrenin 27,3’te biri.
  2. l = 2π · 384.400 ÷ 27,3 ≈ 88.500 km.
  3. Bir günde 86.400 saniye var: ≈ 1,02 km/s. NASA’nın verdiği ortalama hız da yaklaşık 1,02 km/s.

≈ 88.500 km; saniyede yaklaşık 1 km

Çözümlü örnek

FAST’in çanağının ağız dairesinin alanı kaç m²’dir? Bu, 105 m × 68 m’lik kaç futbol sahası eder? Arecibo’nun ağız alanının kaç katıdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. r = 250 m: A = π · 250² ≈ 196.350 m².
  2. Bir saha 7.140 m²: 196.350 ÷ 7.140 ≈ 27,5 saha.
  3. Arecibo: π · 152,5² ≈ 73.062 m². Oran (500 ÷ 305)² ≈ 2,69.

≈ 196.350 m², yaklaşık 27,5 saha; Arecibo’nun ≈ 2,69 katı

Kısa tarih

Tarladan aşkın sayıya

Rhind papirüsü · M.Ö. 1650 civarı

Mısırlı kâtip Ahmes, çapı 9 birim olan yuvarlak bir tarlanın alanını kenarı 8 birim olan karenin alanına eşit aldı (50. problem). Bu, π yerine 256/81 ≈ 3,16 kullanmak demektir.

Arşimet · M.Ö. 3. yüzyıl

Çemberin Ölçülmesi’nde dairenin alanının, dik kenarları yarıçap ve çevre olan dik üçgenin alanına eşit olduğunu kanıtladı: dilimleme fikrinin kesin hâli. 96-genlerle 3 10/71 < π < 3 1/7 buldu.

el-Kâşî · 1424

Semerkant’ta 805.306.368 kenarlı çokgenlerle π’yi 16 ondalık basamak doğrulukla hesapladı.

Lindemann · 1882

π’nin tam sayı katsayılı hiçbir polinom denkleminin kökü olmadığını (aşkın olduğunu) kanıtladı. Böylece yalnız pergel ve cetvelle bir daireyle eşit alanlı kare çizmenin imkânsız olduğu anlaşıldı.

Arşimet, π ve çokgenler · Semerkant Rasathanesi ve el-Kâşî · Rhind papirüsü

Özet

Tek bakışta

πHer çemberde çevre ÷ çap; ≈ 3,14 ya da 22/7. Ondalıkları tekrar etmeden sonsuza gider.
Ç = 2πr = πdÇevre yarıçapla doğru orantılı: yarıçap Δr artınca çevre 2π · Δr artar.
A = πr²Dilimlenip ters-düz dizilen daire: uzunluk πr, yükseklik r.
A = πd² ÷ 4Çap verilmişse; ya da önce yarıçapı bul: r = d ÷ 2.
k katıYarıçap k katına çıkınca çevre k, alan k² katına çıkar.
l = 2πr · α ÷ 360Yay uzunluğu çevrenin α/360’ı.
A = πr² · α ÷ 360Dilim alanı dairenin α/360’ı.
A = l · r ÷ 2Yay uzunluğu ve yarıçap biliniyorsa açıya gerek yok.
radyanlaAçı θ radyan ise l = r · θ ve A = r² · θ ÷ 2.
dilimin çevresiİki yarıçap ve yay: 2r + l.
halkaπ(R² − r²); halka dilimi bunun α/360’ı. Daire parçası = dilim − üçgen.
ekle-çıkarBileşik şekli bilinen şekillerin toplamı ya da farkı olarak yaz: dik üçgenin iki ayı = üçgen.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. Yarıçapı 5 cm olan dairenin alanı kaç cm²’dir?
2. Çevresi 12π cm olan dairenin alanı kaç cm²’dir?
3. Bir dairenin yarıçapı 3 katına çıkarılırsa alanı kaç katına çıkar?
4. Yarıçapı 9 cm, merkez açısı 40° olan daire diliminin yay uzunluğu kaç cm’dir?
5. Yarıçapı 6 cm, merkez açısı 120° olan daire diliminin alanı kaç cm²’dir?
6. Yay uzunluğu 3π cm, yarıçapı 10 cm olan daire diliminin alanı kaç cm²’dir?
7. Yarıçapı 4 cm olan bir daire diliminin yay uzunluğu 2π cm ise merkez açısı kaç derecedir?
8. İç yarıçapı 2 cm, dış yarıçapı 5 cm olan halkanın alanı kaç cm²’dir?
9. Kenarı 6 cm olan bir karenin içine kenarlarına değen bir daire çiziliyor. Karenin dairenin dışında kalan bölgesinin alanı kaç cm²’dir?
10. Yarıçapı 10 cm, merkez açısı 72° olan daire diliminin çevresi kaç cm’dir?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Dairenin çevresi ve alanı, daire dilimi alanı ve yay uzunluğu.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Dairenin Alanı ve Çevresi: sık sorulanlar

Dairenin Alanı ve Çevresi kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Çember ve Daire” ünitesinde, “Dairenin Çevresi ve Alanı” adıyla yer alır.

Dairenin Alanı ve Çevresi TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları