AYT · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel Fonksiyon Konu Anlatımı

Her adımda aynı sayıyla çarpılan büyüklükler: ikiye katlanan puan, yarılanan plütonyum. Hepsinin grafiği aynı ailenin üyesi.

f(x) = aˣa > 0, a ≠ 1
(0, 1)her grafik buradan geçer
a > 1artan
0 < a < 1azalan

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde tabanı değiştir, grafiği kaydır, Voyager’ın yıllarını ilerlet ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Üstel Fonksiyon nedir?

Üstel fonksiyon, değişkenin üste bulunduğu f(x) = aˣ biçimindeki fonksiyondur (a > 0, a ≠ 1). Taban 1’den büyükse fonksiyon artan, 0 ile 1 arasındaysa azalandır. Grafik her zaman (0, 1) noktasından geçer ve x eksenini kesmez, çünkü aˣ her zaman pozitiftir. Fonksiyon, gerçek sayılardan pozitif gerçek sayılara bire bir ve örtendir.

Sınav: AYT Matematik
Sınıf ve ünite: 12. sınıf · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
MEB konusu: Üstel Fonksiyon
Bu derste: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Toplamak ve çarpmak

Yarışı kim kazanır?

Üslü İfadeler dersinde kâğıdı katlayarak ikiye katlanmayı görmüştük. Şimdi üssü bir değişken yapıyoruz: x değiştikçe aˣ nasıl değişir? Önce iki büyüme biçimini yarıştıralım.

İki oyuncu 1 puanla başlıyor. A her turda puanına 10 ekliyor, B her turda puanını 2 ile çarpıyor.
İlk üç tur: A 11, 21, 31; B 2, 4, 8. Toplamanın başı güçlü: A açık ara önde.
4. ve 5. turlar: A 41 ve 51, B 16 ve 32. A her turda yine 10 ekliyor; B’nin eklediği miktar ise her turda büyüyor: 8, 16…
6. turda B, 64 puanla A’yı (61) geçiyor. Bundan sonra A bir daha yetişemez.
10. turda A 101 puanda, B 1024 puanda. Dikey eksen büyüdükçe A’nın çubukları neredeyse görünmez oldu.
A’nın puanı g(x) = 1 + 10x: eşit adımlarda eşit fark (doğrusal). B’nin puanı f(x) = 2ˣ: eşit adımlarda eşit oran. Değişken üste olduğu için bu tür fonksiyonlara üstel fonksiyon denir.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

f(x) = 4ˣ ise f(3/2) + f(−1/2) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

4^3/2 = (√4)³ = 2³ = 8.
4^−1/2 = 1 ÷ √4 = 1/2.
8 + 1/2 = 17/2.

17/2

Çözümlü örnek

f(x) = (m − 1)ˣ bir üstel fonksiyon ise m hangi değerleri alabilir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Taban pozitif olmalı: m − 1 > 0 → m > 1.
Taban 1 olamaz: m − 1 ≠ 1 → m ≠ 2.
Sonuç: m > 1 ve m ≠ 2.

m ∈ (1, 2) ∪ (2, ∞)

Çözümlü örnek

f(x) = 3ˣ olmak üzere f(x + 2) ÷ f(x) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

f(x + 2) = 3ˣ⁺² = 3ˣ · 3² = 9 · 3ˣ.
9 · 3ˣ ÷ 3ˣ = 9.

9: x 2 artınca değer 9 katına çıkar.

2 · Grafik

Noktadan eğriye

Bir fonksiyonu tanımanın en iyi yolu grafiğine bakmaktır. f(x) = 2ˣ için birkaç değer hesaplayıp noktaları koordinat düzlemine yerleştirelim.

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
2ˣ	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

x’e 0, 1, 2, 3 verelim: 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8. x 1 artınca y iki katına çıkıyor: noktalar hızla yükseliyor.
Negatif x’ler: 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4, 2⁻³ = 1/8. x 1 azalınca y yarıya iniyor: noktalar x eksenine yaklaşıyor.
Üs kesirli de olabilir: 2^1/2 = √2 ≈ 1,41. Her gerçek x için 2ˣ tanımlı; noktalar kesintisiz bir eğri oluşturuyor. Tanım kümesi ℝ.
Solda eğri x eksenine sınırsızca yaklaşır ama hiç değmez: 2ˣ hiçbir x için 0 ya da negatif olmaz. Görüntü kümesi (0, ∞). Grafik y eksenini (0, 1) noktasında keser.
y = (1/2)ˣ = 2⁻ˣ: x yerine −x yazmak grafiği y eksenine göre aynalar. Turuncu eğri azalıyor; o da (0, 1)’den geçiyor ve x eksenine bu kez sağda yaklaşıyor.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

(2, 9) ve (−2, k) noktaları y = aˣ grafiği üzerindedir. a ve k kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

a² = 9 ve a > 0 olduğundan a = 3.
k = 3⁻² = 1/3² = 1/9.

a = 3 ve k = 1/9

Çözümlü örnek

f(x) = (1/2)ˣ ise f(−3) + f(2) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

f(−3) = (1/2)⁻³ = 2³ = 8.
f(2) = (1/2)² = 1/4.
8 + 1/4 = 33/4.

33/4

Deney

Tabanı değiştir

a’yı küçükten büyüğe kaydır. Grafik hangi noktadan hiç ayrılmıyor? a 1’i geçince ne değişiyor? a = 1 olunca ne oluyor?

Taban a: 2

f(x) = 2ˣ

f(0): —
f(1) ve f(−1): —
Durum: —
Görüntü kümesi: —

3 · Tabana göre grafik

Artan mı, azalan mı?

Bütün grafikler (0, 1)’den geçiyor ama tabana göre biçimleri değişiyor. Birkaç tabanı aynı düzlemde karşılaştıralım.

y = 2ˣ ve y = 3ˣ ikisi de (0, 1)’den geçiyor, çünkü 2⁰ = 3⁰ = 1. İkisi de artan.
x = 1’de 3¹ = 3 ve 2¹ = 2. x > 0 iken tabanı büyük olan grafik üstte: daha hızlı büyüyor.
x = −1’de 3⁻¹ = 1/3 ve 2⁻¹ = 1/2. x < 0 iken sıra ters döner: tabanı büyük olan grafik altta, x eksenine daha çabuk yaklaşıyor.
y = (1/2)ˣ ve y = (1/3)ˣ, mavi ve mor grafiklerin y eksenine göre ayna görüntüleri. Tabanı 1’den küçük olan bu grafikler azalan.
Kısacası: a > 1 ise üstel fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise azalan. Hepsi (0, 1)’den geçer; hiçbiri x eksenine değmez.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

a = 3^0,5, b = (1/3)^−0,4, c = 9^0,3 sayılarını küçükten büyüğe sıralayın.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Hepsini 3 tabanında yaz: b = (3⁻¹)^−0,4 = 3^0,4 ve c = (3²)^0,3 = 3^0,6.
Taban 3 > 1: üssü büyük olan büyük. 0,4 < 0,5 < 0,6.
b < a < c.

b < a < c

Çözümlü örnek

f(x) = (2m − 5)ˣ azalan bir üstel fonksiyon ise m hangi aralıktadır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Azalan olması için taban 0 ile 1 arasında olmalı: 0 < 2m − 5 < 1.
Her tarafa 5 ekle: 5 < 2m < 6.
2’ye böl: 5/2 < m < 3.

5/2 < m < 3

4 · Bire bir ve örten

Her pozitif sayıya tek bir üs

Yatay doğru testini hatırla: grafiği her yatay doğru en çok bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. y = 2ˣ grafiğini farklı yüksekliklerdeki yatay doğrularla keselim.

y = 4 doğrusu grafiği tek noktada kesiyor: 2ˣ = 4 ancak x = 2 iken.
y = 3 doğrusu da tek noktada kesiyor. 2¹ = 2 ve 2² = 4 olduğundan bu x, 1 ile 2 arasında bir sayı: x ≈ 1,58.
y = 1/2 doğrusu x = −1’de kesiyor. Grafik hep yükseldiği (artan olduğu) için hiçbir yatay doğru onu iki kez kesemez: f bire bir.
Doğruyu 0’a indirirken kesişim noktası sola kaçıyor ve kayboluyor. y = 0 ya da y = −1 doğrusu grafiği hiç kesmiyor: 0 ve negatif sayılar hiçbir x’in görüntüsü değil. Değer kümesi ℝ alınırsa f örten değil.
Değer kümesi (0, ∞) alınırsa her eleman tam bir kez kullanılır: f: ℝ → (0, ∞), f(x) = aˣ bire bir ve örtendir. Bu yüzden tersi de bir fonksiyondur. y’den x’e geri dönen bu fonksiyona ileride logaritma diyeceğiz.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

2^{3x − 1} = 2^{x + 5} ise x kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

f(x) = 2ˣ bire bir olduğu için üsler eşit olmalı.
3x − 1 = x + 5 → 2x = 6 → x = 3.

x = 3

Çözümlü örnek

f: ℝ → B, f(x) = 5ˣ fonksiyonu bire bir ve örten ise B kümesi nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

5ˣ yalnız pozitif değerler alır ve her pozitif değeri tam bir kez alır: görüntü kümesi (0, ∞).
Örten olması için değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalı: B = (0, ∞).

B = (0, ∞)

5 · Grafiği kaydırmak

y = aˣ⁻ʰ + k

Tabanı seç, h ve k’yi değiştir. Grafik hangi yatay doğruya yaklaşıyor? Hangi nokta hep (h, 1 + k) oluyor?

Fonksiyonların dönüşümlerinden biliyoruz: x yerine x − h yazmak grafiği h birim sağa, sonuna + k eklemek k birim yukarı kaydırır. Üstel grafikte bunun iki önemli sonucu var: (0, 1) noktası (h, 1 + k) noktasına gider ve grafiğin yaklaştığı yatay doğru y = 0’dan y = k’ye kayar.

Yatay kayma h: 1 Dikey kayma k: 2

f(x) = 2ˣ⁻¹ + 2

Yaklaştığı doğru: —
Özel nokta: —
y eksenini kestiği yer: —
Görüntü kümesi: —

Çözümlü örnek

f(x) = 2^{x − 1} + 3 fonksiyonunun görüntü kümesini ve grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle

2^{x − 1} > 0 olduğundan f(x) > 3: görüntü kümesi (3, ∞).
f(0) = 2⁻¹ + 3 = 1/2 + 3 = 7/2: nokta (0, 7/2).

(3, ∞) ve (0, 7/2)

Çözümlü örnek

y = aˣ + b grafiği (0, 5) ve (1, 7) noktalarından geçiyor. a ve b kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

x = 0: a⁰ + b = 1 + b = 5 → b = 4.
x = 1: a + 4 = 7 → a = 3.

a = 3 ve b = 4

6 · Uzayda üstel azalma

Voyager’ın plütonyum pili

1977’de fırlatılan Voyager 1 ve Voyager 2, Güneş’ten o kadar uzaktalar ki güneş panelleri işe yaramazdı. Enerjilerini plütonyum-238 yakıtlı üçer radyoizotop termoelektrik jeneratörden alırlar: yakıt bozunurken ısı verir, bu ısı elektriğe çevrilir. Fırlatıldıklarında her sondanın toplam elektrik gücü yaklaşık 470 W’tı (jeneratör başına yaklaşık 157 W).

Plütonyum-238’in yarı ömrü yaklaşık 87,7 yıldır: her 87,7 yılda yakıtın verdiği ısı yarıya iner. Fırlatmadan t yıl sonra ısıdan kalan oran f(t) = (1/2)^{t ÷ 87,7}. Bu bir üstel fonksiyondur ve tabanı 1’den küçük olduğu için azalır.

Fırlatmadan bu yana: 49 yıl

f(t) = (1/2)^{t ÷ 87,7}

Yıl: —
Yarı ömür sayısı: —
Isıdan kalan: —

Çözümlü örnek

Plütonyum-238’in yarı ömrü 87,7 yıl. Kaç yıl sonra yakıtın ısısı başlangıçtakinin 1/8’ine iner?

Çözümü gösterÇözümü gizle

(1/2)ⁿ = 1/8 = (1/2)³ → n = 3 yarı ömür.
3 · 87,7 = 263,1 yıl.

263,1 yıl sonra, yani 2240 yılı civarında

Çözümlü örnek

Voyager 1977’de fırlatıldı. Yalnız yakıtın bozunmasını hesaba katan modele göre 2026’da yakıtın ısısı başlangıcın yaklaşık yüzde kaçıdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

t = 2026 − 1977 = 49 yıl; 49 ÷ 87,7 ≈ 0,56 yarı ömür.
f(49) = (1/2)^{49 ÷ 87,7} ≈ 0,679 (hesap makinesiyle), yani yaklaşık %68.
Henüz bir yarı ömür geçmediği için (49 < 87,7) kalan %50’den fazla olmalı: sonuç tutarlı.

Yaklaşık %68

Çözümlü örnek

Işık bir toz bulutunu geçerken her katmanda %20’si soğuruluyor (örnek değer). 3 katmandan sonra ışığın yüzde kaçı geçer?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Her katman ışığın %80’ini geçirir: n katmandan sonra kalan oran 0,8ⁿ. Taban 1’den küçük: azalan üstel fonksiyon.
0,8³ = 0,512: %51,2.

%51,2

Plütonyum-238 yarı ömrü ≈ 87,7 yıl. Voyager: üç MHW-RTG, fırlatıldığında toplam ≈ 470 W elektrik (jeneratör başına ≈ 157 W); güç kaybı yılda ≈ 4 W (NASA/JPL Voyager görev sayfaları). Işık soğurulması örneğindeki oran hayalîdir.

Karbon-14 ve üstel azalma

Kısa tarih

Katlanarak büyüyen bir fikir

İbn Hallikân · 1256

Satranç tahtası efsanesini yazıya geçiren bilinen ilk kişi: ilk kareye 1 buğday tanesi, sonrakilere hep bir öncekinin iki katı. Son karede 2⁶³ tane, yaklaşık 9,2 · 10¹⁸ tane buğday gerekir.

Malthus · 1798

Nüfusun katlanarak (1, 2, 4, 8, …), besin üretiminin ise eşit adımlarla (1, 2, 3, 4, …) arttığını öne sürdü: doğrusal ile üstelin yarışı.

Rutherford · 1900

Toryumdan çıkan radyoaktif bir gazın etkinliğinin yaklaşık her dakikada yarıya indiğini ölçtü. Yarı ömür kavramı bu çalışmayla doğdu.

Voyager · 1977

Plütonyum-238 jeneratörlü iki sonda fırlatıldı. Voyager 1 2012’de, Voyager 2 2018’de Güneş rüzgârının sınırını aşıp yıldızlararası uzaya geçti.

Üstel büyüme ve büyük sayılar · Karbon-14 ile yaş tayini

Özet

Tek bakışta

f(x) = aˣa > 0 ve a ≠ 1. Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi (0, ∞).

eşit adım, eşit oranf(x + 1) = a · f(x): x 1 artınca değer a ile çarpılır.

üstel ve doğrusala > 1 ise üstel büyüme, başta geride kalsa da sonunda her doğrusal büyümeyi geçer.

(0, 1)Her üstel grafik bu noktadan geçer: a⁰ = 1.

x ekseniGrafik x eksenine yaklaşır ama onu kesmez: aˣ her zaman pozitif.

a > 1Artan: üssü büyük olan büyük.

0 < a < 1Azalan: üssü büyük olan küçük.

(1/a)ˣ = a⁻ˣy = aˣ ile y eksenine göre simetrik.

büyük tabanx > 0 iken üstte, x < 0 iken altta.

bire bir ve örtenf: ℝ → (0, ∞), f(x) = aˣ. Tersi var: logaritma (sonraki ders).

aˣ⁻ʰ + k(h, 1 + k)’den geçer, y = k doğrusuna yaklaşır; görüntü kümesi (k, ∞).

87,7 yılVoyager’ın plütonyum yakıtının yarı ömrü: f(t) = (1/2)^{t ÷ 87,7}, azalan.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. Aşağıdakilerden hangisi bir üstel fonksiyondur?

2. f(x) = 2ˣ ise f(3) − f(−1) kaçtır?

3. f(x) = (a − 3)ˣ artan bir üstel fonksiyon ise a hangi aralıktadır?

4. f(x) = (2/5)ˣ fonksiyonu için hangisi doğrudur?

5. a = 2¹⁰, b = 4⁴, c = (1/8)⁻³ sayılarının sıralaması hangisidir?

6. y = 3ˣ ve y = 5ˣ grafikleri için x < 0 olan bölgede hangisi doğrudur?

7. f: ℝ → B, f(x) = 4ˣ bire bir ve örten ise B hangisidir?

8. f(x) = 2ˣ⁻¹ + 3 fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?

9. y = aˣ + b grafiği (0, 3) ve (1, 6) noktalarından geçiyorsa a · b kaçtır?

10. Plütonyum-238’in yarı ömrü yaklaşık 87,7 yıldır. 175,4 yıl sonra yakıtın verdiği ısı başlangıçtakinin kaçta kaçıdır?

Bu konuda neler öğrendin?

Üstel fonksiyon; bire bir ve örten olması, tabana göre grafiğin değişimi.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Üstel Fonksiyon: sık sorulanlar

Üstel Fonksiyon kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar” ünitesinde, “Üstel Fonksiyon” adıyla yer alır.

Üstel Fonksiyon TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları