AYT · Olasılık

Deneysel ve Teorik Olasılık Konu Anlatımı

Saymak mı, denemek mi? Bir olayın olasılığını hesaplayabilir ya da deneyi çok kez yapıp ölçebiliriz. Deneme arttıkça iki yol aynı sayıda buluşur.

s(A) ÷ s(E)teorik
k ÷ ndeneysel
n · P(A)beklenen sayı
π ≈ 4k ÷ nrastgele noktalar

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde binlerce kez at, çevir, iğne düşür, Mars’a iniş yaptır ve sonuçların nereye yaklaştığını izle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Deneysel ve Teorik Olasılık nedir?

Teorik olasılık eş olası çıktıları sayarak hesaplanır; deneysel olasılık ise bir deney tekrar tekrar yapıldığında olayın görülme oranıdır. Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır. Az sayıda denemede büyük sapmalar olağandır; hilesiz bir paranın önceki atışları sonraki atışın sonucunu etkilemez.

Sınav: AYT Matematik
Sınıf ve ünite: 11. sınıf · Olasılık
MEB konusu: Deneysel ve Teorik Olasılık
Bu derste: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · İki yol

Saymak ya da denemek

Bir olayın olasılığını iki yolla bulabiliriz: çıktıları sayarak ya da deneyi çok kez yapıp olayın kaç kez gerçekleştiğini sayarak.

Hilesiz bir parada iki çıktı var ve ikisi eş olası: P(yazı) = 1/2. Hilesiz bir zarda P(6) = 1/6. Bunları deney yapmadan, yalnızca çıktıları sayarak bulduk: teorik olasılık.
Şimdi parayı gerçekten 20 kez atalım: 12 yazı geldi. Yazı gelmesinin deneysel olasılığı 12/20 = 0,6. Deneysel olasılık = olayın gerçekleşme sayısı ÷ deneme sayısı.
Aynı deneyi yeniden yapınca 20 atışta 9 yazı geldi: 9/20 = 0,45. Deneysel olasılık deneyden deneye değişir; teorik olasılık ise hep 0,5.
Bir raptiye atalım: ucu yukarı mı düşer, yan mı yatar? İki durum eş olası değil ve raptiyenin simetrisi yok; olasılığı sayarak bulamayız. Tek yol deney: 50 atışta 31 kez ucu yukarı düştü (örnek veri), P(ucu yukarı) ≈ 31/50 = 0,62.
İki yol birbirine bağlı: deneysel olasılık, teorik olasılığın bir tahminidir. Deneme sayısı arttıkça bu tahmin teorik olasılığa yaklaşır.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Bir zar 60 kez atıldı ve 13 kez 6 geldi. 6 gelmesinin deneysel ve teorik olasılığı nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Deneysel olasılık = 13 ÷ 60 ≈ 0,217.
Teorik olasılık: 6 eş olası çıktıdan biri, 1/6 ≈ 0,167.
Aradaki fark, 60 atış için şaşırtıcı değil.

≈ 0,217 ve 1/6 ≈ 0,167

Çözümlü örnek

Bir sınıf raptiyeyi 50 kez attı; 31 kez ucu yukarı düştü, öbür atışlarda yan yattı. Raptiyenin yan yatma olasılığını tahmin edin.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Yan yatma sayısı: 50 − 31 = 19.
Deneysel olasılık = 19 ÷ 50 = 0,38. (Tümleyenle: 1 − 0,62 = 0,38.)

≈ 0,38

Deney

Büyük sayılar

Önce tahmin et: 10 atışta yazı oranı 0,5’ten ne kadar uzak olabilir? Ya 10.000 atışta? Sonra beş seri aç: beş öğrenci aynı deneyi yapıyor.

Atış: 0
Olay (1. seri): —
Deneysel: —
Teorik: —

|deneysel − teorik|

10 atış—

100 atış—

1000 atış—

10.000 atış—

Tohum: 1. Sıfırla aynı tohumla aynı atışları yeniden üretir; Yeni tohum başka bir rastgele dizi seçer.

Çözümlü örnek

Çarkın kırmızı dilimi 180°, mavi dilimi 120°, sarı dilimi 60°. Çark 300 kez çevrildi ve ibre 96 kez maviye geldi. Mavinin teorik ve deneysel olasılığını karşılaştırın.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Teorik: ibre her yöne eşit olasılıkla durur; P(mavi) = 120° ÷ 360° = 1/3 ≈ 0,333.
Deneysel: 96 ÷ 300 = 0,32.
Fark ≈ 0,013: 300 çevirme için oldukça yakın.

1/3 ve 0,32

2 · Telafi değil, seyrelme

Para hatırlamaz

Deneysel olasılık teorik olasılığa nasıl yaklaşır? Tura, fazla gelen yazıların “açığını kapatarak” mı? Aynı 10.000 atışı iki gözle izleyelim: yazı ile tura arasındaki fark ve yazı oranı.

Para 10 kez atıldı: 7 yazı, 3 tura. Yazı oranı 7/10 = 0,7 ve yazı sayısı turadan 4 fazla. Üstteki turuncu çizgi yazı − tura farkını, alttaki mavi çizgi yazı oranını gösteriyor.
“Çok yazı geldi, şimdi tura gelmeli” diye düşünmek yanlış. Para önceki atışları hatırlamaz: 11. atışta da P(yazı) = 1/2. Bu yanlış düşünceye kumarbaz yanılgısı denir.
Atmaya devam edelim. 1000 atışta fark kapanmadı, tersine büyüdü: +36. Ama yazı oranı 518/1000 = 0,518; 0,5’e yaklaştı.
10.000 atışta fark +74, yazı oranı 5037/10.000 = 0,5037. Fark, çok büyük bir atış sayısının içinde küçük kalıyor: oran 1/2’ye telafiyle değil, seyrelmeyle yaklaşır.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

Üç ünlü para atma deneyi: Buffon 4040 atışta 2048, Kerrich 10.000 atışta 5067, Pearson 24.000 atışta 12.012 yazı saydı. Hangisinin deneysel olasılığı 1/2’ye en yakındır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Buffon: 2048 ÷ 4040 ≈ 0,5069. Kerrich: 5067 ÷ 10.000 = 0,5067. Pearson: 12.012 ÷ 24.000 = 0,5005.
0,5’ten uzaklıklar: 0,0069; 0,0067 ve 0,0005.
En yakın: en çok atış yapan Pearson. (Kerrich’te yazı turadan 134 fazla çıktı; yine de oran 0,5067.)

Pearson, 0,5005

Çözümlü örnek

Hilesiz bir para 5 kez üst üste yazı geldi. 6. atışta tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Her atışta çıktılar yine yazı ve tura, yine eş olası. Önceki atışlar sonucu etkilemez.
P(tura) = 1/2.

1/2

Çözümlü örnek

Bir para ilk 10 atışta 7 kez yazı geldi. Sonraki 990 atışta tam yarı yarıya, 495 yazı ve 495 tura geldi. 1000 atışta yazı oranı kaçtır? Yazı − tura farkı ne oldu?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Yazı: 7 + 495 = 502. Oran: 502 ÷ 1000 = 0,502.
Fark başta 7 − 3 = 4 idi; sonda 502 − 498 = 4. Fark aynı kaldı.
Tura açığı kapatmadı; 4’lük fark 1000 atışın içinde seyreldi: oran 0,7’den 0,502’ye indi.

0,502; fark yine 4

Olasılık sezgimiz neden yanılır?

3 · Deneyle tahmin

Torbanın içini görmeden

Teorik olasılığı bilmediğimizde deneysel olasılıkla tahmin yaparız. Bildiğimizde ise bir olayın kaç kez gerçekleşeceğini önceden kestirebiliriz.

Torbada 10 bilye var; kaçının kırmızı olduğunu bilmiyoruz. Bakmadan bir bilye çek, rengini yaz, geri koy ve karıştır. Bunu tekrarla.
20 çekişte 8 kırmızı: deneysel olasılık 8/20 = 0,4. Tahmin: 10 bilyenin yaklaşık 10 · 0,4 = 4’ü kırmızı.
200 çekişte 63 kırmızı: 63/200 = 0,315. Tahmin: 10 · 0,315 = 3,15; yani yaklaşık 3 kırmızı.
1000 çekişte 301 kırmızı: 301/1000 = 0,301. Tahmin yine yaklaşık 3. Çekiş arttıkça tahmin daha az oynuyor.
Torbayı açalım: 3 kırmızı, 7 mavi. Teorik olasılık 3/10 = 0,3. Çok sayıda denemeyle bulduğumuz tahmin doğruya çok yakındı; 20 çekişlik tahmin ise yanılmıştı.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Mavi dilimi 120° olan çark 600 kez çevriliyor. İbrenin yaklaşık kaç kez maviye gelmesi beklenir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

P(mavi) = 120° ÷ 360° = 1/3.
Beklenen sayı ≈ 600 · 1/3 = 200. (Tam 200 gelmesi gerekmez.)

≈ 200

Çözümlü örnek

Bir fabrikada rastgele seçilen 400 ampulden 12’si bozuk çıktı. 5000 ampullük bir partide yaklaşık kaç bozuk ampul beklenir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Deneysel olasılık: 12 ÷ 400 = 0,03.
Beklenen sayı ≈ 5000 · 0,03 = 150.

≈ 150

Çözümlü örnek

Bir torbada 12 bilye var. Geri koyarak yapılan 300 çekişte 75 kez yeşil bilye geldi. Torbada yaklaşık kaç yeşil bilye vardır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

P(yeşil) ≈ 75 ÷ 300 = 0,25.
Yeşil bilye sayısı ≈ 12 · 0,25 = 3.

≈ 3

4 · Rastgelelikle π

Noktalarla π’yi bul

Teorik olasılığın formülünü biliyorsak deney, formülün içindeki bilinmeyen bir sayıyı tahmin etmeye yarar. En ünlü örnek π.

Kenarı 2 birim olan bir karenin içine yarıçapı 1 birim olan bir daire çizelim. Kareye gözü kapalı nokta atıyoruz: nokta karenin her yerine eşit olasılıkla düşüyor.
Bir noktanın dairenin içine düşme olasılığı alanların oranıdır: P = daire alanı ÷ kare alanı = π · 1² ÷ 4 = π/4 ≈ 0,785. Bu olasılığın içinde π var.
100 nokta attık, 79’u dairenin içine düştü. Deneysel olasılık 0,79 ≈ π/4, yani π ≈ 4 · 0,79 = 3,16.
1000 nokta: 785’i içeride. π ≈ 4 · 0,785 = 3,14. Deneme arttıkça tahmin, gerçek π = 3,14159… değerine yaklaşır.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

Kenarı 2 olan kareye 2000 rastgele nokta atıldı; 1572’si içteki birim dairenin içine düştü. π için tahmin nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Deneysel olasılık: 1572 ÷ 2000 = 0,786 ≈ π/4.
π ≈ 4 · 0,786 = 3,144.

π ≈ 3,144

Deney

π’yi rastgelelikle bul

Karede nokta ya da Buffon iğnesi: iki yöntemde π tahmini nasıl değişiyor? Hangisi daha hızlı yaklaşıyor?

Deneme: 0
Dairede: —
Deneysel olasılık: —
Teorik olasılık: π ÷ 4 ≈ 0,785
π tahmini: —

Çözümlü örnek

İğne boyunun çizgi aralığına eşit olduğu bir Buffon deneyinde 500 iğneden 318’i bir çizgiyi kesti. π için tahmin nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

P(kesme) = 2 ÷ π ≈ 318 ÷ 500.
π ≈ 2 · 500 ÷ 318 ≈ 3,145.

π ≈ 3,145

Çözümlü örnek

İtalyan matematikçi Lazzarini 1901’de iğne boyu çizgi aralığının 5/6’sı olacak biçimde 3408 iğne attığını ve 1808’inin çizgiyi kestiğini yazdı. Bu sonuçla π tahmini nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

L ÷ d = 5/6 ise P(kesme) = 2L ÷ (πd) = 5 ÷ (3π) ≈ 0,531; deneyde 1808 ÷ 3408 ≈ 0,531.
π ≈ 5 · 3408 ÷ (3 · 1808) = 355/113 ≈ 3,1415929: gerçek π’den farkı 0,0000003’ten az!
Bu kadar az denemeyle bu kadar iyi sonuç çok olası değildir. Pek çok matematikçi, deney sayısının bu kesri verecek biçimde seçildiğini düşünür: “fazla iyi” sonuç şüphe uyandırır.

≈ 3,1415929 (şüpheli derecede iyi)

Arşimet π’yi nasıl hesapladı?

5 · Evren

Mars’a iniş

NASA’nın Perseverance gezgini 18 Şubat 2021’de Mars’taki Jezero kraterine indi. Yaklaşık 45 km genişliğindeki bu krater çok eskiden bir göl yatağıydı. Bir aracı başka bir gezegende tam istenen noktaya indirmek olanaksızdır: atmosfer, rüzgâr ve ölçüm hataları iniş noktasını rastgele saptırır. Mühendisler inişi bilgisayarda çok kez, her seferinde biraz farklı rastgele koşullarla tekrarlayarak aracın büyük olasılıkla ineceği bölgeyi bulur: iniş elipsi. Perseverance’ın elipsi 7,7 km × 6,6 km idi.

Elipsin içinde kayalık, kum tepesi, dik yamaç gibi tehlikeli yerler olabilir. Aşağıdaki haritada bu bölgeler hayalîdir; toplam alanları 8 km². Rastgele iniş yaptır: tehlikeli bölgeye inme olasılığını deneyle bul, alanlardan hesaplanan teorik olasılıkla karşılaştır.

İniş: 0
Tehlikeli bölgeye: —
Deneysel olasılık: —
Alanla (teorik): —
Tahmini tehlikeli alan: —

Elipsin boyutları gerçek; tehlikeli bölgeler hayalî (toplam 8 km²). Model: iniş noktası elipsin her yerine eşit olasılıkla düşer.

Çözümlü örnek

Perseverance’ın iniş elipsinin eksenleri 7,7 km ve 6,6 km. Elipsin alanı π · a · b formülüyle bulunur (a ve b yarı eksenler). İçindeki tehlikeli bölgelerin toplam alanı 8 km² ise (hayalî), rastgele bir inişin tehlikeli bölgeye düşme olasılığı yaklaşık kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Yarı eksenler 3,85 km ve 3,3 km: alan = π · 3,85 · 3,3 ≈ 39,9 km².
P(tehlikeli) = 8 ÷ 39,9 ≈ 0,2.

≈ 0,2

Çözümlü örnek

Deneyde tohum 1 ile “1000 iniş” düğmesine bir kez bas: 208 iniş tehlikeli bölgeye düşer. Tehlikeli bölgelerin alanlarını bilmeseydik bu sonuçtan toplam alanı nasıl tahmin ederdik?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Deneysel olasılık: 208 ÷ 1000 = 0,208.
Alan ≈ 0,208 · 39,9 km² ≈ 8,3 km². Gerçek değer 8 km²: deneme arttıkça tahmin yaklaşır.

≈ 8,3 km²

Kısa tarih

Zardan Mars’a

Jakob Bernoulli · 1713

Ölümünden sonra yayımlanan Ars Conjectandi’de, deneme sayısı arttıkça göreli sıklığın olasılığa yaklaştığını kanıtladı: büyük sayılar yasasının ilk biçimi.

Buffon · 1777

1733’te sorduğu iğne problemini 1777’de çözümüyle yayımladı; para da attı: 4040 atışta 2048 yazı. Laplace 1812’de iğne deneyiyle π’nin tahmin edilebileceğini gösterdi.

John Kerrich · 1940’lar

İkinci Dünya Savaşı’nda Danimarka’da bir kampta tutulurken bir parayı 10.000 kez attı: 5067 yazı.

Ulam ve Metropolis · 1946–1949

Stanisław Ulam bir iskambil oyununu kazanma olasılığını hesaplamak yerine çok sayıda oyun oynayıp saymayı düşündü. Yöntem Monte Carlo adıyla 1949’da yayımlandı.

Pascal, Fermat ve yarıda kalan oyun

Özet

Tek bakışta

teorik olasılıkÇıktıları sayarak ya da alanları oranlayarak, deney yapmadan: s(A) ÷ s(E).

deneysel olasılıkn denemede A olayı k kez gerçekleşirse k ÷ n.

deneyden deneyeDeneysel olasılık değişir; teorik olasılık tek bir sayıdır.

büyük sayılarDeneme arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.

yavaş yaklaşma100 kat fazla deneme, sapmayı kabaca 10’da birine indirir.

seyrelmeYazı − tura farkı kapanmaz; atış sayısına bölününce küçülür.

kumarbaz yanılgısıPara hatırlamaz: her atışta P(yazı) = 1/2.

teorik hesap yoksaRaptiye gibi: olasılığı deneyle tahmin et.

n · P(A)n denemede A’nın yaklaşık gerçekleşme sayısı.

alanla olasılıkBölgenin alanı ÷ bütün alan; karede nokta için P(daire) = π ÷ 4.

π ≈ 4k ÷ nRastgele noktalarla π; Buffon iğnesiyle π ≈ 2n ÷ k.

Monte CarloHesabı zor olanı çok sayıda rastgele denemeyle tahmin et: Mars’a iniş.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. Bir zar 50 kez atıldı ve 12 kez 3 geldi. 3 gelmesinin deneysel olasılığı kaçtır?

2. Aşağıdakilerden hangisinin olasılığı çıktıları sayarak bulunamaz, ancak deneyle tahmin edilebilir?

3. Hilesiz bir para 8 kez üst üste yazı geldi. 9. atışta yazı gelme olasılığı kaçtır?

4. Bir deneyin tekrar sayısı çok artırılırsa aşağıdakilerden hangisi beklenir?

5. Mavi dilimi 90° olan bir çark 400 kez çevriliyor. İbrenin yaklaşık kaç kez maviye gelmesi beklenir?

6. Bir torbada 20 bilye var. Geri koyarak yapılan 250 çekişte 100 kez kırmızı geldi. Torbada yaklaşık kaç kırmızı bilye vardır?

7. Kenarı 2 olan kareye 500 rastgele nokta atıldı; 392’si karenin içindeki yarıçapı 1 olan dairenin içine düştü. Bu deneye göre π yaklaşık kaçtır?

8. Buffon deneyinde iğne boyu çizgi aralığına eşit. 1000 iğnenin 640’ı bir çizgiyi kesti. P(kesme) = 2 ÷ π olduğuna göre π tahmini kaçtır?

9. Hilesiz bir para 100 kez atıldı ve 58 kez yazı geldi. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

10. Kenarı 10 km olan kare bir uydu fotoğrafında 400 rastgele noktanın 92’si bir kraterin içine düştü. Krater alanı yaklaşık kaç km²’dir?

Bu konuda neler öğrendin?

Deneysel olasılık ile teorik olasılık arasındaki ilişki.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Deneysel ve Teorik Olasılık: sık sorulanlar

Deneysel ve Teorik Olasılık kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Olasılık” ünitesinde, “Deneysel ve Teorik Olasılık” adıyla yer alır.

Deneysel ve Teorik Olasılık TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları